1、1第 2 讲 二次函数的最值二次函数 2 (0)yaxbc是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础当自变量 在某个范围内取值时，求函数 y的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题最值问题在实际生活中也有广阔的应用【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式： y ax2 bx c(a0).顶点式： y a(x m)2 n(a0)，顶点坐标为( m， n).零点式： y a(x x1)(x x2)(a0)， x1， x2为 f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式 y ax2 bx c(a0) y ax2 bx c(a0)图象对称性 函数的图象关于 x 对称b2a
2、3.二次函数的最值（1）.当 a0 时，函数 y ax2 bx c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)bac，对称轴为直线x 2b；当 x b时， y 随着 x 的增大而减小；当 x 2时， y 随着 x 的增大而增大；当 xa时，函数取最小值 y24ac（2）.当 a0 时，函数 y ax2 bx c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)bac，对称轴为直线x b；当 x b时， y 随着 x 的增大而增大；当 x 2时， y 随着 x 的增大而减小；当 x2a时，函数取最大值 y24ac 【典例解析】求下列函数的最值（1）当 2x时，求函数 23yx的最大值和最小值；2（2）当 12x时，求
3、函数 21yx的最大值和最小值。【分析】作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值 【解析】（1）作出函数的图象当 1x时， min4y，当 2x时， max5y（2）作出函数的图象当 时， in，当 时， a【解题反思】由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：【变式训练】1.当 0x时，求函数 (2)yx的取值范围【点评】
4、本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确定。32.当 1tx时，求函数 215yx的最小值(其中 t为常数)【分析】由于 所给的范围随着 t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置(3) 当对称轴在所给范围右侧即 10tt时：当 1xt时， 22min51()()3yt综上所述：2213,05,1tytt【点评】本题所给的 x取值范围不确定，但函数确定，即对称轴固定，可分情况讨论 x取值相对于对称轴的位置即：在轴的左、右、包含对称轴三种情况求出最值，为轴定 x取值变问题。3.提出问题：当 x0 时如何求函数 y=x+ 的最大值或最小值？分析问题：前面我们刚刚学过
5、二次函数的相关知识，知道求二次函数的最值时，我们可以利用它的图象进行猜想最值，或利用配方可以求出它的最值例如我们求函数 y=x2 （x0）的最值时，就可以仿照二次函数利用配方求最值的方法解决问题；y=x2 =（ ） 22 2 +11=（ 1） 21 即当 x=1 时，y 有最小值为1解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 y=x+ （x0）的最大（小）值4（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数 y=x+ （x0）的图象：x 1 2 3 4 y （2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x= 时，函数 y=x+ （x0）有最 值（填“大”或“小” ） ，是 （3）推理论证：利用上述
6、例题，请你尝试通过配方法求函数 y=x+ （x0）的最大（小）值，以证明你的猜想知识能力运用：直接写出函数 y=2x （x0）当 x= 时，该函数有最 值（填“大”或“小” ） ，是 【分析】 （1）由 x 的值计算出 y 的值，填表即可；用描点法画出图象即可；（2）用配方法得出 y=x+ =（ ） 2+2，即可得出结果；（3）用配方法得出 y=2x =（ ） 22，即可得出结果【解析】 （1）当 x= 时，y=x+ = +4=4 ；当 x= 时，y=x+ = +3=3 ；当 x= 时，y=x+ = +2=2 ；当 x=1 时，y=x+ =1+1=2；当 x=2 时，y=x+ =2+ =2 ；当 x=3 时，y=x+ =3+ =3 ；当 x=4 时，y=x+ =4+ =4 ；5填表如下：x 1 2 3 4 y 14322 1函数图象如图所示：【点评】本题是函数综合题目，考查了用描点法画函数的图象、函数的最值问题、配方法的应用；本题综合性强，难度较大，用配方法求出函数的最值是解决问题的关键
