1、第 5 课时 几何综合(一)1(2016河北考试说明)观察思考某机械装置如图 1，图 2 是它的示意图其工作原理：滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动，在 Q 滑动的过程中，连杆 PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动在摆动过程中，两连杆的接点 P 在以 OP 为半径的O 上运动已知，过点 O 作 OHl 于点 H，并测得 OH4 分米，PQ 3 分米，OP2 分米解决问题(1)点 Q 与点 O 间的最小距离是 4 分米；点 Q 与点 O 间的最大距离是 5 分米；点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 6 分米；(2)如图 3，小勤说：“当
2、点 Q 滑动到点 H 的位置时，PQ 与O 是相切的 ”你认为他的判断对吗？为什么？(3)小王发现：当点 P 运动到 OH 上时，点 P 到 l 的距离最小事实上 ，还存在着点 P 到 l 距离最大的位置，此时，点 P 到 l 的距离是 3 分米；当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数解：(2)不对OP2，PQ3，OQ4， 且 423 22 2，即 OQ2PQ 2OP 2，OP 与 PQ 不垂直，PQ 与O 不相切(3)如图 4，由知，在O 上存在点 P，P到 l 的距离为 3 分米，此时，OP 将不能再向下转动，如图所示，OP在绕点 O 左右摆动
3、过程中所扫过的最大扇形就是 POP.连接 PP，交 OH 于点 D.PQ，PQ均与 l 垂直，且 PQPQ 3，四边形 PQQP是矩形，OHPP，PDPD.由 OP2，ODOHHD1，得DOP60.POP120.所求最大圆心角的度数为 120.2(2016承德围场模拟)如图 1，矩形 ABCD 的边 AB4，BC 3，一简易量角器放置 ABCD 内，其零度线即半圆O 的直径与边 AB 重合，点 A 处是 0 刻度，点 B 处是 180 刻度P 点是量角器的半圆弧上一动点，过 P 点的切线与边 BC，CD(或其延长线)分别交于点 E，F.设点 P 处的刻度数为 n，PAB.(1)当 n136 时
4、，22写出 与 n 的关系式；(2)如图 2，当 n120 时，求弦 AP 的长；(3)在 P 点的运动过程中，线段 EB 与 EP 有怎样的数量关系，请予证明；(4)在 P 点的运动过程中，F 点在直线 CD 上的位置随着 的变化而变化当点 F 与点 D 重合时，如图 3，求 的值；(参考数据：tan56.31.5，tan33.70.7，tan 67.42.4)讨论当 F 点在线段 CD 上时，在 CD 的延长线上时，在 DC 的延长线上时，对应的 的取值范围分别是多少？解：(1)连接 OP.由题意可知AOPn.AOPO，OPA PAB.OPA PABAOP180，n2180.90 n.12
5、(2)由(1)，知 90 n.12当 n120 时，30.即PAB30.连接 OP，过 O 作 OHAP 于点 H，则 AP2AH.在 RtAOH 中 ，AO AB2，PAB 30，12OH AO1，AH .12 AO2 OH2 3AP2AH2 .3(3)EBEP.证明：四边形 ABCD 为矩形，ABC90.BE 为半圆 O 的切线又EP 为半圆 O 的切线，PEEB.(4)连接 OP，DO.DA，DP 分别为半圆 O 的切线 ，DPDA，ADOPDO.DOAP.DAP ADO90.又DAP PAB90，ADOPAB.在 RtADO 中 ，tanADO 0.6.0.7.AOAD 23tan33
6、.70.7.ADO33.7.33.7.由，知 D，F 重合时，33.7.当POB 90 时，显然过点 P 的切线与 CD 平行，此时 45.如图 5，当点 E 与点 C 重合时 ，由切线长的性质知 CPCB 3，PQ AQ，AQO PQO.OQAP.QAP AQO90.又QAO90，BAP QAP90.AQOBAP.在 RtDQC 中，DC4，DQ3AQ，CQPQPC AQ3，4 2(3AQ) 2(AQ3) 2.AQ .43在 RtAQO 中 ，tanAQO .AOAQ 243 32tan56.3 ，32AQO56.3，BAP 56.3 ，即 56.3 .结合图形以及以上临界状态可知：当 F
