1、- 1 -河南省信阳高级中学 2018 年高中数学统一招生模拟试题（三）理一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知 ，则 （ ）.22|,|MyRxNRxyMNA B C D(1,)00,112. 已知复数 的实部为 ，则复数 在复平面上对应的点位于（ 4i1bzzb）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.下列函数中，既是奇函数又在区间 上是减函数的是（ ）(0,)2A B. C D3yxsinx1ycosyx4在下图算法框图中，若 a=6，程序运行的结果 为二项式 的展开式中的系数的 倍，那么判断框中应填入的
2、关于 的判断条件是A. B. C. D. 5.在区间 内随机取两个实数 ， ，则满足 的概率是（ 1,xy12x）A. B. C. D.929761566. 各项都是正数的等比数列 的公比 ，且 成等差数列，则 的值为( )A. B. C. D. 或7. 直线 与圆 相交于3ykx224y两点，若 ，则 的取值范围是（ ） .,MN2kA B304(,0,)4C D,3- 2 -8 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ，则几何体的高 为A. B. C. D. 9.已知 中， ， ， 成等比数列，则 的取值范围是( )ABCsiniBsinCsin2coBA. B. C. D
3、. 2,20,1,230,10.已知函数 ，当 时，函数 在 ， 上均为增函数，2()exfxab()fx,21,+则 的取值范围是（ ）.2abA B C D,31,232,3,2311.设点 、 分别是双曲线 的右顶点、右焦点,直线,0Fc21(0,)xyab交该双曲线的一条渐近线于点 若 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ 2axPAF）A. B. C. D.332212.若过点 与曲线 相切的直线有两条 ,则实数 a 的取值范围是( ),PalnfxA. B. C. D.,ee,10,e,本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 2
4、2 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13.并排的 5 个房间，安排给 5 个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，则每个房间恰好进入一人的概率是 .14.已知四边形 的对角线相交于一点 , , ,则 的最ABCD13AC31BDABCD小值是 15.我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一- 3 -些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱如图为一个“堑堵” ，即三棱柱 ，其中 ，已知该“堑堵”的高为 ，体积为 48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为_
5、.16.已知数列 中,对任意的 ,若满足 （ 为常数）,则称na*nN123nnaas该数列为 阶等和数列,其中 为 阶公和；若满足 （ 为常数）,则称该数4s4t列为 阶等积数列,其中 为 阶公积,已知数列 为首项为 的 阶等和数列,且满足3t3np4；数列 为公积为 的 阶等积数列,且 ,设 为数列4231pnq1312qnS的前 项和,则 S2018= _nq三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 已知向量 ，设 (3sin,co)(s,co)mxxR()fxmn（1）求函数 的解析式及单调增区间；)f（2）在 中， 分别为角 的对边，且 ，求ABC,ab,ABC1,
6、2,()1abcfA的面积18.如图，已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面，平面 平面ABCDABPEABCD= ，且 ， 且 ABPE2,1PE,（1）设点 为棱 中点，求证： 平面 ；MM CD（2）线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值等于 ？若存NBP25在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由N19依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示- 4 -试估计该河流在 8 月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在 8 月份发生 1
