1、齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学 2018 年高考冲刺模拟试卷（一）数学（文科）试题第 I 卷（选择题 共 60 分）一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，则A. . B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，则 ，所以 故选 C.2. 已知复数 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 （其中是虚数单位） ，则复数 的虚部等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 （ ）的取值呈现周期性，周期为 4， ，所以 的虚部等于 .故选 A.3. 下列命题中，真命题的是A. “ , ”的否定是“ ,
2、 ”B. 已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件C. 已知平面 满足 ，则D. 若 ，则事件 与 是对立事件【答案】B【解析】 “ , ”的否定是“ , ”，故 A 错误；.当 时， 与 可以相交，故 C 错误；几何概型不满足，故 D 错误.故选 B.4. 已知直线 ，直线 ，若 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以.故选 D.5. 已知双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B【解析】若焦点在 x 轴上，则方程为 （ ） ，所以 ，则 ；若焦点在 y 轴上，则方程为 （
3、 ） ，所以 ，则 .故选 B.6. 已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，不等式对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是偶函数，所以 ，所以 的图像关于 对称，由得 ，所以 ，解得 .故选 A.7. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日” 。其大意为“官府陆续派遣 1864人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人
4、每天分发大米 3 升，共发出大米 40392 升，问修筑堤坝多少天” ，在该问题中前5 天共分发了多少大米？A. 1170 升 B. 1380 升 C. 3090 升 D. 3300 升【答案】D【解析】设第 天派出的人数为 ，则 是以 64 为首项、7 为公差的等差数列，则第 天修筑堤坝的人数为 ，所以前 5 天共分发的大米数为.故选 D.8. 函数 （ ）的部分图象如图所示，点 在 的图象上，坐标分别为 、 、 ， 是以 为底边的等腰三角形，将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则关于 的说法中不正确的是A. 是偶函数 B. . 在区间 上是减函数C. 的图象关于直线 对称 D
5、. 在 上的最小值为【答案】C【解析】 ，所以 ， ，因为 ，作 轴于点 ，则 ，所以，当 时， ，所以 ，所以 .，根据余弦函数的性质可知 A、B、 D 正确，C 错误.故选 C.9. 如图，虚线小方格是边长为 的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】几何体的直观图如图所示为三棱锥 ，三棱锥 中， ，所以外接球的直径为 ，则半径 ，所以外接球的表面积 .故选 D.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长
6、是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知 的半径依次为 ， 外切于点 ， 外切于点 ，外切于点 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示， 所以 ，。所以 .故选 B.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模
7、公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.11. 已知抛物线 （ ） ，焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点（ 为坐标原点） ，过 作直线 的平行线交抛物线 于 两点（其中 在第一象限） ，直线 与直线交于点 ，若 的面积等于 ，则抛物线 的准线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，设 ，则 ，则 ，取中点 、 中点 ，则 三点共线，且所在直线方程为 ，所以 的面积，所以 ，准线方程为 .故选 A.12. 已知函数 ，现有下列结论：当 时， ；当 时, ；若 对 恒成立，则 的最小值等于 ；已知 ，当 时，
8、满足 的 的个数记为 ，则 的所有可能取值构成的集合为其中正确的个数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，所以 ，正确；令 ，由知，当 时， ，所以 ， ，所以 ，错误；由可知 在 上为减函数，所以 ，则 ，令 ，时， ，所以 ，所以 ，所以 ，则， 正确；令 ， 表示点 与原点 连线的斜率，结合图像可知，当 时， 的所有可能取值有 ，正确.故选 C.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值
9、域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题。 （本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填入相应的位置）13. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公比等于_.【答案】【解析】由 得 ，所以 ，所以 ，因为 的各项均为正数，所以 ，所以 .故答案为： .14. 如图所示的茎叶图为高三某班 54 名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的 和 的值分别是_.
