1、11奖惩系统（ BMS）孟生旺2z 对上一保险年度没有发生索赔的投保人，在下一年度续保时给予保费上的优待z 对于上一保险年度发生索赔的投保人，在下一保险年度提高其保费。z 该制度在我国被称为 无赔款优待 （ No-Claim Discount，简称 NCD），或 奖惩系统 （ Bonus-Malus System，简称BMS）奖惩系统的定义3z 所有的被保险人被分成有限个等级，每个等级用 Ci表示，i = 1， 2， ， s （ 等级总数） ，被保险人的年保费只依赖于他所属的等级；z 新投保的被保险人缴纳初始等级 C0 的保险费；z 被保险人的续期保费取决于他在上一个保险年度所属的等级和索赔次
2、数。奖惩系统的数学描述4奖惩系统的三个要素z 保费水平z 初始等级z 转移规则：在已知被保险人的索赔次数时，决定被保险人从原等级转移到新等级的规则。5奖惩系统的目的z 使被保险人缴纳的保险费反映其真实的风险水平；z 被保险人为了获得续期保费折扣，将自付一些小额赔案，这就降低了保险公司受理小额赔案的费用，从而可以进一步降低保险费率；z 鼓励被保险人在用车时更加小心谨慎。6奖惩系统的缺陷z 分析发现，各国保险人实际应用中的奖惩系统在区分不同风险水平的被保险人方面是力不从心的。z 如果z 被保险人 A的索赔频率是 10%z 被保险人 B的索赔频率是 20%z 那么被保险人 B的保费应该是被保险人 A
3、的二倍z 但事实上奖惩系统只能使被保险人 B比被保险人 A多缴很小比例的保险费。27对奖惩系统的其他一些批评：z 破坏了被保险人的经济稳定性。z 被保险人之间的互助合作被削弱了。z 违背了大数定律。8我国车险市场上四种不同的奖惩系统1. 中国保险行业协会 2006年制定的机动车辆商业保险条款（ A款） 初次投保车辆的保费等级为第 4级； 上一保险年度没有发生赔款的，下降一个等级； 上一保险年度发生赔款次数在两次（含两次）以内的，等级不变； 上一保险年度发生赔款次数超过两次的，每超过一次，上升一个等级。2.01.81.61.41.21.11.00.90.80.7保费系数10987654321保费
4、等级92. 中国保险行业协会 2006年制定的机动车辆商业保险条款（ B款）1.50上年发生五次以上赔款101.30上年发生五次赔款91.20上年发生四次赔款81.10上年发生三次赔款71.05上年发生二次赔款61.0上年发生一次赔款51.0初次投保40.9上年无赔款记录30.8上二年无赔款记录20.7上三年无赔款记录1保费系数索赔经验保费等级103. 中国保险行业协会 2006年制定的机动车辆商业保险条款（ C款）2.0上年发生 4次及 4 次以上赔款，且满期赔付率 70101.5上年发生 3次赔款，且满期赔付率 7091.3上年发生 2次赔款，且满期赔付率 7081.1上年发生 1次赔款，
5、且满期赔付率 7071.0初次投保；或上年发生 1次及以上赔款，但满期赔付率 7060.9上年无赔款50.8连续 2年无赔款40.7连续 3年无赔款30.7连续 4年无赔款20.7连续 5年及 5年以上无赔款1保费系数索赔经验保费等级11注 ：z 新投保车辆的保费系数为 1。z 续保前处于等级 1、 2和 3的机动车，续保时采用 “进一退二 ”的规则z 保险机动车连续无赔款的年度每增加 1年，无赔款折扣级别上升一个档次，直至等级 1。z 一旦发生赔付（不论次数），无赔款折扣系数级别下降两个档次。z 若续保前处于其他等级，则按照其赔款记录直接确定系数，不考虑续保前所处的等级。124. 天平汽车保
6、险公司 2006版车险条款规定的奖惩系统0.7连续三年及三年以上未出险60.75过去三年内两年未出险50.8上年未出险40.9上年出险一次31.0上年出险二或三次21.1上年出险三次以上1保费系数索赔经验保费等级注：z 新投保车辆的保费调整系数为 0.8；z 转保车辆如果不能提供上年的赔款信息，保费调整系数为 0.9。313稳态概率分布含义：z 对于一个给定的个体保单，如果假设其索赔频率为常数，则经过若干年以后，它属于各个保费等级的概率将趋于稳定。z 对于一个固定的保单组合，经过若干年以后，它们在各个保费等级的分布也将趋于稳定。14假设：（ 1）给定个体保单的索赔频率不会随时间发生变化，且索赔
