1、直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。但在初中数学教材中它却是以矩形性质（矩形的对角线相等）的推论形式出现的，因而很容易造成学生忽视这一性质的应用从实际教学的反馈来看确有很多学生应用它解决问题有困难下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用仅供参考一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图 1，在 RtBAC 中，BAC=90，D 为 BC 的中点，则 AD= BC21。2、性质的拓展：如图 1：因为 D 为 BC 中点，所
2、以 BD=DC= BC，所以 AD=BD=DC= 2，所以1=2，3=4，因此ADB=23=24，ADC=21=22。因而可得如下几个结论：直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的 2 倍二、性质的应用1、求值例 1、（江苏省苏州市中考）如图 2，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的中线，若 CD=4，则AB= 解析：由性质可知：CD= AB21，所以 AB=2CD=82、证明线段相等例 2、（上海市中考）如图 4，在ABC 中，BAC=90，延长 BA 到 D 点，使
3、AD =AB1，点 E、F 分别为边 BC、AC 的中点。（1）求证：DF=BE；（2）过点 A 作 AGBC，交 DF 于 G。求证：AG=DG。分析：（1）因为 E 为 BC 的中点，所以 BE= BC。要证 DF=BE，即为 ，连 AE，AE= 21，只需证 DF=AE。因为 EF 为ABC 的中位线，所以 EF ，而 AD= AB21，所以 。故四边形 AEFD 为平行四边形。所以 DF=AE，从而 DF=BE 这一命题得证。（2）由性质拓展可知：1=2。由（1）得 AEDF，所以2=D。因为 AGBC，所以1=DAG，因此D=DAG，所以 DG=AG。3、证明角相等及角的倍分关系例
4、3、已知，如图 5，在ABC 中，BAC90，BD、CE 分别为 AC、AB 上的高，F 为BC 的中点，求证：FED=FDE。分析：因为 BD、CE 分别为 AC、AB 上的高，所以BDC=BEC=90。在 RtBDC 中 DF 为斜边上中线，所以 。同理在 RtBEC 中， ，所以 DF=EF，所以FED=FDE。例 4、（上海市中考题）已知：如图 6，在ABC 中，AD 是高，CE 是中线。DC=BE，DGCE，G 为垂足。求证：（1）G 是 CE 的中点；（2）B=2BCE。分析：（1）E 是 RtADB 斜边上中点，连 DE，则，所以 DE=DC。又因为 DGCE，所以 G 为 CE
5、 的中点。（2）因为 DE=DC，所以1=2。因为EDB=1+2，所以EDB=22。由性质拓展知：B=EDB，所以B=22，即B=2BCE。4、证明线段的倍分及和差关系例 5、（呼和浩特市中考）如图 7，在ABC 中，C=2B，D 是 BC 上的一点，且ADAB，点 E 是 BD 的中点，连 AE。求证：（1）AEC=C；（2）求证：BD=2AC。分析：（1）因为 AE 是 RtBAD 斜边 BD 上中线，由性质拓展可知：AEC=2B。又因为C=2B，所以AEC=C。（2）由（1）AEC=C，所以 AE=AC，AE 是 RtBAD 斜边上中线。由性质可得：，所以 ，故 BD=2AC。例 6、（
6、第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图 8，在梯形 ABCD 中，ABCD，A+B=90，E、F 分别是 AB、CD 的中点。求证： 。分析：延长 AD、BC 交于 G，连 GE、GF。由于A+B=90，所以G=90。E、F 分别为 DC、AB 中点。由性质可得：。由性质拓展可得：GDE=AGE，GAF=AGF。因为 CDAB，所以GDE=GAF，所以AGE=AGF，所以 G、E、F 三点在同一直线上，所以 。5、证明线段垂直例 7、如图 9，在四边形 ABCD 中，ACBC，BDAD，且 AC=BD，M、N 分别是 AB、DC 边上的中点。求证：MNDC。分析：M 是 RtADB 与 RtACB
7、斜边上中点，连 DM、CM，由性质可得：，所以DMC 为等腰三角形。又因为 N 为 CD 的中点，所以 MNDC。6、证明特殊的几何图形例 8、（新疆维吾尔自治区中考）如图 10，将 RtACB 沿直角边 AC 所在直线翻折180得到 RtACE，点 D 与点 F 分别是斜边 AB、AE 的中点，连 CD、CF，则四边形 ADCF 为菱形请给予证明分析：由于ACE 是ACB 沿直角边 AC 翻折得到的，所以 AB=AE，ACE=90因为 D、F 分别是 RtACB 和 RtACE 斜边上中线，所以 ，所以 AD=DC=AF=FC，所以四边形 ADCF 为菱形。三、尝试训练1、（黑龙江中考）在A
8、BC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为 2、（2006 年重庆市中考）如图 11 所示，一张三角形纸片 ABC，ACB=90，AC=8，BC=6，沿斜边 AB 的中线把这张纸张剪成AC 1D1和BC 2D2两个三角形（如图 12 所示），将纸张AC 1D1沿直线 D2B（AB）方向平移（点 A，D 1，D 2，B 始终在同一条直线上），当点 D1与点 B 重合时，停止平移，在平移过程中，C 1D1与 BC2交于点 E，AC 1与 C2D2、BC 2分别交于点 F、P。（1）当AC 1D1平移到如图 13 所示时，猜想图中 D1E 与 D2F 数量关系，并证明猜想：3、如图 14，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，AC 与 BD 相 交于O，BOC= ，G、E、F 分别是 AB、OC、OD 的中点。求证：GEF 为等边三角形。（提示：连 AF、BE）
