1、1第 2 讲 十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2（3）立方和公式 23()；（4）立方差公式 2abab；2把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式3因式分解与整式乘法的区别和联
2、系：因式分解与整式乘法是互逆关系（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘4因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止5因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） 【精讲深剖】1对于二次项系数为 1 的二次三项式 2()xp
3、q+型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是 1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和。即； 22() ()()()xpqxpxqxpqxpxq注：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常借助画十字交叉线的办法来确定，故称为十字相乘法。2【典例解析】把下列各式因式分解：(1) 256x；(2) 13； (3) 24x；【解题反思】当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因数的符号与一次项的系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号
4、相同。【变式训练】1.把下列各式因式分解：（1） 652x_。（2） 7+=_。（3） _。（4） 652x_。（5） a1_。（6） 82_。（7） x-+_。（8） 226y_。（9）若 4xba则 a， b。3（10） 3 42 xx【答案】（1） (6)1； （2） (6)1x； （3） 23x； （4） ； （5） ()a； （6） ()9x；（7） 4x； （8） 32)y；（9） 2,8b； （10） 1；【点评】注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。2对于一般二次三项式 2axbc型的因式分解因为， 212
5、11212()()()cxacx反过来，就得到； 12 2()()cac我们发现，二次项系数 a分解成 12，常数项 c分解成 12，把 12,写成 12ac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 c，如果它正好等于 axbc的一次项系数 b，那么2axbc就可以分解成 12()()ax，其中 1,c位于上一行， 2,位于下一行。【典例解析】把下列各式因式分解：(1) 215；(2) 268xy【解析】：(1) (32)41xx41(2) 22568()54)xyxy41 254y【解题反思】用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。【变式训练】1.把下列各式分解因式：(1) 2245mn； (2) 42718x； (3) 673x； (4) 235ba； （5） 2281y ； (6) ()()2【点评】对于二次项系数不为 1 的二次三项式运用十字相乘法分解，需要更多尝试，达到熟练掌握。
