1、Gibbons 博弈论基础习题解答（CENET） 第一章 猪头非整理 1 1.1 略 1.2 不会被重复剔除严格劣战略剔除的战略是：T, M, L, R； 纯战略纳什均衡是(T, R)和 (M, L)。 1.3 设此博弈的纯战略纳什均衡是（ *1s, *2s）。 对于参与人 1来说，*1221*111220 11maxmax,maxmax1,01sssss sss ， 所以均衡状态时，每一企业的福利都要比他们相互合作时下降。 至于 q，不妨令 ()/2qac= ， 则 同理可得如下标准式： qm/2 qc q 1p , 1p 2p , 3p 5p , 1p 3p , 2p 4p , 4p 6
2、p , 7p 1p , 5p 7p , 6p 8p , 8p 其 中 ， 25 ()/16acp= ， 26()/18acp= ， 27()/12acp= ，80p = 。 此博弈符合题目要求，即( cq , cq )是 唯 一的纳什均衡，并且在纳什均衡下，每一企业的福利都要比他们相互合作时低，但两个企业都没有严格劣战略。 1.6 当 120,/2cca+时 ， 纳什均衡解为角点解，即*11()/2qac= ，*20q = 。 此题目说明：当厂商的生产成本有较大差异时，具有成本优势的厂商将垄断整个市场，而处于成本劣势的厂商将退出市场。 1.7 简单证明(c,c)为 唯 一的纳什均衡。 首先，给
3、定对方定价 c，己方定价 c时，利润为 0。而己方定价高于 c时，利润为 0，低于 c时，利润为负。所以给定对方定价 c，己方定价 c是最优反应，这对于双方都成立，也即(c,c)是纳什均衡。 其次，由于不存在固定成本，所以市场中企业的定价不可能低于 c。而双方定价都高于 c时，每一方理论上都倾向于定价低于对方但无限接近对方，从而占据整个市场，从而此时没有稳定的均衡；而一方定价高于 c、另一方定价为 c同样不够成稳定均衡，因为定价为 c的企业更倾向于定价高于 c但低于另一方的定价。由此，可以证明纳什均衡(c,c)的 唯 一 性 。 1.8 如 果 有两个候选人，唯一的纯战略纳什均衡为 *120.
4、5xx= ，即两候选人集聚于中点，平分全部选票。下面简单证明：无论两候选人都在中点右侧，都在中点左侧，还是分居中点两侧，每一候选人都倾向于比另一候选人更接近中点以获得超过半数的选票，所以没有稳定的均衡；都在中点时，每个人都有 1/2 的 胜 出 概率，而偏离必定输掉选举，所以没有人会偏离中点。由此得证上述均衡为唯一的纯战略纳什均衡。 如果有三个候选人，可以用类似于上面的方法证明不存在纯战略纳什均衡：无论三个候选人的相对位置如何，都不会形成稳定的均衡。所以题目要求的是混合纳什均衡。具体方法请参见 Hotelling, H. (1929) “Stability in Competition”, E
5、conomic Journal 39: 41-57. qm/2 qc q Gibbons 博弈论基础习题解答（CENET） 第一章 猪头非整理 3 1.9 略 1.10 按照求解混合战略纳什均衡的方法去解这些博弈，发现不存在混合战略纳什均衡，也就证明了。过程略。 1.11 首先重复剔除严格劣战略，可得下面的博弈： L R 2， 0 4， 2 3， 4 2， 3 针对上面的博弈，设参与人 1的战略为（p,1-p）， 参与人 2的战略为（q,1-q）。 则 对于 1来说， *24(1)32(1)qqqq+=+，得：*2/3q = ； 对于 2来说， *4(1)23(1)ppp=+ ，得*1/3p
6、 = 。 则原博弈的混合战略纳什均衡为： (1/3, 2/3, 0), (2/3, 0, 1/3) 。 1.12 按照 1.11 的解法，可得混合战略纳什均衡为： (2/3, 1/3), (3/4, 1/4) 。 过程略。 1.13 此博弈有两个纯战略纳什均衡、一个混合战略纳什均衡。 纯战略纳什均衡为：（向企业 1申请，向企业 2申请）；（ 向企业 2申请，向企业 1申请）。 混合战略纳什均衡为： ( )( ) 1212211212122112(2)/(),(2)/(),(2)/(),(2)/()wwwwwwwwwwwwwwww+1.14 证明：在混合战略纳什均衡中，参与人 i的混合战略为 *