7、在线段 CD 上时，033.7或 56.390；当 F 在 CD 的延长线上时 ，33.745；当 F 在 DC 的延长线上时 ，4556.3.3(2011河北)如图 1 至图 4 中，两平行线 AB，CD 间的距离均为 6，点 M 为 AB 上一定点思考：如图 1 中，圆心为 O 的半圆形纸片在 AB，CD 之间(包括 AB，CD) ，其直径 MN 在 AB 上，MN8，点 P 为半圆上一点，设MOP，当 90 度时，点 P 到 CD 的距离最小，最小值为 2；探究一：在图 1 的基础上，以点 M 为旋转中心，在 AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止如图2，得到最大旋转
8、角B MO30 度，此时点 N 到 CD 的距离是 2；探究二：将图 1 中的扇形纸片 NOP 按下面对 的要求剪掉，使扇形纸片 MOP 绕点 M 在 AB，CD 之间顺时针旋转(1)如图 3，当 60时，求在旋转过程中，点 P 到 CD 的最小距离，并请指出旋转角BMO 的最大值；(2)如图 4，在扇形纸片 MOP 旋转过程中，要保证点 P 能落在直线 CD 上，请确定 的取值范围(参考数据：sin49 ，cos41 ，tan37 )34 34 34解：探究二：(1)由已知得出 M 与 P 的距离为 4，PM AB 时，点 MP 到 AB 的最大距离是 4，从而点 P 到 CD 的最小距离为
9、 642，当扇形 MOP 在 AB，CD 之间旋转到不能再转时， 与 AB 相切，MP 此时旋转角最大，BMO 的最大值为 90.(2)由探究一可知，点 P 是 与 CD 的切点时， 达到最大，即 OPCD， 最大值为 120；MP 如图 4，当点 P 在 CD 上，且 MPCD 时， 达到最小，连接 MP，作 HOMP 于点 H，由垂径定理，得出 MH 3，在 RtMOH 中，MO4，sinMOH .MOH 49.MHOM342MOH， 最小为 98， 的取值范围为 98120.4(2015河北)平面上，矩形 ABCD 与直径为 QP 的半圆 K 如图摆放，分别延长 DA 和 QP 交于点
10、O，且DOQ60，OQOD3，OP2，OAAB1.让线段 OD 及矩形 ABCD 位置固定，将线段 OQ 连带着半圆K 一起绕着点 O 按逆时针方向旋转，设旋转角为 (060)发现：(1)当 0，即初始位置时，点 P 在直线 AB 上( 填“在”或“不在”)求当 是多少时，OQ 经过点 B?(2)在 OQ 旋转过程中，简要说明 是多少时，点 P，A 间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图 2，当点 P 恰好落在 BC 边上时求 及 S 阴影拓展：(4)如图 3，当线段 OQ 与 CB 边交于点 M，与 BA 边交于点 N 时，设 BMx(x0)，用含 x 的代数式表示 BN 的长，并求 x
11、 的取值范围探究：(5)当半圆 K 与矩形 ABCD 的边相切时，求 sin 的值解：(1)当 OQ 过点 B 时，在 RtOAB 中，AOAB，得DOQABO45，604515.(2)在OAP 中，OAAPOP，当 OP 过点 A，即 60时 OAAP OP 成立APOPOA211.当 60，P，A 间的距离最小 PA 的最小值为 1.(3)设半圆 K 与 BC 交点为 R，连接 RK，AP.过点 P 作 PHAD 于点 H，过点 R 作 REKQ 于点 E.在 RtOPH 中，PH AB1，OP 2，POH 30 .603030.ADBC， OPBRPQPOH30，RKQ23060.S 扇
12、形 RKQ .60（12）2360 24在 Rt RKE，RERKsin60 ，34S RKP PKRE .12 316S 阴影 .24 316(4)OANMBN90，ANOBNM，AONBMN. ，即 .BN .如图 4，当点 Q 落在 BC 上时，x 取得最大值，作ANBN AOBM 1 BNBN 1x xx 1QFAD 于点 F.BQAF AO 12 1.x 的范围是 0x2 1.OQ2 QF2 32 12 2 2(5)半圆与矩形相切，分三种情况：如图 5，半圆 K 与 BC 切于点 T，设直线 KT 与 AD 和 OQ 的初始位置所在直线分别交于点 S，O，则 KSOKTB 90，作
13、KGOO 于点 G.RtOSK 中，OS OK2 SK22.RtOSO中，SO OStan602 ，KO2 .RtKGO中，O 30，（52）2 （32）2 3 3 32KG KO .RtOGK 中，sin ；12 3 34 KGOK3 3452 43 310半圆 K 与 AD 切于点 T，如图 6，同理可得sin KGOK12OK5212（OT KT）52 ；12 3（52） 2 （12）2 1255 62 110当半圆 K 与 CD 相切时，点 Q 与点 D 重合，且 D 点为切点 60.sin sin60 .32综上所述，sin 的值为 或 或 .43 310 62 110 325(20
