1、炎德英才大联考湖南师大附中 2018届高三月考试卷(三)数 学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 8页。时量 120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设 i是虚数单位，则1ii 2i 3i 4i 100( )A. 1 B. 0 C. 1 D. i【答案】C【解析】根据等比数列求和公式，可知原式 1，故选：C.2. 给出命题 p：直线 ax3 y10 与直线 2x( a1) y10 互相垂直的充要条件是a ；命题 q：若平面 内不共线的三点到平面 的距离相等，则 .
2、下列结论中正确的是( )A. “p q”为真命题 B. “ p q”为假命题C. “p q”为假命题 D. “ p q”为真命题【答案】D【解析】命题 p：直线 ax3 y10 与直线 2x( a1) y10 互相垂直的充要条件是2a3( a1)0，得 a ，所以为真命题；命题 q：若平面 内不共线的三点到平面 的距离相等，平面 与平面 相交也可以，所以为假命题，即 p为真命题， q为假命题，所以“ p q”为真命题，故选：D.3. 如果 f(x) ax2(2 a)x1 在区间 上为减函数，则 a的取值范围是( )A. (0，1 B. 0，1) C. 0，1 D. 0，1)【答案】C【解析】由
3、题意，当 a=0时，可得 f（x）=2x+1，在 R上是单调递减，满足题意，当 a0 时，显然不成立；当 a0 时，要使（ 上为减函数，则 ，解得：a1,0a1综上：可得 0a1故选：C4. 计算机执行如图所示的程序，则输出的 S值为( )i6S1DOSS*iii1LOOP UNTIL i3PRINT SENDA. 30 B. 120 C. 360 D. 720【答案】C【解析】执行循环体依次得 S6，i5； S30，i4；S120，i3； S360，i2，此时满足条件 i3，所以输出的 S360,故选:C.5. 在等差数列 an中， a12016，其前 n项和为 Sn，若 2017S2016
4、2016 S201720162017，则 S2016的值等于( )A. 2018 B. 2017 C. 2016 D. 2015【答案】C【解析】2017 S20162016 S201720162017,得：又 为等差数列，公差为 首项为 2016 S2016=2016故选：C6. 在 ABC中，若 ，则 ABC的形状是( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知 ， 或 ，即 或，由正弦定理，得 ，即 ，即 ，均为 的内角， 或 或 ， 为等腰三角形或直角三角形，故选 D.7. 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的
5、体积为( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C【解析】由已知三视图可得，该几何体是一个底面为直角边为 的等腰直角三角形，高为 的三棱锥，如图，三棱锥 ，故该几何体的体积为 ，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知半径为 4的圆 O是 ABC的外接圆，且满足 ，则 在 上的投影
6、为( )A. 2 B. 2 C. 4 D. 4【答案】A【解析】 ， ， 为 的重心，又 为 的外心， 为正三角形，设的边长为 ，则 ， 在 上的投影为 ，故选 A.9. 在区间0，4上随机地选择一个数 p，则方程 x2px3p80 有两个正根的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】方程 有两个正根，则有 ，即解得 或 ，又，由几何概型概率公式可得方程 有两个正根的概率为 ，故选 A.10. 在直角坐标系中，若不等式 表示一个三角形区域，则实数 a的取值范围是( )A. a0 B. a0 C. a2 D. a2【答案】D【解析】画 x0，y2x+1 的公共区域，y=ax 表示过
7、（0，0）的直线系当 a=2 时，直线 y=2x 与 y=2x+1 平行，不构成三角形，逆时针旋到与 y轴重合前到能构成三角形，则斜率 a的取值范围是（2，+）故选：D11. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 F1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为 P，PF 1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若|PF 1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则 e1e21 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三角形 PF1F2三边关系可知 ， ，则不等式 的解集为( )A. (，1) B. (1，)C. (，11，) D. (1，1)【答案
8、】D【解析】设 F f x， F( x) f( x) ， f( x) . F( x) f( x) 0，即函数 F(x)在 R上单调递增 f(x2)0)的焦点 F与椭圆 ： y21 的一个焦点重合，点M(x0，2)在抛物线上，过焦点 F的直线 l交抛物线于 A， B两点()求抛物线 C的方程以及| MF|的值；()记抛物线 C的准线与 x轴交于点 H，试问是否存在常数 R，使得 且|HA|2| HB|2 都成立？若存在，求出实数 的值； 若不存在，请说明理由【答案】() 抛物线 C的方程为 y24 x,|MF|=2；() 2 或 .【解析】试题分析: （1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则 ，