7、ip，其中选择第 j个纯战略 ijs的概率为 *ijp。用反证法证明。 假设 * 0ijp ，且 ijs是第一个被重复剔除劣战略所剔除的战略。那么参与人 i必定存在另一个纯战略 Sik， 使 得 (,)(,)iijiiikiuspusp ， SB+会增加， 2 ()USB+ 会增加，因为（*）式， 2 ()USB+ 增加的幅度比 11()UIS 减小的幅度大，所以孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。 2.3 根据Shaked和Sutton的研究发现，我们可以把无限博弈截开（见Gibbons教材55页），首 先 分析前三阶段： 假设在第三阶段参与人1提出S，参与人2接受1-S，则解
8、决方案为（S，1-S）。 则在第二阶段2提出不少于 1Sd 给参与人1，1就会接受，解决方案 11(,1)SSdd 。 则在第一阶段参与人1提出不少于 21(1)Sdd 给参与人2，2就会接受， 解决方案为（ 211(1)Sdd， 21(1)Sdd ） 推广到无限期，从第一阶段开始的博弈和从第三阶段的博弈是一样的， 所以解： 211(1)Sdd=S 得出 212(1)/(1)S ddd= 解决方案：( )2122212(1)/(1),(1)/(1)ddddddd 2.4，2.5略 2.6 采用逆向归纳法： Gibbons博弈论基础第二章习题解答（部分） 仅供参考！ E-mail: - 2 -
9、（1）在第二阶段企业2和企业3决策： ( ) 22321020 22cqqqqqaMaxMaxqq=p ( ) 33321030 33cqqqqqaMaxMaxqq=p 得反应函数=331312qcaqqcaq（2）第一阶段企业1的决策： ( ) 11321 cqqqqqaMax 011 =qp 将3132qcaqq = 代入得 21caq = 632caqq = 2.7 采用逆向归纳法 （1）第一阶段，企业最大化其收益： 1)(12102111+=+= =+= =nwanLnwaLLLLwaLLwaLLwLaLwLaLinijjiijjiinjiinjiipp（2）第二阶段，工会最大化其收益
10、 21)()()( * waawnwanwawLwawMaxw+=+ 所以企业数量不影响工会效用。 2.8，2.9略 2.10 思路：逐个分析上述的四种情形： 第一种情形，第一阶段选择Qi，第二阶段选择Pi，即双方均采取合作的策略，得益均为6； Gibbons博弈论基础第二章习题解答（部分） 仅供参考！ E-mail: - 3 - 第二种情形和第三种情形下，实际上有一方是采取了不合作，其得益为x，另一方即利益受损方得益为2； 第四种情形实际上是双方都不采取合作的策略，而根据题目要求，对于x，下述战略是一个子博弈精炼纳什均衡，所以x必须小于双方均合作时的收益6，否则第一种情形不会出现，因为既然x
11、6了，双方均会选择不合作而使情形一不会出现。 由题目先前给定的条件x 2()/4ac ，得到： 1/2d （可参见谢识予的经济博弈论习题解答）。 2.14 略 2.15 （1）垄断的产量、价格、利润： =Q(a-Q)-CQ 利润最大化时：a-2Q=C，从而Q=(a-c)/2. 此时价格为(a-c)/2。 （2）古诺均衡下的产量、价格、利润： =(a-qi) qi -cqi )3,2,1(10nin caqcqqaqiiiii=+= pGibbons博弈论基础第二章习题解答（部分） 仅供参考！ E-mail: - 4 - 价格为 .11 )( +=+= n ancn canaP 利润为21111
12、 +=+=ncancacncanancip 企业违背垄断产量时的各期利润： ()ncnanpcannqcqqn canaqcqqqcannaijiiiiiii4)13()1(),(4102 )(1(21+=+= =pp利润为 222)(16 )1( cann + 要使企业不违背产量，须满足： + ncancan cann 4 )(4 )()1( )(16 )1(2222222dd 解之得： 22216)1()1(4)1(nnnnn+d (0 Gibbons博弈论基础第三章习题解答（部分） 仅供参考！ E-mail: - 1 - 3.1 略 3.2 在市场需求为高时，企业1的最优策略为： 121
