1、2017 学年第一学期 9+1 高中联盟期中考高三年级数学第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，那么 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合集合故选 C2. 设 为虚数单位， 表示复数 的共轭复数，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选 B3. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时，两直线不平行当 时，由两直线平行可得 ，
2、且 ，解得 或“ ”是“直线 与直线 平行”的充分不必要条件故选 A4. 已知 ， 满足约束条件 若 恒成立，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出满足约束条件 的可行域如图所示：平移直线 到点 时， 有最小值为 恒成立 ，即故选 D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知函数 （ ） ，下列选项中不可能是函数 图象的是（ ）A. B. C. D. 【答
3、案】D【解析】 （ ）当 时， ，易得 在 上为减函数，在 上为增函数，故 可能；当 时， ， ， 为增函数，故 可能；当 时， ， 有两个不相等且互为异号的实数根， 先递减再递增然后再递减，故可能；当 时， ， 有两个不相等的负实数根， 先递增再递减然后再递增，故 错误.故选 D6. 已知实数 ， ， ，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号.故选 B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件
4、构造 ，然后乘“1”变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.7. 已知等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，若 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设等差数列 、 的公差分别为 和 ，即 ，即 ，即 由解得 ，故选 A8. 设点 是双曲线 （ ， ）上异于实轴端点上的任意一点， ， 分别是其左右焦点， 为中心， ，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】不妨设 是双曲线右支上的一点， ，其中 ，则 ， ，则故选 C.9. 已知 是正四面体（所有棱长都相等的四面体） ， 是 中点， 是 上靠近点 的三等分点，设 与 、 、 所成角分别为 、 、
5、 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分别取 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ， ， ，如图所示，则 ， ， ， ，由 是正四面体（所有棱长都相等的四面体） ，设正面体的棱长为根据余弦定理可得 ， ， ， ，且 为锐角故选 D10. 如图，点 在以 为直径的圆上，其中 ，过 向点 处的切线作垂线，垂足为 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】连结 ，则依题意可证 ，则 ，即 ，即 ，当且仅当 时取等号 的最大值为 1故选 B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以
6、向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.第卷（共 110 分）二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分，将答案填在答题纸上）11. 16/17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 .现在已
7、知 ， ，则 _.【答案】2【解析】 ， ，故答案为 212. 设 ， ，则 _； _.【答案】 (1). (2). 【解析】 ，故答案为： ，13. 在 的展开式中，各项系数之和为 64，则 _；展开式中的常数项为_.【答案】 (1). 6 (2). 15【解析】在 的展开式中，各项系数之和为 64将 代入，得令 ，即 ，则其系数为故答案为：6，1514. 4 支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为 0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有_种结果；其概率为_.【答案】 (1). 24 (2). 【解析】 4 支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为 0.5，并且每队赢的场数各
8、不相同4 队比 6 场只考虑胜场，且各不相同，胜场分布为 0，1，2，3共有 种结果概率为故答案为 24，15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为_；此几何体的体积_.【答案】 (1). (2). 【解析】根据几何体的三视图可得为圆柱的一半与一个四棱锥的联合体，圆柱的底面半径为1，高为 2，四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形，高为 2俯视图的面积为几何体的体积为点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进