7、级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 1、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1 级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元现此企业有如下三种应对方案：方案 防控等级 费用（单位：万元）方案一 无措施 0方案二 防控 1 级灾害 40方案三 防控 2 级灾害 100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由20.已知点 F是椭圆 )0(12ayx的右焦点，点 (,0)Mm、 (,)Nn分别是 x轴、y轴上的动点，且满足 NFM若点 P满足 PO2（1）求点 P的轨迹 C的方程；（2）设过点 任作一直线与点 的
8、轨迹交于 A、 B两点，直线 A、 B与直线ax分别交于点 S、 T（ O为坐标原点） ，试判断 FST是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由21.已知函数（1）若 ，讨论 的单调性；- 5 -（2）若 ， 为 在 上的最小值，求证： 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请涂黑题号。22. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 的方程为 ，以平面直角坐标系xOy1C21xy的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线xOy的极坐标方程为 .l(2cosin)6（1）将曲线 上的所有点的横坐标伸长为原为的 倍，纵坐
9、标伸长为原来的 2 倍后得到1C3曲线 ，试写出直线 的直角坐标方程和曲线 的参数方程；2l 2C（2）设 为曲线 上任意一点，求点 到直线 的最大距离.P2Pl23 已知 ，不等式 的解集是 .（1）求集合 ；（2）设 ，证明： .理科数学参考答案1.B 2C 3. B 4 B 5D 6.C 7.A 8D 9.B10.A ,因为函数 在 ，22()2eexx xfxababe()fx,2上均为增函数，所以 在 ， 上恒成立，即1,+()0f,1,+在 ， 上恒成立，令 ，2xxabe,2, 2()()hxaxb则 在 ， 上恒成立，所以有()0h,21,+(2， ， ,即 满足()30aba
10、1- 6 -, 在直角坐标系内作出可行域， ，其中02314ab 221abba表示的几何意义为点 与可行域内的点 两点连线的斜率，由图可知2bka(2,)P(,)Qk ，所以 k+1 ，即 的取值范围为 .3-13ab2311 D 显然 , ,所以由 是等腰三角形得 .易知PFAFPAPAF, ,所以 ,(0)a，2()abc， 222()()abcc2222(1a21.e解得 .故选 D.e12 B 设切点为 ,则切线斜率 = ,所以切线方程为lnQt kft1lnt,把 代入得 ,整理得 ,ln1ytx,Paltalnat显然 ,所以 ,设 ,则问题转化为直线 与函数 图象有两个0alt
11、lntg1ygt不同交点,由 ,可得 在 递增, 递减,在 处取得极大值2ltgt t0eex,结合 图象,可得 ,故选 B.1et10ea13. 依题意可知，每一个人入住的方法都是 种，所以 人入住的方法总数为6254 5种，而每个房间恰好进入一人的方法数是 种，因此，每个房间恰好进入31 120A一人的概率是 .51204365A14 取 ,则 ；设 , ,则2()(,)C1()Bxy2()D213,.xy- 7 -所以 , ,122,3,1ABxyy 21,3CDxy求得 ,22()()CD 当 且 时, 取到最小值 。13,2xy231xyABCD215. 设 ， ，又 ，且该“堑堵”
12、的高 ，所以“堑堵”的体积，解得 ， “堑堵”外接球的直径，其半径为，当且仅当 时，等号成立，所以该“堑堵”的外接球体积的最小值为 ，故答案为 .16 -2523 由题意可知, , , , , , , , ,1p234p851p6274p8, , , , ,又 是 4 阶等和数列,因此该数列将会91p02481n照此规律循环下去,同理, , , , , , , ,1q23q45q617q, , , , , ,又 是 3 阶等积数列,因此8q91011n该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列 ,每 12 项的和循环一次,易求出np,2018=12168+2 组循环结构,故 S2018=-1
13、5168-1-2=-1212.5ppq252317.解：（1） 231()3cossincos2fxmnixxx， 由 可得1sin26 Zkk,62- 8 -，所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ， .kxk63 ,36kZk（2） ， ，21)6sin(,1)(Af130,2A.由563Acos2ba得 ， .1,4cos21cb 43sin21SABC18（1）证明：（方法一）由已知，平面 平面 ，且 ，则 平DPEABC面 ，所以 两两垂直，故以 为原点， 分别为 轴， 轴，ABPE,PBC,xy轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系z则 ，所以 1(0,2)(,)(,)(