14、16邯郸模拟)如图 1， 矩形 ABCD 中，AB8，BC8 ，半径为 的P 与线段 BD 相切于点 M，圆心 P3 3与点 C 在直线 BD 的同侧， P 沿线段 BD 从点 B 向点 D 滚动发现：BD16，CBD 的度数为 30；拓展：(1)当切点 M 与点 B 重合时，求P 与矩形 ABCD 重叠部分的面积；(2)在滚动过程中如图 2，求 AP 的最小值；探究：(3)若P 与矩形 A BCD 的两条对角线都相切，求此时线段 BM 的长，并直接写出 tanPBC 的值；(4)在滚动过程中如图 3，点 N 是 AC 上任意一点，直接写出 BPPN 的最小值解：拓展：(1)连接 PH，过点
15、P 作 PGBC 于点 G.P 与 BD 相切 ，PBD 90 .又CBD30，PBC60.PB PH，PBH 为等边三角形 BPH 60.PG BC，GPH BPH30.12在 RtGPH 中，cos30 ，PGPH PG3PG .32S PBH BHPG .12 12 3 32 343S 重叠 S 扇形 PBHS PBH .60 （3）2360 343 2 343(2)过点 P 作直线 lBD，显然P 在移动的过程中，圆心 P 在直线 l 上，过点 A 作 APl 于点 P，交 BD 于点G， 则当 P 的圆心移动到点 P处时，AP 取最小值，长度为 AP.APl，BDl，APBD.S A
16、BD ABAD，12SABD BDAG.12ABADBDAG.又AB8，ADBC8 ， BD16，3AG4 .3APAG PG4 5 .3 3 3AP 的最小值为 5 .3探究：(3)如图 4，当 P 在BOC 内时，OB，OC 与P 相切，BOP COP BOC 12060.12 12在 RtPOM 中，tan BOP ，PMOMOM 1.3tan60BMOB OM BD1817.12此时 tanPBC .36如图 5，当 P 在COD 内时，OD，OC 与P 相切，DOP COP COD30.12在 RtPOM 中，tan 30 .PMOMOM 3.333BMOB OM8311.此时 ta
17、nPBC .293(4)如图 6，BPPN 的最小值为 5 .36(2016保定高阳模拟)某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图 1 所示，规格要求杯口直径 AB6 cm ，杯底直径 CD4 cm ，杯壁母线 ACBD6 cm.请你和他们一起解决下列问题：(1)小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图( 如图 2，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分图 2 中 的长为 6 cm， 的长为 4 cm，MENF 6cm；EF MN 要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定 所在圆的圆心 O，如图 3 所示，小颖同学发现若将 ， 近似MN EF MN 地看作线段，类比相似三角形
18、的性质可得 .请你帮她证明这一结论；EF 的 长MN 的 长 OFON根据中的结论，求 所在圆的半径 r 及它所对的圆心角的度数 n；MN (2)小颖同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图所示的方式剪出这个纸杯的侧面 ，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长解：(1)设 所在圆的半径为 r，所对圆心角度数为 n，则 的长度为 ， 的长为 ，MN MN n r180 EF n （r FN）180所以 ，即 .lEF lMN n （r FN）180n r180lEF lMN r NFr ON NFON OFON由得， ，即 ，计算得出 r12.lEF lMN OFON 64 r 6r 的长为
19、 ，MN n r180 4 ，即 4 ，计算得出 n60，即 所在圆的半径 r 等于 12 cm，它所对的圆心角的度数为n r180 n 12180 MN 60.(2)如图 4，延长 EM 交 FN 的延长线于点 O，MON60，MON 和EOF 是等边三角形EF长方形的长126 1 8(cm)设 RS 与 交于点 P，OP 交 ZX 于点 Q，连接 OP，EF OQMN，MQQN.在 RtOQN 中 ，QON30，OQONc os306 ，长方形的宽(186 )cm.3 3如图 5，连接 EF，同理得EFO 为等边三角形，EFOE18.在 RtBEF 中，BEBF， BEBF9 .2设正方形边长为 x cm，则 AEx9 .2即 x2(x9 )218 2，2解得 x1 ( )，x 2 ( )(舍去)92 2 6 92 2 6正方形边长为 ( )cm.92 2 6