9、行综合考虑16. 已知圆 ： （ ） ，点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ， 的取值范围是_.【答案】【解析】过 点作圆 的切线 ，切点为 圆 ： （ ） ，且在圆 上存在点 ，使得只需故答案为17. 当 时，不等式 恒成立，则 的最大值是_.【答案】6【解析】 时，不等式 恒成立 ，即设 ， 的最大值为故答案为 6三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. 设函数 .（1）求 的单调递增区间；（2）若角 满足 ， ， 的面积为 ，求 的值.【答案】(1) ， ；(2) .【解析】试题分析：（1）函数解析式利用三角恒等变换化简，再利用两角和
10、与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可求出 的单调递增区间；（2）由 及 的解析式求出 的值，再利用三角形面积公式及 ，求出 ，然后根据余弦定理即可求出 的值.试题解析：（1） ，令 ， ，得 ， .所以， 的单调递增区间为 ， .（2）由条件 ， ， ， ，解得 . ， .又 ，化简得 ，则 .19. 如图，在三棱锥 中， 是正三角形，面 面 ， ， 和 的重心分别为 ， .（1）证明： 面 ；（2）求 与面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .试题解析：（1）证明：取 中点 ，连结 ，由重心性质可知 ， 分别在 ， 上且， ，所以在 中有 ，所以
11、，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）解：以 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，又由条件 ， ， ， ， ， .设面 的法向量为 ，则取 ，则 ， ，即所求角的正弦值为 .20. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）证明：当 时，存在实数 ，使 .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）对 求导，再分别讨论 时和 时的情况，从而求出 的单调性；（2）依题意得 ，再分别讨论 ， 和 三种情况下 的单调性，从而可以证明.试题解析：（1） ， .当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时，令 得 ，令 得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.（
12、2）因为 ，所以若 ，则 在 上递减，所以当 时能使 ；若 ，则 ，而 在 上单调递减，所以取 时能使 ；若 ，则 ，而 在 上单调递增，所以取 时能使 ，综上，当 时，存在实数 ，使 .21. 如图，在平面直角坐标系 中，设点 是椭圆 ： 上一点，从原点 向圆 ： 作两条切线分别与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 的斜率分别记为， . （1）求证： 为定值；（2）求四边形 面积的最大值 .【答案】(1)证明见解析；(2)1.【解析】试题分析：（1）因为直线 ： ， ： ，与圆 相切，推出 ， 是方程 的两个不相等的实数根，利用韦达定理得 ，结合点点在椭圆 上，得出 ；（2）当直线 ， 不落在坐标
13、轴上时，设 ，通过 ，推出 ，结合 ， 在椭圆 上，可得，再讨论直线落在坐标轴上时，显然有 ，然后表示出，结合基本不等式即可求出四边形 面积的最大值.试题解析：（1）因为直线 ： ， ： ，与圆 相切，由 ，可得 ， 是方程 的两个不相等的实数根 ，因为点 在椭圆 上，所以 ， .（2） （i）当直线 ， 不落在坐标轴上时，设 ， ，因为 ，所以 ，即 ，因为 ， 在椭圆 上，所以 ，整理得 ，所以 ，所以 .（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有 ，综上： . 因为 ，因为 ，所以 的最大值为 1. 点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般
14、有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22. 已知数列 满足： ， ， . （1）证明： ；（2）证明： ；（3）证明： .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先用数学归纳法证明 ，再设 ， ，求出的单调性，即可得证；（2）要证 ，只需证 ，令， ，求出 的单调性，推出 ，再令 ，求出 的单调性，推出 ，即
15、可得证；（3）由（2）可得 ，由迭代可得 ，再根据 ，推出 ，然后由 ，推出 ，即可得证.试题解析：（1）先用数学归纳法证明 . 当 时， ， ；假设当 时， ，则当 时， . 由可知 .再证 .，令 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即 .（2）要证 ，只需证 ，只需证 其中 ，先证 ，令 ， ，只需证 . 因为 ，所以 在 上单调递减，所以 . 再证 ，令 ， ，只需证 ，令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，从而 ，所以 在 上单调递增，所以 ，综上可得 .（3）由（2）知，一方面， ，由迭代可得 ，因为 ，所以 ，所以；另一方面，即 ，由迭代可得 .因为 ，所以 ，所以；综上， .点睛：本题主要考查利用数学归纳法、分析法证明不等式，考查利用导数求函数的单调区间及最值问题.第一问是利用分析法证明不等式，分析法证明不等式是从结论出发，通过变形转化之后，变为一个显然成立的结论，那么原不等式即是成立的.证明不等式，也可以考虑通过放缩后，利用导数求最值来证明.
