1、湖北省 2018 届高三 5 月冲刺试题数学（文）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求函数值域得集合 B，再根据交集定义求结果.详解：因为 ，所以因此 ，选 A.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数
2、轴、坐标系和 Venn 图2. 已知向量 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析: 先根据向量夹角公式求解 ，即得结果.详解：因为 ，所以因此 等于 ，选 D.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.3. 随着中央决定在海南省全岛建立自贸区的政策公布以来，海南各地逐步成为投资热点.有24 名投资者想到海南某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄从小到大编号为 1-24 号，再用系统抽样方法抽出 6 名投资者，邀请他们到海南某地实地考察.其中年龄不超过 55 岁的人数为（ ）3 94 0 1 1 2 55 1
3、 3 6 6 7 7 8 8 8 96 0 0 1 2 3 3 4 5A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定【答案】B【解析】分析：由系统抽样方法得从小大每 4 人抽出一人，不超过 55 岁的分在两个区间，所以抽取 2 人.详解：因为系统抽样方法是等距性抽样，所以从小大每 4 人（一个区间）抽出一人，因为不超过 55 岁落在（39，40，41，41） ， （42，45，51，53） ，所以抽取 2 人.选 B.点睛：系统抽样方法是等距性抽样，分层抽样是比例抽样.4. 设函数 ，若 ，则实数的值为（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求
4、两者并集.详解：因为 ，所以所以选 B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.5. 若实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）A. -12 B. -4 C. 6 D. 12【答案】C【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图像确定最大值的取法.详解：作可行域，则直线 过点 A(3,3)时取最大值，为 6,因此选 C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束
5、条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：逐一按奇偶性以及单调性定义验证与判定.详解：因为 在其定义域上既是非奇非偶函数又是减函数，在其定义域上是奇函数,在 和 上是减函数，在其定义域上是偶函数,在其定义域上既是奇函数又是减函数因此选 D,点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 f(x)与 f( x)是否具有等量关系7. 执行
6、如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 为（ ）A. 64 B. 81 C. 100 D. 121【答案】C【解析】分析：执行程序，按 i 与 10 大小关系判断是否继续循环，直至跳出循环，输出结果.详解：执行程序，结束循环，输出因此选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 某几何体的三视图如图所示（在网格线中，每个小正方形格子的边长为 1） ，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【
7、答案】D【解析】分析：还原几何体，根据侧面与底面形状求面积，最后求和得结果.详解：因为几何体为一个四棱锥，如图，所以几何体的表面积是因此选 D.点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.9. 据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把 80 个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分 个（ 为正整数） ，若按这种方法分橘子， “公”恰好分得 30 个橘子的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据等差数列列关于
8、m 以及首项的不定方程，根据正整数解确定 m 可能取法，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：设首项为 ，因为和为 80，所以因为 ，所以 .因此“公”恰好分得 30 个橘子的概率是 ，选 B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.10. 给出下列四个结论：若 为真命题，则 为假命题；设正数构成的等比数列 的前 项和为
9、，若 ，则 （ ） ； ，使得 成立；若 ，则 是 的充分非必要条件其中正确结论的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C【解析】分析：详解：若 为真命题，则 为真命题，所以 为真命题； 错；设正数构成的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ，所以 ；对；令 ，则 ，所以 ，使得 成立；对；若 ，则 是 的充分非必要条件,所以 是 的充分非必要条件，对；因此选 C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等
10、价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件11. 已知 （为自然对数的底数）有二个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先化简得 还有一个非零的根，再利用导数研究函数单调性，结合函数图像确定有一个非零的根的条件，解得实数的取值范围.详解：因为 ，所以 还有一个非零的根令 ，所以当 时 ；当 时 ；当 时 ；因此当 时 还有一个非零的根；即 ，选 A.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定
11、参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12. 设双曲线 （ ， ）的左、右顶点分别为 、 ，点 在双曲线上，的三内角分别用 、 、 表示，若 ，则双曲线的渐近线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据三角形切的关系化简条件 得 ,再通过坐标关系表示 ，最后根据点 C 在双曲线上化简得 a,b 关系，即得双曲线的渐近线的方程.详解：因为 中 所以设 C(x,y),所以 因此双曲线的渐近线的方程为选 D.点睛：熟记一些常用结论或方法：1.已知双曲线
12、方程 求渐近线：2. 中第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知为实数，为虚数单位，若 为纯虚数，则实数 _【答案】2【解析】分析：先根据分母实数化将复数化为代数形式，再根据纯虚数概念求 a.详解：因为 ， 为纯虚数所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为14. 过抛物线 的焦点 ，向圆： 的作切线，其切点为 ，则_【答案】【解析】分析：先求抛物线焦点，再根据切线长公式求结果.详解：因为 ，所以 F(0,2),因此 .点睛：圆的切
13、线问题，一般利用圆心到切线距离等于半径进行求解，而切线长的平方等于点到圆心距离平方减去半径平方.15. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为， ， ，若 ，且 ，则 的值为_【答案】【解析】分析：先根据正弦定理将条件 化为角的关系，再根据 ，求出，代入即得结果.详解：因为 ，所以因为 ，所以点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16. 在数列 中， ，其前 项和为 ，用符号 表示不超过 的最大整数.当时，正整数 为_【答案】10【解析】分析：先根据裂项相消法以及分组求和法求 ，再根据定义确定正整数 .详解：