10、【答案】86，13【解析】S 为大于等于 80 分的学生的平均成绩，计算得 S=86；n 表示 60 分以下的学生人数，由茎叶图可知 n=13.15. 已知不等式组 表示的区域为 ，若存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】作出可行域如图所示,由 得 ，所以直线 与区域有公共点， 过定点 ，斜率等于 ，由图形可知实数 的范围为 .故答案为： .点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意 z 前面的系数为负时，截距越大， z 值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应
11、该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.16. 已知曲线 （ ）的切线 与曲线 相切于点 ，某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线 只有一条；乙说：的取值介于 与 之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有_.【答案】甲、乙【解析】设 与 相切于 ，则对于 而言 的方程为 ，对于 而言 的方程为，从而有 ，消去 得 （ ） ，令 ， ，所以 单调递增，因为，所以存在唯一 使得 ，所以甲、乙正确故答案为：甲、乙.三、 解答题。 （共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题
12、为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ） 17. 如图，在 中， ， 的角平分线与 交于点 ，.（）求 ；（）求 的面积.【答案】 （） ;（） .【解析】试题分析：（）在 中，由余弦定理得 ，由正弦定理得，可得解；（）由（）可知 ，进而得 ，在 中，由正弦定理得 ，所以 的面积即可得解.试题解析：（）在 中，由余弦定理得，所以 ，由正弦定理得 ，所以 .（）由（）可知 .在 中， .在 中，由正弦定理得 ，所以 .所以 的面积 .18. 如图，正方体 的棱长为 ， 分别是 的中点，点 在棱上， （ ）.（）三棱锥 的体积分别为 ，当 为何值时， 最
13、大？最大值为多少？（）若 平面 ，证明：平面 平面 .【答案】 （） , .（）见解析.【解析】试题分析：（）由题可知， ，由 和，结合基本不等式可求最值；（）连接 交 于点 ，则 为 的中点，可得 为 中点，易证得 ，得 平面 ，所以 ，进而可证得 ， ，所以平面因为 平面 ，从而得证.试题解析：（）由题可知， ，.所以 （当且仅当 ，即 时等号成立） 所以当 时， 最大，最大值为 .（）连接 交 于点 ，则 为 的中点，因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，所以 为 中点.连接 ，因为 为中点，所以 ，因为 ，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
14、同理 ，因为 ，所以 平面因为 平面 ，所以平面 平面.19. 某地级市共有 200000 中小学生，其中有 7%学生在 2017 年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为 5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金” ，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助 1000 元、1500 元、2000 元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加 n%，一般困难的学生中有 3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有 2n%转为一般困难，特别困难的学生中有 n%
15、转为很困难。现统计了该地级市 2013 年到 2017 年共 5 年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份 取 13 时代表 2013 年， 与 （万元）近似满足关系式 ，其中 为常数。 （2013 年至 2019 年该市中学生人数大致保持不变）其中 ，（）估计该市 2018 年人均可支配年收入；（）求该市 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】 （）2.8（万）;（）1624 万.【解析】试题分析：（）由 得 ，所以 ，即可得解；（）由题意知