7、次数服从泊松分布。（ 2）保单组合中不会有新增保单，也不会有退保保单。（ 3）在初次投保时，该保单组合中的每份保单缴纳完全相同的保险费，均不享受保费折扣。15例 ：某保险公司关于无赔款优待的规定如下：z 上一保险年度未享受无赔款保险费优待的，续保时优待比例为 10%；z 上一保险年度已享受保险费优待的，续保时优待比例在上一保险年度优待比例外增加 10%；z 保险费优待比例最高不超过 30%。z 上一保险年度享受保险费优待的车辆发生本保险及其附加险赔款，续保时保险费优待比例按以下公式计算，直至保险费优待比例为零时止。续保时保险费优待比例上一保险年度保险费优待比例 n 10%n为续保时上一保险年度
8、发生赔款次数。16在上述奖惩系统中z 被保险人的续期保费等级只取决于他在当年的保费等级和索赔次数，而与历史无关，因此上述保费等级之间的转移过程事实上就是一个马尔可夫过程。z 如果假设被保险人的索赔频率在时间上是稳定的，即不随时间而变化，那么这个马尔可夫过程就是齐次的。17z 该奖惩系统的转移概率矩阵 M如下表所示奖惩系统的转移概率矩阵1-p0p0c4=11-p0p0c3=0.91-p0-p1p1p0c2=0.81-p0-p1-p2p2p1p0c1=0.7c4=1c3=0.9c2=0.8c1=0.7z ci表示第 i 个保费折扣等级z p0表示不发生索赔的概率z p1表示发生 1次索赔的概率z
9、p2表示发生 2次索赔的概率18() ()() 1aMaae =其中T1, 1, , 1e =LT表示对矩阵进行转置令 () = 1(), 2(),. . . , 4()为转移概率矩阵M 的稳态概率分布，则 () 是下述方程组的解：令 E是一个所有元素均为 1的 4 4矩阵，则可以证明 1T() I ()aeME= +419平均保费水平z 由于奖惩系统的调整作用，保单组合的平均保费水平在最初的若干年会不断发生变化，直至奖惩系统进入稳定状态。z 上述奖惩系统只有 4个等级，因此可以令 I = 0, 0, 0, 1，它表示保单初次投保时的保费系数为 1。z 索赔频率为 的保单第 2年在各个保费等级
10、的分布为(,2) ()iMpI = 转移矩阵概率索赔频率20z 令 c = 0.7, 0.8, 0.9, 1，它表示不同保费等级的保费系数。则索赔频率为 的保单在第 t 年的平均保费水平为1T()tIM c 210 0.5 1 1.5 20.811.21.41.61.82索赔频率平均奖惩系数A款B款C款22奖惩系统的评价z 对奖惩系统的比较，既可以从保单持有人的角度进行，也可以从保险公司的角度进行，选择不同的角度，就有截然不同的结果。z 下面介绍的四个评价标准是从保单持有人的角度出发的，它们从不同方面反映了一个奖惩系统对保单持有人的奖惩严厉性程度。231、稳定状态下的相对平均保费水平 (RSA
11、L)：z 当奖惩系统进入稳定状态时，对保单持有人在奖惩系统中的位置进行度量。z 反映了保单持有人在奖惩系统的最低保费等级中的聚集程度。RSAL =稳定状态下的平均保费水平最低保费水平最高保费水平最低保费水平24z 这是一个相对数指标：最低保费水平确定为 0，最高保费水平确定为 100，实际数值表示一般保单持有人的相对位置。z 较低的 RSAL值表明大多数保单集中在了最高的保费折扣等级z 较高的 RSAL值表明保单在各个等级之间的分布比较合理。z 理想的 RSAL值应该在 50%左右，但事实上没有一个国家的奖惩系统接近这一数值。5252、被保险人所缴保费的变异系数：z 被保险人之间的互助合作关系
12、可以通过年保费的一种变异指标进行度量，如变异系数 (标准差除以均值 )。z 根据 Lemare (1995) 的一项研究结果z 在不购买保险的情况下，保单持有人自负损失的变异系数大约为 6.40。z 在完全保险的情况下，如果不进行保费的后验调整，保费的变异系数将为 0。z 因此在应用奖惩系统的情况下，保费的变异系数大约在 0与 6.40之间。奖惩系统越严厉，变异系数越大。263、奖惩系统的弹性z 奖惩系统的弹性 ：度量了奖惩系统对索赔频率的变化所能作出的反应。z 理论上 ：一个合理的奖惩系统，保单持有人在一生中所缴纳的保险费应该是其索赔频率的线性增函数。z 例 ：z 设有两个保单持有人，一个的
13、索赔频率为 0.10，另一个的索赔频率为 0.11。z 如果经过较长的一段时间以后，第二个保单持有人比第一个多缴纳 10%的保险费。此奖惩系统被认为是具有完全弹性的。z 如果保险费的增量是 2%，而不是 10%，那么奖惩系统的弹性被认为是 20%。z 事实上，在大多数情况下的保费增量远远不及 10%。27z 令 P( )表示索赔频率为 的保单持有人在稳定状态下的平均保费水平。那么最理想的状态是：索赔频率的增量该导致保费有相同的增量z 如果有z 则称这个奖惩系统具有完全的弹性。ddPP()()=1ddPP()()284、平均最优自留额z 奖惩系统的副作用：保单持有人自己支付小额索赔而不向保险公司
