1、Science&Technology Vision 科技视界 科技探索争鸣 基于三阶平面贝齐尔曲线的G2连续研究 李启明曹喜锋于立明 (上海飞机设计研究院。中国上海200232) 【摘要】飞机外形设计中，当单一的曲线不能满足描述复杂形状的需要时，就必须采用组合的曲线，这就需要解决的关键问题就是怎样实 现光滑连接的问题，工程实践中，G2连续的组合曲线受到了特别的关注。过渡连接时，常用的二次曲线难以在两端均实现G 连续，这就有必要 构造其他形式的曲线来实现G2连续，通过控制三次贝齐尔曲线首末端点曲率，得出了该三次贝齐尔曲线与直线、曲线保持G2连续的方法。 【关键词】贝齐尔曲线；飞机外形设计；G 连
2、续 【AbstractIn aircraft shape design，when one single curve could not describe complicated shape，composite curve should be used，and then how to realize smoothly combination must be solvedIn practices，G2 continuousness composite curve get especial attentionsIt is intractable when use one cur、，e t0 comb
3、ine a line and a curve，conic curve widely used could not realize G2 continuousness，SO it is necessary constructing other form of curve to meet G2 continuousnessOne form of cubic B6zier curve is constructed，and it could meet G2 continuousness by controlling its endpointscurvature 【Key wordsB6zier cur
4、ve；Aircraft shape design；G2 continuousness 0引言 飞机外形设计中曲线的光顺与否不仅关系到飞机外形曲面的美 观更重要的是曲线的光顺将直接影响飞机的气动性能，为此，必须尽 可能的获得光顺的曲线以保证飞机外形的曲面质量 为保证曲面品 质，需要在连接处均实现G2连续，二次曲线由于阶次的限制，不能保 证两端均与其他曲线G 连续 而阶数过高的贝齐尔曲线，由于定义点 过多定义点的计算非常繁琐且解不唯一其形状难以控制。三阶贝齐 尔曲线是很好的折衷既可以实现G2连续的过渡连接，也能保证解的 唯一性 1 贝齐尔曲线介绍 贝齐尔是参数多项式曲线其定义形式如下： p()：B
5、 (0，1) (1) 上式中 ()=c (1-t) = r (1-t) (2) P0、PIPn是称为“定义点”，依次连接P0、Pl尸n的多边形称 为曲线的“特征多边形”，O点为原点。工程中的特征多边形一般为凸 多边形，本文仅讨论特征多边形为凸多边形的各种情况。 i 1_1 令 )=l，且ViE【l,n】 (业 ) =D 一0 一 = 一。 iE【1，n】 (3) 代人(1)式，得到贝齐尔曲线的另一种表示方法： -+ p(t)=OPo+ () (4) n=3时，有： +(t3-3t+3 +(32_ +， (5) 2构造过渡曲线 图1 三阶贝齐尔曲线过渡连接示意图 飞机外形设计中使用最多的是平面曲
6、线平面曲线操作简单、容 易构造事实上空间曲线可以用两个平面曲线表达，这也使得空间曲 线单独构造操作的意义降低了。故本文只讨论平面曲线的情况。 本文利用三阶平面贝齐尔曲线连接见图1 图1中，利用三阶平面贝齐尔曲线p( )过渡连接l。、Z：，在P0点与f 连接，在 点与f 连接，那么p(f)的起点Po和终点 的位置是固定 的。为了完整、唯一定义该三阶贝齐尔曲线，还要确定其他两个点Pl、 尸2的位置。根据贝齐尔曲线的基本性质，P0 必须与f。在Pn点的切矢 方向同向，也就是说，为与Z。相切，PI点只能在P0点的切线上“滑动”， 同样，尸2点只能在 点的切线上“滑动”，这样就进一步限制了Pl、P2 的
7、位置范围，下面进一步讨论曲率连续的条件。 对于任意参数曲线p()，曲率f由下式表示121： ：_L巳 盥 f6) I ()I 一 下面求解三阶平面贝齐尔曲线端点处曲率，将(4)式分别求解一 阶、二阶导数并整理得： 枷 l n _ (7) I (0)n n1) 。+n(n一1) f (o】： ：1 “ (8) I (0)n(n一1) +n(n1) 一 图2中表示了t=0时曲线起点处向量及控制点。Pofl为曲线Pn点 的法线方向，H。为P2在Pofl上的投影，Q为曲线起点P0处曲率中心。 o 图2起点曲率求解示意图 由上图，将(7)式代人(6)式整理得到： 忙 !二 !叵季L 二 叵I 2PoH0
8、2 n I n l 3 Jpl 同样，对于终点 处曲率，有 2只日 rl J_ 3 H。为|pl在P1法线 的投影。 (9) (10) scienceTechn。l。g)r Visi。n科技视界I 5 科技探索争l毫 Science&Technology Vision 科技视界 令 逆时针旋转到 的角度为 ，下文将就工程中常用的 情况利用G：连续的条件给出Pl、P2的位置确定方法。 21 0od180。的情况 图3是O。al8O。时p )过渡连接的示意图 。 P 图3 p(0过渡连接的示意图(0。a180。) 图3中，有： f in妒 1 日J=PP,sino A fm In=，P1，PP m