16、 2017 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生人数，一般困难、很困难、特别困难的中学生人数， 018 年人均可支配收入比 2017 年增长，据此可得 2018 年该市特别困难、很困难、一般困难的学生的中学生人数，即可得解.试题解析：（）因为 ，所以 . 由 得 ，所以 ， ，所以 ，所以 .当 时，2018 年人均可支配年收入 （万）（）由题意知 2017 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共 2000007%=14000 人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有 7000 人、4200 人、2800 人， 2018 年人均可支配收入比 2017 年增长所以 2018 年该市特别困难
17、的中学生有 2800(1-10%)=2520 人，很困难的学生有 4200(1-20%)+280010%=3640 人一般困难的学生有 7000(1-30%)+420020%=5740 人.所以 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为57401000+36401500+25202000=1624 万20. 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，短轴长和焦距都等于 2， 是椭圆上的一点，且 在第一象限内，过 且斜率等于 的直线与椭圆 交于另一点 ，点 关于原点的对称点为.（）证明：直线 的斜率为定值；（）求 面积的最大值，并求此时直线 的方程.【答案】 （） ;（） , .【解析】试题分
18、析：（）由题意可设椭圆 的方程为 （ ） ，则，解方程即可得解；（）因为 关于原点对称，所以 ，由（ ）可知 的斜率 ，设 方程为 （ 且 ） ，与椭圆联立得得 ，利用弦长公式和点到直线距离，结合韦达定理可得 ，即可得解.试题解析：（）由题意可设椭圆 的方程为 （ ） ，则 ，解得 ，所以 的方程为 . 设 ，则 ，所以 的斜率 ，因为 ，所以， 因为 ，所以 （）因为 关于原点对称，所以 ，由（ ）可知 的斜率 ，设 方程为 （ 且 ） ， 到 的距离 .由 得 ，所以 .所以 当且仅当 ，即 时等号成立，所以 面积的最大值为此时直线 的方程为 ，即点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，
19、所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数 ，其中 .（）讨论函数 极值点的个数；（）若函数 有两个极值点 ，其中 且 ，是否存在整数 使得不等式恒成立？若存在，求整数 的值；若不存在，请说明理由.（参考数据： ）【答案】 （）见解析;（） 或 .【解析】试题分析：（）求导得 ，令 ，讨论 ，结合单调性可得解；（）由（）可知， 是方程 的两根，所以
20、 ，可得，令 ，设 （ ） ，可得，即 ，进而得所以 ，求解即可.试题解析：（）由 得 ， . 当 时，即 ， ，所以 为增函数，没有极值点.当 时，即 或 ，由 得若 ，则 ，当 时， ，即 ，所以 为增函数，没有极值点,若 ，则 ，当 变化时， 与 的变化情况如下表：所以函数 有两个极值点综上可知：当 时， 极值点的个数为 ；当 时，极值点的个数为 （）由（）可知， 是方程 的两根，所以 . 令 ，因为 ，所以 ，设 （ ）因为 所以 在 上为减函数，所以，因为所以 ，即 .因为 ，所以所以 ，解得 因为 ，所以 ，又因为 ，所以 或所以存在整数 或 使得不等式 恒成立.点睛：（1）研究函
21、数的极值，即为研究导函数的零点，但是需注意零点必须保证导函数图像是穿过零点，不能使相切；（2）恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数， ） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 .（）求 的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（） 与 相交于
22、不同两点 ，线段 中点为 ，点 ，若 ，求 参数方程中 的值.【答案】 （）见解析；（） 或 .【解析】试题分析：（）由 可将 的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆；（）将 代入 整理得 ，由 ，得 ，利用韦达定理求解即可.试题解析：（）由 得 ，所以将 代入得 ，即 ，所以 的直角坐标方程为，表示以 为圆心、 为半径的圆.（）将 代入 整理得设 对应的参数分别为 ，则 是方程 的两根，所以 ，因为 ，所以 ，所以所以 ，所以 ，所以 或23. 选修 4-5: 不等式选讲已知函数 ;（）若 对 恒成立，求正实数 的取值范围；（）函数 （ ） ，若函数 的图象与 轴围成的面积等于 3，求实数 的值.【答案】 （） 或者 ;（） .【解析】试题分析：（）若 对 恒成立，只需即可，由绝对值三角不等式可得解；（）由 得 ，解得 ,易知 的图像与 轴围成的图形为三角形，且落在 轴上的底边长为 .高 ，从而可得面积即可求解.试题解析：（）因为 ，所以 ，所以 ，解得或者 ，因为 ，所以 的取值范围为 或者 . （） ，由 得 ，解得 ,因为 ，所以 的图像与 轴围成的图形为三角形，且落在 轴上的底边长为 .高 ，所以面积 ，所以 ，所以.
