1、代数综合 方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015 年代数综合题出现在第 27题，分值为 7分代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等20112015 年北京代数综合题考点对比年份 2011 2012 2013 2014 2015考点根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征确定二次函数解析式、二次函数图象的性
2、质、利用图象求取值范围求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标，利用图象求取值范围12015北京 在平面直角坐标系 xOy中，过点(0，2)且平行于 x轴的直线与直线y x1 交于点 A，点 A关于直线 x1 的对称点为 B，抛物线 C1： y x2 bx c经过点A， B.(1)求点 A， B的坐标；(2)求抛物线 C1的函数解析式及顶点坐标；(3)若抛物线 C2： y ax2(a0)与线段 AB恰有一个公共点，结合函数的图象求 a的取值范围22014北京 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y2 x2 mx n经过点 A(0，2)，B(3，4)(1)求抛物线的函数解析式及对称轴
3、；(2)设点 B关于原点的对称点为 C，点 D是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在 A， B之间的部分为图象 G(包含 A， B两点)若直线 CD与图象 G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标 t的取值范围32013北京 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y mx22 mx2( m0)与 y轴交于点A，其对称轴与 x轴交于点 B.(1)求点 A， B的坐标；(2)设直线 l与直线 AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的函数解析式；(3)若该抛物线在20)象与 x轴交于 A， B两点(点 A在点 B左侧)，与 y轴交于点 C.(1)求点 A的坐标；(2)当 ABC45时，求 m的值；(3)
4、已知一次函数 y kx b，点 P 是 x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点 P垂(n， 0)直于 x轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数 y mx2 x3 的(m 3) (m0)图象于点 N.若只有当20)个单位后与直线 BC只有一个公共点，求 t的取值范围图 Z8322015朝阳一模 如图 Z84，将抛物线 M1： y ax24 x向右平移 3个单位长度，再向上平移 3个单位长度，得到抛物线 M2，直线 y x与 M1的一个交点记为 A，与 M2的一个交点记为 B，点 A的横坐标是3.(1)求 a的值及 M2的函数解析式(2)点 C是线段 AB上的一个动点，过点 C作 x轴
5、的垂线，垂足为 D，在 CD的右侧作正方形CDEF.当点 C的横坐标为 2时，直线 y x n恰好经过正方形 CDEF的顶点 F，求此时 n的值；在点 C的运动过程中，若直线 y x n与正方形 CDEF始终没有公共点，求 n的取值范围(直接写出结果)图 Z8432015西城一模 已知二次函数 y1 x2 bx c的图象 C1经过(1，0)，(0，3)两点(1)求 C1对应的函数解析式；(2)将 C1先向左平移 1个单位长度，再向上平移 4个单位长度，得到抛物线 C2，将 C2对应的函数解析式记为 y2 x2 mx n，求 C2对应的函数解析式；(3)设 y32 x3，在(2)的条件下，如果在
6、2 x a内存在某一个 x的值，使得 y2 y3成立，利用函数图象直接写出 a的取值范围图 Z8542015东城一模 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y ax2 bx1 过点 A(a 0)， B ，与 y轴交于点 C.( 1， 0) (1， 1)(1)求抛物线 y ax2 bx1 的函数解析式(a 0)(2)若点 D在抛物线 y ax2 bx1 的对称轴上，当 ACD的周长最小时，求点 D(a 0)的坐标(3)在抛物线 y ax2 bx1 的对称轴上是否存在点 P，使 ACP成为以 AC为直角(a 0)边的直角三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由图 Z8652015石景山
7、一模 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y mx22 mx3( m0)与 x轴交于 A(3，0)， B两点(1)求抛物线的函数解析式及点 B的坐标；(2)将20)与 x轴交于 A， B两点(点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C.(1)求点 A的坐标；(2)当 S ABC15 时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点 C的直线 l： y kx b(k3.8解：(1)抛物线 y x2( m1) x m(m0)与 x轴交于 A， B两点，令 y0，即 x2( m1) x m0.解得 x11， x2 m.又点 A在点 B左侧，且 m0，点 A的坐标为(1，0)(2)由(1)可
8、知点 B的坐标为( m，0)抛物线与 y轴交于点 C，点 C的坐标为(0， m) m0， AB m1， OC m. S ABC15， (m1) m15.12解得 m6 或 m5. m0， m5，抛物线的函数解析式为 y x24 x5.(3)由(2)可知点 C的坐标为(0，5)直线 l： y kx b(k0)经过点 C， b5，直线 l的解析式为 y kx5( k0) y x24 x5( x2) 29，当点 D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值均为9，不符合题意当点 D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8(如图)令 y8，即 x24 x58.解得 x11(不合题意，舍去)，
9、 x23.抛物线经过点(3，8)当直线 y kx5( k0)经过点(3，8)时，可求得 k1.由图象可知，当1 k0时新函数的最小值大于8.9解：(1)抛物线 y ax2 x c(a0)经过 A(1，0)， B(2，0)两点， 解得a 1 c 0，4a 2 c 0， ) a 1，c 2. )抛物线的函数解析式为 y x2 x2，点 D的坐标为( ， )12 94(2)如图，作 EN BC，交 y轴于点 N，过点 C作 CM EN于点 M.令 x0，得 y2， OC OB2， OCB45. EN BC， CNM OCB45. CM EN于点 M， CNM MCN45， MN CM ，22 CN1
10、.直线 NE的函数解析式为 y x3.由 解得y x 3，y x2 x 2， ) x 1，y 2.)点 E的坐标为(1，2)(3)如图，过点 E作 EF AB于点 F.由(2)知 tan EOF2，又tan 2， EOF . EOF EAO AEO ， EAO EPO ， EPO AEO. EAO PAE， AEP AOE， .APAE AEAO AE 2 ， AO1，22 22 2 AP8， OP7， P ，(7， 0)由对称性可得 P .( 5， 0)点 P的坐标为 或 .(7， 0) ( 5， 0)10解：(1)二次函数 y( a1) x22 x1 的图象与 x轴有交点，令 y0，则(
11、a1) x22 x10，44( a1)0，解得 a2. a为正整数， a为 1或 2.又 y( a1) x22 x1 是二次函数， a10， a1， a的值为 2.(2) a2，二次函数的解析式为 y x22 x1.将二次函数 y x22 x1 化成顶点式为 y( x1) 2，二次函数图象向右平移 m个单位长度，再向下平移( m21)个单位长度后的函数解析式为y( x1 m)2( m21)此时函数图象的顶点坐标为( m1， m21)当 m12，即 m1 时，在 x2 处二次函数有最小值3，3(1 m)2( m21)，解得 m ，符合题目要求32当2 m11，即1 m2 时，在 x m1 处二次函数有最小值3，即 m213，解得 m .2 m 不符合1 m2 的条件，舍去2 m .2当 m11，即 m2 时，在 x1 处二次函数有最小值3，3(2 m)2( m21)，解得 m ，不符合 m2 的条件，舍去32综上所述， m的值为 或 .32 2
