1、1第 2 讲 十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2（3）立方和公式 23()；（4）立方差公式 2abab；2把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式3因式分解与整式乘法的区别和联
2、系：因式分解与整式乘法是互逆关系（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘4因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止5因式分解的解题步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） 【高效演练】1将下列各式因式分解：（1） x267； （2）
3、2x 36x 2+4x；（3） ab245； （4） x；（5） 5301xax；2（6） ab21639 ； （7） 57412xynnn；（8） x2 7；【答案】(1) (1)； （2）2x（x1） （x2） ；（3） 5ab； （4） ()()()()xxxx224131；（5） 3()8；（6）原式 abab21639（7）原式 541xyxynn（8）原式 xx22841632.把 49yxy分解因式的结果是_。【解析】： 225yxx24229133.若 xym56能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为_。 【解析】： xyxyxy2 56-6 可分解成 3或 2，因此，存在两
4、种情况：（ 1） x+y -2 （ 2） x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得： m1，由（1）可得： m1【答案】 【解题反思】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。34.已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足 acbac24。求证： bc5. 若 xxa3257有一因式 x1。求 a，并将原式因式分解。【解析】： 32有一因式当 10，即 时， x32570axxxx32225743113【解题反思】由条件知， x1时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是 x1，分解时尽量出现 ，
5、从而分解彻底。6.已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足 xyxy220，求长方形的面积。【分析】要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。【解析】： xyxy2204xyxy22201()xy20或 xy0又 8xyxy18或解得： y53或 4.长方形的面积为 15cm2或 632cm7. 在多项式 xxxxx12123， ， ， ， ， ，哪些是多项式24209的因式？【解析】： xx42xxxx22222 131其中 1122， ， ， 是多项式xx2409的因式。【解题反思】先正确分解，再判断。8. 已知多项式 1332k有一个因式，求 k 的值，并把
6、原式分解因式。【解析】：设 12xxxab则 2331abk5解得：abk16且 213621621323 2xxxxx【解题反思】待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为 1。9. 分解因式： 352942xyxy【解析】：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设 22353222xymynxmny比较同类项系数，得： n194解得： mn413529434212xyxyxy10. 已知： 012， ，求 92y的值。【解析】： 12xy342xyxy053128，原 式【解题反思】用因式分解可简化计算。11.证明：若 4xy是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 810322xy是 49 的倍数。【分析】：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。【解析】： 证明一： 8103242 y623467xyxy 是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数） xy是 7 的倍数而 2 与 7 互质，因此， 23xy是 7 的倍数，所以 810322xy是 49 的倍数。
