1、1第 1 讲 一元二次方程根的判别式现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根的判别式一元二次方程 20 ()axbca，用配方法将其变形为：24()bacx(1) 当 24时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2124,bacbacxx(2) 当 240时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2bxa(3) 当 bac时，右端是负数因此，方程没有实数根由于可以用 2
2、的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把 24bc叫做一元二次方程 20 ()axc的根的判别式，表示为： 24bac【精讲深剖】一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根的一般方法。【典例解析】1.判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根（1） x23 x30； （2） x2 ax10； （3） x2 ax( a1)0； （4） x22 x a0【解析】（1）3 241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a241(1) a240，所以方程一定有两个不等的实数根; 1x， 224ax（3）由于该方程
3、的根的判别式为 a241( a1) a24 a4( a 2)2，所以，当 a2 时，0，2所以方程有两个相等的实数根： x1 x21；当 a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根： x11， x2 a 1【解题反思】在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题【变式训练】1.已知关于 x的一元二次方程 230xk，根据下列条件，分别求出 k的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两
4、个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根【解析】 2()4312k(1) 410k；(2) 23；(3) 1k； (4) 014【点评】本题已知根的情况，运用根的判别式，求方程中参数的取值范围。需要逆向思考，体现了思维的灵活性。2.（1）判断直线 1yx=+与抛物线 231yx=-+的交点个数；（2）若直线 2m与抛物线 有两个不同的交点，求 m的范围。3【分析】有题意，曲线交点个数可转化为对应方程组的解的个数，可借助根的判别式进行解决；（2）由 2yxm=+，代入消元得； 2xm+=，整理得； 0-，由题意可得； 2()41D=+，解得 1-，即当 1m-时，直线 yxm与抛
5、物线 2yx=有两个不同的交点。【点评】判断两曲线交点个数问题时，基本方法为直接求解法，判别式法即图像法。而判别式法在解决二次曲线交点个数问题时更为高效。3已知关于 x 的一元二次方程 22310xkxk.（1）求证：不管 k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形 ABC 的一边长 6a,另两边长 ,bc恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.【答案】 （1） 20kA；（2）16 或 22.【分析】 （1）计算出“根的判别式的值” ，然后通过配方可知无论 k 去何值，的值恒大于或等于 0，由此可得结论；（2）因为题目中没有告诉等腰ABC 中边 a是腰还是底，故要分两种情况讨论：当 a为
6、腰时，则bc、中有一边为腰，即原方程有一根为 6，代入方程可解得 k 的值，进一步可求得方程的另一根，从而可求ABC 的周长；当 a为底时，则 bc、 都为腰，此时原方程有两个相等的实数根，则=0，由此可求出k 的值，代入原方程求解，从而可求ABC 的周长.【解析】(1)在方程 22310xkxk 中，= 314k= 29618k= 21=2k，4无论 k 为何值， 0 ，不管 k 为何值，原方程总有实数根；当 6a为底时，则 ,bc两边均为腰，即原方程有两个相等的实数根，所以 2(1)0kA，解得 1k，此时原方程为： 4x，解得： 12x即 ,bc两边均为 2，因为 6，此时 ,abc三边围不成三角形，此种情况不成立；综合可得的周长为 16 或 22【点评】问题从一元二次根的判别式“”入手，通过化简、配方法等将“”表达式转化为可判断其符号的形式，从而就可以判断原一元二次方程根的情况了；（2）这类问题通常要分“已知边是等腰三角形的腰和底”两种情况分别讨论，同时要特别注意在涉及三角形三边的问题中，求出三边后，一定要用三角形三边间的关系进行检验，看能否围成三角形.