9、、n(0，1) (12) 将(11)、(12)式代A(9)、(10)式，整理得到： 2PP sino To=一 。 m)PP0 (13) 三璺墅 ； 一 3m(1一l ) 方程组(13)中，除m、 外，其余均为已知量，解得m、n的值即可 得到Pl、 的位置，但该方程组m、n均为二阶，难以直接求得解析解， 必须利用数值方法求解。变换方程组(13)得到： h 孑 (14) 方程组(14)满足收敛条件，该方程组迭代求解即可得到Pl、P2的 位置。 22 180360。的情况 图4是180。a360。时p )过渡连接的示意图 图4 P(O过渡连接的示意图(1 80。a360。) 6 1科技视界scie
10、nce&Techn。l。gy Visi。n 图4中，有：蹦PoHoF= P, P2sii n (15) 三角形PP*P2中，应用正弦定理，有： 盟： ： (16) sln sin叩 StgL 令：( 将(15)、(16)、(17)式代A(9)、(1O)式，整理得到： 同样的，该方程组难以直接求得解析解，必须利用数值方法求解。 变换方程组(18)得到： m= 1y (19) 方程组(14)满足收敛条件，该方程组迭代求解即可得到P、 的 位置。 23 0【=180o的情况 a=180时，直线 和 平行，见图5。 图5 p(I)过渡连接的示意图(a=180。) 令直线 和 间的距离为 ，则州。=P
11、，：#，此时，(9)、 (1O)式均只有一个待求变量，P1、P2的位置独立，所以，只要调整尸I、 的位置满足(9)、(10)两式即可。 此外， ：0。(d=360。)时，同样有直线 和 平行，但此时，特 征多边形不是凸多边形本文不予讨论 另外对于一端或两端有直线，即r=O的情况，本文限于篇幅，将 在其他文章中讨论 3连接实例 以22情况为例利用三阶贝齐尔曲线连接任意两条曲线见图6。 P 、 P； 、 图6过渡连接实例 (下转第23页) 一一一一一一 ， 、 项目与 Science&Technology Vision 科技视界 科技黯争鸣 表6 SCIE文献量较多国家 国家 篇数 USA 166
12、 SAUDI ARABIA 81 PEOPI正S R CHINA 77 GERMANY 47 ENGLAND 41 NETHERLANDS 40 FRANCE 22 EGYFrr l5 AUsTRAUA l2 SWEDEN 1l 24主要发表文章主要涉及学科 经统计，国内发表文章主要涉及学科是综合征、人体病毒学(致病 病毒)、医疗卫生制度与机构等。I#t-发表文章主要涉及传染病、病毒 学以及微生物学等学科。具体发文量见表7、表8。 表7中国生物医学文献数据库文献量较多学科 学科 篇数 综合征 26 人体病毒学(致病病毒) 25 医疗卫生制度与机构 19 环境卫生、环境医学 l5 其他病毒传染病
13、 15 医用实验动物学 9 外科感染 9 卫生保健事业概况 6 呼吸系及胸部疾病 6 细胞遗传学 4 表8 SCIE文献量较多学科 学科 篇数 INFECT10US DISEASES l23 VIROL0GY 102 MICROBIOLOGY 61 IMMUNOLOGY 55 GENERAL INTERNAL MEDICINE 38 PHARMAC0L0GY PHARMACY 22 SCIENCE TECHNOLOGY OTHER T0PICS 20 PUBLIC ENVIR0NMENTAL OCCUPATIONAL HEALTH l9 RESPIRAT0RY SYSrEM 12 BIOTEC
14、HN0L0GY APPLIED MICR0B10【DGY 10 3结论 (1)有关于中东呼吸综合征的文章都是在2013年后增长速度较快 在疫情爆发的今年发文量还处于动态发展的趋势。 (2)通过对出版物及影响因子的统计分析，国内中华类的期刊主 要有中华结合和呼吸杂志，国外的期刊主要有(JOURNAL 0F VIROLOGY。影响因子4855。这些发文量较多的刊物可以作为专业 研究人员发文的核心刊物。 【参考文献】 1郭雪梅SCI收录康复医学类全文期刊分布及质量研究J】l科技情报开发与经 济，2015，04：120122 2薛晓芳，陈锐，何玮，胡畔畔，张孟子，王松俊基于共词分析的军队医院SCI论
15、文热点分析J】医学信息学杂志，2014，06：5459 责任编辑：邓丽丽 (上接第6页)此时，曲线z。、Z 已经确定了P0、 、P的位置，再利 用方程组(19)迭代求解即可得到PI、P2的位置。 此时P0点处曲率舻O0045，只点处曲率Jr。=O0025。代入方程组 (19)迭代求解得到 f m=0637977 In：0641224 根据求解结粜画出三阶贝齐尔曲线并进行曲率检验，见图7。 图7过渡连接结果检查 由曲率分析图可以看出，三阶贝齐尔曲线在连接点处实现了G： 连续，保证了曲线的连接质量。 4结论 本文通过求解端点处的贝齐尔曲线曲率构造了不同情况下实现 G2连续的三次平面贝齐尔曲线，构造方法简捷，实现了三次贝齐尔曲 线与直线和曲线的G2连续，保证了曲线连接的品质，在飞机外形设计 中具有实际的应用价值。 【参考文献】 1施法中计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条【M高等教育出版社，2001 18-26。114143， 2苏步青，刘鼎元计算几何M】上海科学技术出版社，1980：102108 3曹喜锋飞机外形数字化设计技术研究【D】西安：西北工业大学，2004，10 4吉贝德芒热，让皮尔晡热曲线与曲面的数学【M】王向东，译商务印书馆 20()0：570 责任编辑：汤静 science&Techn。l。gy Visi。n科技视界I 23