13、max()HHHaqqcq -（1） 推出 21 2HH aqcq = -（2） 在市场需求为低时，企业1的最优策略为： 121max()LLLaqqcq -（3） 推出 21 2LL aqcq = -（4） 企业2的最优策略为： 122122max()(1)()H LLaqqcqaqqcqqq+ -（5） 由一阶条件的得： 112()(1)()*2HHLLaqaqcq qq+= -（6） （6）与（2），（ 4 ）联立： 1(3)(1)2*6HLHaacq qq= 1(2)2*6LHLaacq qq+= 2(1)*3HLaacq qq+= 结论：企业1战略 11(*,*)HLqq，企业2战略
14、 2 *q 为贝叶斯纳什均衡。 3.3 行动空间：0，a） 类型：,HLbb 推断： (/),(/)1HLLLPbbPbbqq= (/),(/)1HHLHPbbPbb = 效用函数： 企业i max()()(1)()()iiHj iiHjLpcapbppcapbpqq+ max() )(1)()iiLj iiLjLpcapb pcapbp+ 企业j max()()(1)()()jjHi jjHiLpcapbppcapbpqq+ max() )(1)()jjLi jjLiLpcapb pcapbp+ 求解一阶条件 Gibbons博弈论基础第三章习题解答（部分） 仅供参考！ E-mail: - 2
15、 - 得 2(1)()*22(1)LHjHiHHLbbappbbqqq+=+ 3.4 （1） （B，L） （2） 参与者1在左边博弈时选T，右边博弈时选B； 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者2选L 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者2选L和选R无差异 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者2选L 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者2选L和选R无差异 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率 时，参与者1选正面；当 ptp 时，参与者2选择反面 因此，参与者1选择正面的概率为 xcx ，选背面的概率为cx； 参与者2选择正面的概率为
16、px ，选背面的概率为 xpx 。 对于参与者1，若选正面的收益大于选择反面，则： (1)(1)c xppxppt xxxx+ = 2 2c ptcxp= -(1) 对于参与者2，若选反面的收益大于选择正面，则： (1)(1)p xccxcct xxxx+ = 2 2p ctpxc= -(2) (1) 与（2）联立， cp= 带入（1） 1+ ct , -1 -1, 1+ pt -1, 1 1, -1 Gibbons博弈论基础第三章习题解答（部分） 仅供参考！ E-mail: - 3 - 2222222222222(4)20416224161416224161111222416416 1416
17、4160,1,02121,0,2cxccxccxcxxxcxcxxxxxxxxxxxxxxxcxxppcxx+=+=+=+=+=+ +=其中，3.6 由于Game中各方地位对称，取第i个人进行分析 假设其他所有人的策略都是 (1) ,jj vnbjin= 则对于第i个人，效用最大化： 111111max()Pr().Pr()Pr().Pr()(1),10,1(1)Pr()max()Pr().Pr()Pr().Pr()max(iiii inijjjjiijiiii inivbbbbbbibbibbnnjibbvvnnvbnbbnvbbbbbbibbibvb+= 服从上的均匀分布121123ii(1)(1): ()0(1)()(2)0v(1) *v(1)*niinniiiiniiiiiiibnnnvnbnvbnn bvnbnvnbnnbnnbn=+= （b） 12121212(,),(,) 1/3,1/2(,),(,) 1/2,0LLLuuppqqLLRudppqq=+=+=
