1、1第 1 讲 解直角三角形三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。【知识梳理】知识点 1. 三角形及其性质 （1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形；（2）三角形的内角和是 180，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知识点 2. 解直角三角形 在 Rt ABC 中， C90， A， B， C 的对边分别为 a， b，
2、 c.(1)三边之间的关系： a2 b2 c2；(2)两个锐角之间的关系： A B90；(3)边角之间的关系：sin A ，cos A ，tan A ； sin B ，cos B ，tan B .ac bc ab bc ac ba（4）三角函数值之间的关系同角三角函数之间的关系：sin 2 cos 2 1；tan .sin cos 互余两角的三角函数关系：若 A B90，则 sin Acos B 或 sin Bcos A.（5）特殊锐角的三角函数值sin cos tan 3012 32 3345 22 22 160 3212 3直角三角形是一种特殊的三角形，因为有勾股定理及锐角三角函数的运用，
3、使它的边角关系更加丰富，2同时也为高中学习解三角形和三角函数，提供了很好的阶梯。【高效演练】1. 在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为( )A. B. C. D. 【解析】分析：根据格点的特征及勾股定理结合余弦的定义即可求得结果.由图可得 ，故选 B.【答案】B2.如图，已知 l1 l2 l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角 ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是( )A. B. C. D. 13 617 55 1010【答案】D【解题反思】根据锐角三角函数的定义，代入边的长度求出三角函数值，最好用数形结合的思想画出图形帮助分析求解决此类
4、问题的关键是将所求的角放在直角三角形中，并求出直角三角形的边长.3. 如图，AB 是电线杆 BC 的一根拉线，测得 BC6 米，ABC42，则拉线 AB 的长为( )3A. 6cos42米 B. 米 C. 米 D. 米【解析】分析：首先根据电线杆一定与地面垂直可知ABC 是直角三角形，然后再根据 cosABC ，代入相关数值即可得出结论.在 RtABC 中，BC=6，ABC=42，cosABC= ，即 cos42= ，AB= m. 故选：D.【答案】D4如图，在四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，若 EF2， BC5， CD3，则 tan C 等于( )A. B.
5、C. D. 34 43 35 45【解析】：如图所示，连结 BD.由三角形中位线定理，得 BD2 EF224.又 BC5， CD3， CD2 BD2 BC2， BDC 是直角三角形且 BDC90，tan C .故选 B.BDCD 43【答案】B5在 Rt ABC 中， C90， AB2 BC，现给出下列结论：sin A ；cos B ；tan 32 124A ；tan B ，其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号)33 3【解析】在 Rt ABC 中， C90， AB2 BC， A30， B60，sin A ，cos B ，tan A ，tan B ，故正确12 12 33 3【答案】6如
6、图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 ，那么 tan DCF 的值ABBC 23是 ；7 如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成 75角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30，则小山东西两侧A， B 两点间的距离为 米【解析】：如图，过点 A 作 AD BC，垂足为 D，5在 Rt ACD 中， ACD753045， AC3025750(米)， AD ACsin 45375 (米)2在 Rt ABD 中， B30， AB2 AD750 (米)2【答案
7、】750 28. 如图所示，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连结 CD，若 AD3，AC2，则 cosB 的值为_【解析】分析：根据圆周角定理的推论，得B=D根据直径所对的圆周角是直角，得ACD=90在直角三角形 ACD 中，根据勾股定理，得 CD= ，则 cosD= = ，由同弧所对的圆周角相等即可求得 cosB的值解： AD 是 O 的直径， ACD=90. AD=3， AC=2， CD= .cos D= =cosB= ，故答案为： .【答案】【解题反思】：本题考查了圆周角定理：再同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）
8、所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径，也考查了勾股定理和锐角三角函数9. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEAC 交 AB 于点 E.若 BC4，AOE 的面积为 5，则 sinBOE 的值为_6【解析】如图，过点 O 作 OHAE 于点 H，连接 CE。矩形 ABCD 中，AO=BO，ABBC，BC=4，由三角形的中位线定理，得 OH=2。AOE 的面积为 5，AE=5。AO=OC，OEAC，即 EO 是 AC 的垂直平分线，CE= AE=5。在 RtEBC 中，BC=4，CE=“5,“ 由勾股定理得 EB=3。OEAC，ABBC，即EBC
9、=EOC=90 0，点 O，C，B，E 在以 CE 为直径的圆上，BOE=BCE。sinBOE=sinBCE= 。【答案】10. 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AB90，AB5 ，点 E 在 AB 上，AED45，DE6，CE7.求（1）AE 的长；（2）sinBCE 的值【解析】分析：已知 RtDAE 中，AED=45，DE=6，利用AED 的余弦，即可求出 AE 的长度；由图形中的隐含条件 BE=AB-AE 可求出 BE 的长，接下来在 RtBCE 中，利用锐角三角函数的定义，即可得到sinBCE 的值.711如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， AE 是 BC 边
10、上的中线， C45，sin B ， AD1.13(1)求 BC 的长；(2)求 tan DAE 的值【解析】 (1)在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， ADB ADC90.在 ADC 中， ADC90， C45， AD1， DC AD1.在 ADB 中， ADB90，sin B ， AD1，13 AB 3， BD 2 ，ADsin B AB2 AD2 2 BC BD DC2 1.2(2) AE 是 BC 边上的中线， CE BC ，12 2 12 DE CE CD ，2128tan DAE .DEAD 2 1212 如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测
11、量侧面支架的最高点E 到地面的距离 EF.经测量，支架的立柱 BC 与地面垂直，即 BCA90，且 BC1.5 m，点 F， A， C 在同一条水平线上，斜杆 AB 与水平线 AC 的夹角 BAC30，支撑杆 DE AB 于点 D，该支架的边 BE 与 AB 的夹角 EBD60，又测得 AD1 m请你求出该支架的边 BE 及顶端 E 到地面的距离 EF 的长度【解析】如图，过点 B 作 BH EF 于点 H，四边形 BCFH 为矩形， BC HF1.5 m， HBA BAC30.在 Rt ABC 中， BAC30， BC1.5 m， AB3 m AD1 m， BD2 m在 Rt EDB 中， EBD60， BED906030， EB2 BD224(m)又 HBA BAC30， EBH EBD HBD30， EH EB2(m)，12 EF EH HF21.53.5(m)答：该支架的边 BE 为 4 m，顶端 E 到地面的距离 EF 的长度为 3.5 m.
