1、第 3 次作业一、单项选择题（本大题共 30 分，共 10 小题，每小题 3 分）1. 在完全 m 叉树中，若树叶数为 t，分枝点数为 i，则有（） 。A. (m-1)it-1 C. (m-1)i=t-1D. (m-1)it-12. 一棵有向树，如果恰有一个节点的入度为，其余所有节点的入度都为，则称为_A. 根树 B. 普通树C. 树根D. 树节点3. n 个节点的无向完全图 Kn 的边数为_A. B. C. D. 4. 在集合 A=1,2,3,，10,问下面定义的二元运算*关于集合 A 是不封闭的（ ）。A. x*y=max(x,y) B. x*y=min(x,y)C. x*y=GCD(x,
2、y)D. x*y=x+y5. 下图的最小生成树是（）A. B. C. D. 6. (PQ)R 的合取范式为 。A. (PR) (QR)B. (PR)(QR)C. PQRD. PQR7. 函数 f：RRR，f()=（x+y）/2 是( )函数。A. 入射B. 满射C. 双射 D. 以上答案都不对8. 设 C(x)：x 是国家选手，G(x)：x 是健壮的。命题“没有一个国家选手不是健壮的”可符号化为( )A. (x)(C(x)G(x)B. (x)(C(x)G(x)C. (x)(C(x)G(x)D. (x)(C(x)G(x)9. 一阶逻辑公式x(F(x,y)G(y,z) )zF(z,y)是（）A.
3、前束范式B. 封闭公式C. 永真式D. 永假式10. 设有一组权为 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31 则构造的最优二叉树权值为_A. 495 B. 505C. 515D. 520二、判断题（本大题共 30 分，共 10 小题，每小题 3 分）1. 判断对错：集合2,4,6，2n是无限集（ ）2. 下列句子的说法是否正确。 谓词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩张。 3. N 为自然数集，N 上的运算*定义为：x*y=minx,y，其中 x,yN，则是独异点。4. 对于图 G 着色时，需最少颜色数称为着色数。5. 群中，除幺元 e 外，可能有任何别的等幂元。6
4、. P(Q)是命题公式。7. 蕴含式(PQ)(QR) PR 是正确的。8. 因为 PP 重言式，所以(PS)(PS)也是重言式。9. 设集合 A=1,2,3，I_A 是 A 上的恒等关系，则 I_A=,.10. 设 A=1,2,8,24,48，则 A 上的整除关系是 A 上的偏序，不是一个全序. （ ）三、计算题（本大题共 10 分，共 2 小题，每小题 5 分）1. 设集合 A=1,2,3,4，A 上的二元关系 R=(x,y)|x,yA,且 xy,求 R 的关系图与关系矩阵2. 试将公式 P（PQ）化为析取范式和合取范式：四、简答题（本大题共 12 分，共 2 小题，每小题 6 分）1. S
5、=QQ，Q 为有理数集，为 S 上的二元运算， a,b, x,yS 有a,b* x,y=ax,ay+b问 * 运算是否有幺元、零元？如果有，请指出，并求 S 中所有可逆元素的逆元。2. 构造公式（PQ）Q 的真值表，并解释其结果。五、证明题（本大题共 18 分，共 3 小题，每小题 6 分）1. 证明：(x)A(x)(x)B(x)=(x)(A(x)B(x)2. 符号化下列命题并证明。每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为。所以，一定有些考生是聪明的。3. 设 A，B，C 为三个任意集合，试证明若 AA=BB，则 A=B；答案：一、单项选择题（30 分，共
6、 10 题，每小题 3 分）1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. B 7. B 8. C 9. C 10. B 二、判断题（30 分，共 10 题，每小题 3 分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、计算题（10 分，共 2 题，每小题 5 分）1. 参考答案：R=(x,y)x,yA,且 xy=(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(4,4)R 的关系图如图 3-1 所示。解题方案：评分标准：2. 参考答案：（PQ）（PQ）=(（PQ）（PQ）)(（PQ）（PQ）)(等值律)=
7、(（PQ）（PQ）) (（PQ）（PQ）) (蕴涵律) =（PQ）(PQ) (分配律) 合取范式=(PP) (PQ)(QP)(QQ) (分配律)析取范式解题方案：评分标准：四、简答题（12 分，共 2 题，每小题 6 分）1. 参考答案：容易验证1,0为幺元，没有零元。当 a0 时，a,b的逆元为1/a,b/a解题方案：评分标准：2. 参考答案：真值表P Q PQ （PQ） （PQ）Q0 00 11 01 11 0 01 0 00 1 01 0 0可见：（PQ）Q 是恒假的。解题方案：评分标准：五、证明题（18 分，共 3 题，每小题 6 分）1. 参考答案：证明：间接证法(1)(x)(A(x
8、)B(x)P(附加条件)(2)(x)(A(x)B(x) T(1)E(3)(A(c)B(c) ES(2)(4)(A(c)B(c) T(3)(5)A(c)B(c) T(4)E(6)(x)A(x) EG(5)(7)(x)A(x)(x)B(x) P(8)(x)B(x) T(6),(7)I(9)B(c)US(8)(10)B(c) T(5)I(11)B(c)B(c) T(9),(10) 矛盾解题方案：评分标准：2. 参考答案：解题方案：评分标准：3. 参考答案：设任意 aA,则(a,a)AA,因为 AA=BB,有(a,a)BB,故 aB,因此AB.对任意 bB,有(b,b)BB,则(b,b)AA,于是 bA,因此 BA,所以 A=B.解题方案：在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明。评分标准：