14、报告，以避免将来的保费增加。z 越是严厉的奖惩系统，保单持有人 “对奖励的追逐 ”越是严重，因此其平均最优自留额越高。z 对于奖惩系统的每一个等级，都可以计算最优自留额水平。29最优奖惩系统z 定义 ：每个被保险人缴纳的保费与其潜在的风险水平成比例，且保险公司能够维持其财务平衡。z 最优奖惩系统可以在不同的索赔次数模型下建立。z 当保单组合的索赔次数服从负二项分布时建立的最优奖惩系统。z 在其他索赔次数模型（如泊松 -逆高斯分布模型、三元和二元风险模型等）下，建立的最优奖惩系统。（参见Lemaire 1995）30z 假设给定个体保单的索赔次数 X 服从参数为的泊松分布，而保单组合关于的结构函
15、数服从参数为 的伽玛分布z 即随机个体保单的索赔次数服从参数为 的负二项分布 )(, )1+( ) 1, 2,!kPX k e kk= =Kue()() = 1631z 当随机个体保单在 t 年内的索赔次数记录为 k1, k2, . . . kt时（其中 ki为第 i 年的索赔次数），由 Bayes定理可知， 的后验分布为1110(, |)()(| , )(, |)()tttPk k uukkP kk ud =LLL1( )()()kk ttek +=+32z 此即参数为 ( + k, + t) 的伽玛分布，其中z 因此，当前 t 年的索赔次数记录为 k1, k2, . . . kt时，第(t
16、+1) 年关于 的最优估计为其后验均值。1tiikk=1tkt+=+33z 当 t 时，这一估计序列趋于随机个体保单的真实索赔频率 = k / tz 而估计方差 + k / ( + t)2趋于零。z 因此，对个体保单的观察时间越长，对其索赔频率的估计越准确。34z 假定对个体保单平均每次的赔款为一个货币单位z 在期望值原理下，当随机个体保单在 t年内的索赔次数记录为 k1, k2, . . . kt时（其中 ki为第 i 年的索赔次数）z 其第 t +1 年的保费应为z 这种根据个体保单的索赔经历调整其续期保费的系统即为所谓的最优奖惩系统。11 1(, ,) (1 ) (1 )tt trkPk
17、 ktr+=+ =+L安全附加系数35最优奖惩系统的性质 ：（ 1）从长期来看，最优奖惩系统是公平的，因为个体保单的续期保费与它们的索赔频率的估计值成比例。（ 2）保险公司的财务具有稳定性。（ 3）个体保单的保费水平只与以前年度的总索赔次数有关，而不管这些索赔次数在过去若干年是如何分布的。36（ 4）最优奖惩系统是信度模型的特例。即只要令信度因子Z= t / ( + t)，则最优奖惩系统的后验保费就可以表示为先验保费 ( / )和实际观察值 ( k / t ) 的线性组合：1(1 )tkZZt+=+737z 例 ：根据下表的有关数据构造最优奖惩系统。一个保单组合在一个保险年度内的索赔次数106
18、974.0106974合计0.2043.49450.1433708.670429230.99240196980.8969780负二项分布的拟合值（极大似然估计）保单数索赔次数38z 对于表中的索赔次数数据，负二项分布参数的极大似然估计值为z 由于新投保的被保险人没有索赔次数记录，所有其索赔频率的初始估计值是负二项分布的均值，即1= ( / )z 如果令新投保的被保险人的保费水平为 100个单位，即 1.6313 =16.1384 =11(1 ) (1 ) 100Pr r=+ =+ =39z 则当他在 t 年内的索赔次数为 k1, k2, . . . kt时（其中 ki为第i 年的索赔次数 ）
19、，他在第 t +1 年的保费水平应为1tiikk=1100( )()tkPt +=+40z 当 ， 时，上述计算结果如下表所示。 1.6313 =16.1384 =最优奖惩系统310.35263.55216.75169.95123.1576.355325.76276.64227.51178.39129.2680.144342.78291.09239.40187.71136.0284.323361.68307.14252.60198.06143.5288.972382.79325.06267.34209.61151.8994.1711000543210tk41z 上述 “最优奖惩系统 ”事实上并非是最优的，这是因为z 仅考虑了索赔次数，没有考虑索赔额和违章记录等因素。z 没有考虑在汽车保险中可能使用的其他先验费率因子（如驾驶员的年龄、性别、居住地等。z 是在负二项分布假设和平方误差最小化条件下的最优。z 具有无限多个保费等级，在实际应用中也会存在困难。