14、2,0)(,1)PDMEC1=(,0)2EM易知平面 的一个法向量等于 ，ABC,n因为 ，所以 ，=(1,)(,2En n又 平面 ，所以 平面 DEABCD（方法二）由已知，平面 平面 ，且 ，则 平面PABC，ABP所以 两两垂直连结 ，其交点记为 ，连结 ， ,C,OME因为四边形 为矩形，D所以 为 中点因为 为 中点，OBMP所以 ，且 P12B又因为 ，且 ，AEAE所以 ，且 = O- 9 -所以四边形 是平行四边形，所以 .AEMOEMAO因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 BCDBCDABCD（2）当点 与点 重合时，直线 与平面 所成角的正弦值为 NNP25理由如下：因
15、为 ，设平面 的一个法向量为 ，(,21)(,0)PCD11(,)nxyz由 得10nDC1,.xyz取 ，得平面 的一个法向量 1yP1(0,2)n假设线段 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成角 的正弦值等于 NBPCD25设 ，(01)ND则 ， 2,2)P(2,)N所以 11|sin|co,Bn22255()(5984所以 ，解得 或 （舍去） 因此，线段 上存在一点 ，当98101PDN点与 点重合时，直线 与平面 所成角的正弦值等于 NDBNPCD2519.（1）依据甲图，记该河流 8 月份“水位小于 40 米”为事件 ， “水位在 40 米至 50 米之1A间”为事件 ， “水位
16、大于 50 米”为事件 ，它们发生的概率分别为：2A3A，1 20.5.06.5,0.4250.3PP 3记该地 8 月份“水位小于 40 米且发生 1 级灾害”为事件 ， “水位在 40 米至 50 米之间且发1B生 1 级灾害”为事件 ， “水位大于 50 米且发生 1 级灾害”为事件 ，2B3所以 30.,.,0.6PP- 10 -记“该河流在 8 月份发生 1 级灾害”为事件 则B123123PBAPBAPAPB0.65.30.506.5估计该河流在 8 月份发生 1 级灾害的概率为 （2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润 （万元）的取值为： ，由（1）知1X50,0 150.
17、690.378.5,PX PX435的分布列为1X1 500 100 1000P 0.81 0.155 0.035则该企业在 8 月份的利润期望（万元） 150.10.510.354.EX选择方案二，则 （万元）的取值为： ，由（1）知，246,，2 246.8.9,.0PPX的分布列为：XX2 460 1040P 0.965 0.035则该企业在 8 月份的平均利润期望 （万元）2460.95104.35407.EX选择方案三，则该企业在 8 月份的利润为： （万元）由于3，因此企业应选方案二231EXEX- 11 -20（1） 椭圆 )0(12ayx右焦点 F的坐标为 (,0)a，(,)N
18、Fan ,MNmn， 由 N，得 02mn 设点 P的坐标为 ,yx，由 PO2，有 (,0)(,),)xy，.2,ynm代入 02a，得 axy42 （2）设直线 AB的方程为 xt，21(,)4Aya、2(,)4Bya，则 yalOA14:， yalOB24: 由 ax,1，得 1(,)S， 同理得24(,)aTy214(,)FSy，2(,)FTay，则4216aFSy 由 axyt4,2，得 0422t， 214a 则 )(16222 aFTS 因此， 的值是定值，且定值为 0 21.解：（1） ，若 ，即 时，则由 得 ，当 时， ；当 时， ；所以 在 单调递减，在 单调递增 - 1
19、2 -若 ，则由 ，得 或 ，构造函数 （ ） ，则 ，由 ，得 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 （当且仅当 时等号成立） 若 ， ， 在 单调递增； 若 或 ，当 时， ；当 时， ；所以 在 单调递减，在 ， 单调递增 （2）若 ， 在 单调递减，在 单调递增， ，则 ，令 ，则 ， 在 单调递减， ，所以存在唯一的 使得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，而 ， 又 ，所以 ，所以当 时， 22（1）由题意知，直线 的直角坐标方程为： l260xy曲线 的直角坐标方程为： ，即2C2()13x2134- 13 -曲线 的参数方程为： （ 为参数）.2C3cos2inxy（2）设点 的坐标 ，则点 到直线 的距离为P(s,)Pl4co(63cos2in655d当 时， .cs()16max2d23：（）当 时， .由 ，得 ，所以 . 当 时， .由 ，得 ，所以 综上可知， . （）因为 ， ，所以 ， ， 即 ， . 所以，故 .