9、即可求得 p的值，求得抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式即可求得|MF|的值；（2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得 ，利用两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数 的值试题解析：()依题意，椭圆 ： y21 中， a22， b21，故 c2 a2 b21，故 F ，故1，则 2p4，故抛物线 C的方程为 y24 x，将 M 代入 y24 x，解得 x01，故 1 2. ()(法一)依题意， F ，设 l： x ty1，设 A ， B ，联立方程 ，消去 x，得 y24 ty40. 且 ，又 则 ，即 y1 y 2，代入 得 ， 消去 y2得 4t2 2，且 H ，则|
10、HA|2| HB|2 y y x x 2 2 y y 2 2 y y 4 t 8 4 t4t816 t440 t216.由 16t440 t216 ， 解得 t2 或 t2 (舍)，故 2 或 .21. 已知函数 f(x) ax2( a2 b)x aln x(a， bR)()当 b1 时，求函数 f(x)的单调区间；()当 a1， b0 时，证明： f(x)e x x2 x1(其中 e为自然对数的底数)【答案】()见解析；()见解析.【解析】试题分析: （）求出函数 f（x）的导数，通过讨论 a的范围求出函数的单调区间即可；（）法一：问题转化为证明 exlnx10，设 g（x）=e xlnx1
11、（x0） ，问题转化为证明x0，g（x）0，根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证明 x1lnx（x0） ，令 h（x）=x1lnx（x0） ，根据函数的单调性证明即可试题解析：()当 b1 时， f(x) ax2(1 a2)x aln x，f( x) ax(1 a2) . 讨论：1当 a0 时， x a0， 0， ax10时，令 f( x)0 x 或 a，当 a(a0)，即 a1 时， 此时 f( x) 0( x0)，此时函数 f(x)单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当 01时，此时在 和( a，)上函数 f( x)0，在 上函数 f( x) x2 x1，只需证明：e xln
12、x10，设 g(x)e xln x1( x0)，问题转化为证明 x0， g(x)0.令 g( x)e x ， g( x)e x 0， g( x)e x 为(0，)上的增函数，且 g 20， 存在惟一的 x0 ，使得 g( x0)0，e x0 ， g(x)在(0， x0)上递减，在( x0，)上递增. g(x)min g(x0)e x0ln x01 x01211， g(x)min0不等式得证. (法二)先证： x1ln x(x0)令 h(x) x1ln x(x0)， h( x)1 0 x1， h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增. h(x)min h(1)0， h(x) h(1)
13、x1ln x 1ln x1 x1 xln(1 x) x，e ln(1 x)e x，1 e x x1 x1ln x，e x1ln x，故 exln x10，证毕.请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22. 选修 44：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系 xOy中， O为坐标原点，曲线 C： ( 为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l： .()求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；()曲线 C上恰好存在三个不同的点到直线 l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标【答案】()
14、见解析；()见解析.【解析】试题分析: （1）消去参数 ，即可得到曲线 C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线 l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标试题解析：()曲线 ，可得：曲线 C的普通方程： x2 y24. 直线 l： sin 1 sin cos ，直线 l的直角坐标方程： x y20. ()圆 C的圆心(0，0)半径为 2， ，圆心 C到直线的距离为 1，这三个点在平行直线 l1与 l2上，如图：直线 l1与 l2与 l的距离为 1.l1： x y0， l2： x y40.，可得 两个交点( ，1)、( ，1)；解得(1， )， 这三个点
15、的极坐标分别为： 、 、 .点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 及 直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23. 选修 45：不等式选讲已知函数 f(x) ， g(x) af(x)| x1|.()当 a0 时，若 g(x)| x2| b对任意 x(0，)恒成立，求实数 b的取值范围；()当 a1 时，求 g(x)的最大值.【答案】() b1；()1.【解析】试题分析：（1）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，本题可由绝对值三角不等式得函数最值， （2）根据绝对值定义将函数转化为分段函数形式，分段讨论单调性，即得函数最值.试题解析：（1）当 时， ， ， ，（2）当 时，可知 在 上单调递增，在 单调递减 .
