1、一元二次方程综合 一元二次方程的综合运用，一元二次方程的二次项系数不为零及整数根问题是一元二次方程综合题中的热点考查内容20112015 年北京中考知识点对比题型年份 2011 2012 2013 2014 2015题型一次函数与反比例函数综合一次函数与反比例函数综合一元二次方程综合一元二次方程综合一次函数与反比例函数综合12014北京 已知关于 x 的方程 mx2( m2) x20( m0)(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值22013北京 已知关于 x 的一元二次方程 x22 x2 k40 有两个不相等的实数根(1)求 k 的取值范围；(2)
2、若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值12015西城一模 已知关于 x 的一元二次方程 x22( m1) x m(m2)0.(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x2 是此方程的一个根，求实数 m 的值22015海淀二模 已知关于 x 的方程 x24 x3 a10 有两个实数根(1)求实数 a 的取值范围；(2)若 a 为正整数，求方程的根32015朝阳一模 已知关于 x 的一元二次方程 x26 x k30 有两个不相等的实数根(1)求 k 的取值范围；(2)若 k 为大于 3 的整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值42014西城二模 已知关于 x 的一元二次方
3、程 x22 x3 k60 有两个不相等的实数根(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值52015海淀 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 x20 有两个不相等的实数根(m 2)x1， x2.(1)求 m 的取值范围；(2)若 x21，求整数 m 的值x1x262015海淀一模 已知关于 x 的方程 kx2 x 0( k0)2k(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数 k 的值72014石景山二模 已知关于 x 的方程 x2( k2) x(2 k1)0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程
4、的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长82015怀柔一模 已知关于 x 的一元二次方程 kx2(4 k1) x3 k30( k 是整数)(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求 k 的值参考答案北京真题体验1.解：(1)证明：可知 b24 ac( m2) 242 m m24 m48 m m24 m4( m2) 20.方程总有两个实数根(2)由公式法解方程可得：x b 2a （ m 2） （ m 2）2m x11； x2 .2m由题意得方程的两个实数根均为整数， x2必为整数又 m 为正整数， m1 或 2.2(1) k0.解
5、得 k0. k0，(m 2)2 (m 2)2 m0 且 m2.(2)原方程的解为 x .(m 2)(m 2)2m x1 或 x .2m x21， 1. m2.x1x2 m2又 m0 且 m2，20，2k方程总有两个不相等的实数根(2)由求根公式，得x .1 92k x1 ， x2 .2k 1k方程的两个实数根都是整数，且 k 是整数， k1 或 k1.7解：(1)证明： ( k2) 24(2 k1)( k2) 240，方程恒有两个不相等的实数根(2)根据题意得 1( k2)(2 k1)0，解得 k2，则原方程为 x24 x30，解得另一个根为 x3.当该直角三角形的两直角边长是 1、3 时，由勾股定理得斜边的长为 ，该直角三角形10的周长为 4 ；10当该直角三角形的直角边长和斜边长分别是 1、3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为 2 ，该直角三角形的周长为 42 .2 28解：(1)证明： (4 k1) 24 k(3k3)(2 k1) 2. kx2(4 k1) x3 k30 是一元二次方程， k0， k 是整数， k ，即 2k10，12 (2 k1) 20，方程有两个不相等的实数根(2)解方程得 x .（ 4k 1） （ 2k 1） 22k x3 或 x1 .1k k 是整数，方程的根都是整数， k1 或 k1.
