1、1第 2 讲 根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程 20 ()axbca的两个根为：2244,bx所以：2212 4bacbacbx，222212 24()4)acca 定理：如果一元二次方程 20 ()axbca的两个根为 12,x，那么：1212,bcxxa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达
2、发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是 0【高效演练】1.若 12x， 是一元二次方程 230x 的两个根，则 12x的值是( )A2 B2 C4 D3【解析】：方程的两根为 1， 2，根据题意得 123cxa故选 D【答案】D2若 ， 是方程 x22 x3=0 的两个实数根，则 2+ 2的值为（ ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 10【解析】， 是方程 x22 x3=0 的两个实数根，+=2，=3， 2+ 2=（+） 22=2 22（3）=10故选 D【答案】D23关于 x 的一元二次方程 x2pxq0 的两根同为负数，则( )A. p0 且 q0 B. p0 且 q
3、0 C. p0 且 q0 D. p0 且 q0【解析】试题解析：设 x1，x 2是该方程的两个负数根，则有 x1+x20，x 1x20，x 1+x2=-p，x 1x2=q-p0，q0p0，q0故选 A【答案】A4.方程 x2(m6)xm 20 有两个相等的实数根，且满足 x1x 2x 1x2，则 m 的值是( )A. 2 或 3 B. 3 C. 2 D. 3 或 25.规定：如果关于 x 的一元二次方程 20axbc（ a0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程” 现有下列结论：方程 280是倍根方程；若关于 x 的方程 2ax是倍根方程，则 a=3；若关于
4、 x 的方程 6c（ a0）是倍根方程，则抛物线 26yaxc与 x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0） ；若点（ m， n）在反比例函数 4yx的图象上，则关于 x 的方程 250mn是倍根方程上述结论中正确的有（ ）A B C D【解析】3关于 x 的方程 260axc（ a0）是倍根方程， x2=2x1，抛物线 26yaxc的对称轴是直线 x=3，抛物线 2y与 x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0） ，故正确；点（ m， n）在反比例函数 的图象上， mn=4，解 250mxn得x1= 2， x2= 8， x2=4x1，关于 x 的方程 2不是倍根方程；故选 C【答案】C6.
5、已知关于 的一元二次方程 230的两个实数根分别为 ,，则 1=_.【解析】关于 x的方程： x的两个实数根分别为 、 ， 13， ， 13.【答案】-37.若方程 210x的两实根为 a、 b，则 1的值为_。【解析】方程 x2x1=0 的两实根为 a、 b， a+b=1， ab=1， 1【答案】-18设 ,mn是方程 2018x+-=的两个实数根，则 2mn+的值为_。【解析】由 是方程 的两个实数根，则 1,=-且 2-，又 2 20187mnmn+=-【答案】201749.关于 x 的一元二次方程 210xm的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围是 10.一元二次方程 042ax有
6、两个实根，一个比 3 大，一个比 3 小， a的取值范围为_。y=3【解析】解一：由 0)3(21x解得： 3a解二：设 )f4，则如图所示，只须 0)(f，解得 3a【答案】 3a11若关于 x 的一元二次方程 x24x+k3=0 的两个实数根为 x1、 x2，且满足 x1=3x2，试求出方程的两个实数根及 k 的值【解析】由根与系数的关系，得x1+x2=4， x1x2=k3又 x1=3x2，联立、，解方程组得 123x， k=x1x2+3=31+3=65则方程两根为 x1=3， x2=1； k=6【答案】 x1=3， x2=1； k=612.已知关于 的方程 23410.xk（1）若这个方
7、程有实数根，求实数 k 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1、x 2，且满足 21127x,求实数 k 的值.【解析】分析：（1）根据方程有实根可得0，进而可得-2（k-3） 2-41（k 2-4k-1）0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得 x1+x2=2（k-3） ，x 1x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得 x12+x22=（x 1+x2）2-2x1x2，代入 x1+x2=2（k-3） ，x 1x2= k2-4k-1 可计算出 m 的值解析：（1）x 2-2（k-3）x+k 2-4k-1=0 有实数根，=4（k-3） 2-4（k 2-4k-1）=4k 2-24k+36-
8、4k2+16k+4=40-8k0，解得：k5；13.已知关于 x的方程 221()04kx，根据下列条件，分别求出 k的值(1) 方程两实根的积为 5；(2) 方程的两实根 12,满足 12|【解析】(1) 方程两实根的积为 5 2212()4()03,425kkkx6所以，当 4k时，方程两实根的积为 5(2) 由 12|x得知：当 0时， 1x，所以方程有两相等实数根，故 302k；当 1x时， 212011k，由于3k，故 不合题意，舍去综上可得， 2时，方程的两实根 12,x满足 12|x【答案】（1） 4k；（2） 3k.14.已知关于 x 的一元二次方程 2(5)0xk ，其中 k
9、 为常数（1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数 2()1y的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围；（3）若原方程的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值解析：（1）证明：=（ k5） 24（1 k）= k26 k+21=（ k3） 2+120，无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：二次函数 2(5)1yx的图象不经过第三象限，二次项系数 a=1，抛物线开口方向向上，=（ k3） 2+120，抛物线与 x 轴有两个交点，设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为x1， x2， x1+x2=5 k0， x1x2=1 k0，解得 k1，即
10、 k 的取值范围是 k1；（3）解：设方程的两个根分别是 x1， x2，根据题意，得（ x13） （ x23）0，即 x1x23（ x1+x2）+90，又 x1+x2=5 k， x1x2=1 k，代入得，1 k3（5 k）+90，解得 k 5则 k 的最大整数值为2【答案】 （1）证明见解析；（2） k1；（3）27【解题反思】：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强。15.已知 12,x是一元二次方程 2410k的两个实数根(1) 是否存在实数 k，使 12123()()xx成立？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由(2) 求使 12x的值为整数的实数 k的整数值【解析】(1) 假设存在实数 ，使 12123()()xx成立 一元二次方程2410kx的两个实数根， 2400()4(1)6k kk，又 12,x是一元二次方程 24kx的两个实数根， 12xk 2 2121211211()()()5()9xxx39425k，但 0不存在实数 k，使 3x成立