14、因为 ，所以 ,因为符号 表示不超过 的最大整数，所以因此点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某学生用“五点法”作函数 （ ， ， ）的图像时，在列表过程中，列出了部分数据如下表：03 -1(1) 请根据上表求 的解析式； (2)将 的图像向左平移 个单位，再向下平移 1
15、个单位得到 图像，若（为锐角） ，求 的值.【答案】 （1） （2） 【解析】分析：(1)根据最值求出 A.B,再根据点坐标得 方程组，解方程组得 ，(2)根据平移规律得 ，代入 解得 ，根据平方关系得 ，最后代入 得结果.详解： 解：（1） ， 又 .（2） ， 又为锐角， .点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.18. 如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 为等边三角形，平面 平面， 为 中点，平面 交 于 .(1)证明： 平面 ；(2)若平面 将四棱锥 分成上下两个体积分
16、别为 、 的几何体，求 的值.【答案】 （1）见解析（2） . 【解析】分析：(1)先根据面面垂直性质定理得 平面 ，即得 ，再根据正三角形性质得 ，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)先根据平几知识求梯形 MABN的面积，再根据（1）得 PM 为高，由锥体体积公式得 ；作 交于 ，由面面垂直性质定理得 平面 ，再由锥体体积公式得 + ,即得 ，可得 的值.详解：解：（1） 为正方形， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 为等边三角形， 为 中点， ，又 平面 .（2） ， 平面 ，又平面 平面 ； ， 而 为 中点， 为 中点由（1）知设 ， ，作 交于 ， 平面 平面 ， 平面 ，
17、而 ，又 .点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19. 某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了 50 名客户进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成 6 组： 、 、 、 、 、 得到频率分布直方图如图所示.用频率估计概率.房产销售公司卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如下表（单位：万元）：每一套房价格区间买一套房销售 1 2 3 4 5 6公司佣金收入(1)求的值；(2)求房产销售公司卖出一套房的平均佣金；(3)该房产销售公司每月（按
18、 30 天计）的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：月总佣金 销售成本占佣金比例不超过 100 万元的部分 5%超过 100 万元至 200 万元的部分 10%超过 200 万元至 300 万元的部分 15%超过 300 万元的部分 20%若该销售公司平均每天销售 4 套房，请估计公司月利润（利润=总佣金-销售成本）.【答案】 （1） （2）3.2（3）利润为 337.2 万元.【解析】分析：（1）先根据频率分布直方图中所有小长方体的面积和为 1，求 a， （2）根据组中值与对应区间概率乘积的和求平均值， （3）先计算总佣金，再根据频率计算销售成本，最后相减的结果.详解：解：（1）由
19、得 .（2）设卖出一套房的平均佣金为 万元，则.（3）总佣金为 万元，月利润为 万元，所以公司月利润为 337.2 万元.点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为 1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.20. 已知 的三个顶点都在椭圆 ： （ ）上，且椭圆 的中心 和右焦点分别在 边 、 上，当 点在椭圆的短轴端点时，原点 到直线 的距离为 .(1)求椭圆 的离心率；(2)若 面积的最大值为 ，求椭圆 的方程.【答案】 （1） （2）【解析】分析：(1)先根据点斜式
20、得直线 AC 方程,再根据点到直线距离公式得等量关系，进而求得离心率，(2)先根据对称性得 ，再根据 OF 为 c 得，联立直线 AC 方程与椭圆方程，利用韦达定理化简 ，最后根据基本不等式求最值.详解：解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 ， ： 即 ，则 ， ， ， .（2） ， ，： ，设 ：由即 ， ，令 当且仅当 ，即 时，取“=” ， ， .：点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21. 设 （ ）.(1
21、 求函数 的单调区间；(2)若 且 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1)先求导数，再根据 a 讨论导函数零点：当 时，无零点，函数单调递增，当 时，函数先增后减，(2)先化简不等式为 ，构造函数 ，转化为对应函数单调递减，即对应导数恒非正，即得 最小值，最后再利用导数求函数 最小值，即得结果.详解：解：（1） （ ） ， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；当 时，由 得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减.（2） ， ， ， ，即 在 上为减函数， ，令 ， 当 ， ， 单调递减， 当 ， ， 单调递增， ， ， 的取值范围是 .点睛：利用导
22、数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数） ，在以 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，两直线 与 （ ）的交点为 .(1)求曲线 的普通方程与点 的直角坐标；(2)若过 的直线与曲线 相交于 、 两点，设 ，求的取值范围.【答案】 （1） , （2）【解析】分析：(1)根据三角函数平
23、方关系消参数得曲线 的普通方程，先求 极坐标，再利用 化为直角坐标，(2)先根据条件写直线参数方程标准形式，代入曲线 ，利用韦达定理以及参数几何意义得 ，根据三角函数有界性可得的取值范围.详解：解：（1） 曲线 ：， ， ， 点直角坐标为 .（2）设： （为参数） ， ， .点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数， t 可正、可负、可为 0)若 M1， M2是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1， t2，则(1)M1， M2两点的坐标分别是( x0 t1cos ， y0 t1sin )，( x0 t2cos ， y0
24、 t2sin ).(2)|M1M2| t1 t2|.(3)若线段 M1M2的中点 M 所对应的参数为 t，则 t ，中点 M 到定点 M0的距离|MM0| t| .(4)若 M0为线段 M1M2的中点，则 t1 t20.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .(1)当 时， 的最小值为 3，求的值；(2)当 时，不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） 或 （2）【解析】分析：（1）先根据绝对值三角不等式得 的最小值为 ，再解方程得的值；（2）先根据条件 化简不等式 ，再根据绝对值定义去绝对值得 ，即为 最大值 1 且 ，解得实数的取值范围.详解：解：（1） ， 或 .（2） 时， ，又 ， ， ，而 ， ， .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
