1、第 2 课时 解三角形和三角形相似1(2016北京)如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，ACAD ，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连接BM，MN ，BN.(1)求证：BMMN；(2)若BAD 60，AC 平分BAD，AC2，求 BN 的长解：(1)证明：在CAD 中，M，N 分别是 AC，CD 的中点，MNAD，且 MN AD.12在 RtABC 中 ，M 是 AC 的中点，BM AC.12又ACAD，MNBM.(2)BAD 60，且 AC 平分BAD，BACDAC30.由(1)知 BM ACAMMC.12BMC BAMABM2BAM60.MNAD，NMCDAC 30.BMNBMC
2、NMC90.BN 2BM 2 MN2.由(1)知，MN BM AC 21.12 12BN .22(2016白银)如图，已知 ECAB, EDA ABF.(1)求证：四边形 ABCD 为平行四边形；(2)求证：OA 2OEOF.证明：(1)ECAB，CABF.又EDA ABF，CEDA.ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形(2)ECAB ， .OAOE OBOD又ADBC， .OFOA OBOD ，即 OA2OEOF.OAOE OFOA3(2015南充)如图，矩形纸片 ABCD，将AMP 和BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠(APAM) ，点 A 和点 B 都与点E 重合 ；再将CQD 沿
3、 DQ 折叠，点 C 落在线段 EQ 上点 F 处(1)判断AMP，BPQ， CQD 和FDM 中有哪几对相似三角形？ (不需说明理由)(2)如果 AM1，sinDMF ，那么 AB 的长为 635解：(1)有三对 相似三角形， 即AMPBPQCQD.(2)设 APx，由折叠关系可得 BPAPEPx，ABDC2x，AM 1.由AMP BPQ ，得 ，即 BQx 2.AMBP APBQ由AMP CQD，得 ，即 CQ2.APCD AMCQADBCBQCQx 22，MDADAMx 221x 21.又 在 RtFDM 中，sinDMF ，35DFDC 2x，sinDMF .DFMD 2xx2 1 3
4、5解得 x3 或 x (不合题意，舍去)13AB2x6.4(2016唐山路北区模拟)如图 ，在等腰ABC 中，ACB90，ACBC2，点 D 是边 AC 的中点，点 E 是斜边 AB 上的动点，将AED 沿 DE 所在的直线折叠得到A 1DE.(1)当点 A1 落在边 BC(含边 BC 的端点)上时，折痕 DE 的长是多少？(2)连接 A1B， 当点 E 在边 AB 上移动时，求 A1B 长的最小值解：(1)点 D 到边 BC 的距离是 DCDA1，点 A1 落在边 BC 上时，点 A1 与点 C 重合，如备用图所示此时，DE 为 AC 的垂直平分线，即 DE 为ABC 的中位线，DE BC1
5、.12(2)连接 BD.在 RtBCD 中 ，BD .BC2 CD2 5由A 1DEADE ，可得 A1DAD1.由 A1BA 1DBD，得 A1B BDA 1D 1.5A 1B 长的最小值是 1.55(2015资阳)E，F 分别是正方形 ABCD 的边 DC，CB 上的点，且 DECF，以 AE 为边作正方形 AEHG，HE与 BC 交于点 Q，连接 DF.(1)求证：ADEDCF；(2)若 E 是 CD 的中点，求证：Q 为 CF 的中点；(3)连接 AQ，设 SCEQ S 1， SAED S 2，S EAQ S 3，在(2) 的条件下，判断 S1S 2S 3 是否成立？并说明理由解：(1
6、)证明：四边形 ABCD 是正方形，ADCD，ADEDCF90.DECF ，ADE DCF(SAS)(2)证明：四边形 AEHG 是正方形，AEH90.AED QEC 90.ADE 90，AEDEAD 90.QECEAD .ADE ECQ. .CQDE CEAD ， .CEAD DEAD 12 CQDE CQCF 12点 Q 是 CF 中点(3)S1S 2S 3 成立理由：ADEECQ， .CQDE QEAE又DECE， .CQCE QEAECAEQ90， AEQECQ. AEQ ECQADE. ( )2， ( )2.S1S3 EQAQ S2S3 AEAQ ( )2( )2 .S1S3 S2S
7、3 EQAQ AEAQ EQ2 AE2AQ2由勾股定理得 EQ2AE 2AQ 2， 1，即 S1S 2S 3.S1S3 S2S36(2015丽水)如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BE 上的一点，连接 C F 并延长交 AB 于点M，MNCM 交 AD 于点 N.(1)当 F 为 BE 中点时，求证：AMCE；(2)若 2，求 的值；ABBC EFBF ANND(3)若 n，当 n 为何值时 ，MNBE.ABBC EFBF解：(1)证明：F 为 BE 中点，BFEF.在矩形 ABCD 中 ，ABCD，MBFCEF ，BMF ECF.BMFECF(AAS )MBCE.AB
8、CD ，CE DE，MBAM. AMC E.(2)设 MBa，ABCD ，BMFECF. 2.CE2a.EFBF CEMBABCD 2CE 4a ，AMABMB3a. 2，BCAD2 a.ABBCMNMC，AABC 90，AMNBMC90.又AMNANM90，BMC ANM.AMNBCM. ，即 .ANMB AMBC ANa 3a2aAN a，ND ADAN a.32 12 3.ANND32a12a(3)设 MBa， n，且MBFCEF，EFBF .CEMB EFBFCEna，ABCD2na. n，BC2a.ABBC如图，当 MNBE 时，CM BE.BMC BCM 90，EBC BCM90，
9、BCMEBC.MBC BCE. ，即 .MBBC BCCE aBC BCnaBC a.n又BC2a， a2a. 解得 n4.n当 n4 时，MNBE.7(2016石家庄模拟)提出问题：(1)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，H 分别在 BC，AB 上，若 AEDH 于点 O，求证：A EDH；类比探究：(2)如图 2，在正方形 ABCD 中，点 H，E，G，F 分别在 AB，BC ，CD，DA 上，若 EFHG 于点 O，探究线段EF 与 HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HFGE，如图 3 所示，已知 BEEC2，EO 2FO，求图中阴影部分的面积解：(
10、1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABDA，ABE90DAH.HAOO AD90.AEDH ， ADOOAD90.HAOADO.ABEDAH(ASA)AEDH.(2)EFGH. 理由：将 FE 平移到 AM 处，则 AMEF ，AMEF.将 GH 平移到 DN 处，则 DNGH，DNGH.EFGH，AMDN.根据(1)的结论得 AMDN，EF GH.(3)四边形 ABCD 是正方形，ABCD.AHOCGO.FHEG，FHO EGO.AHF CGE.AHF CGE. .AFCE FHEG FOOE 12又EC2，AF1.过点 F 作 FPBC 于点 P，根据勾股定理得 EF .17FHEG， .FOFE HOHG根据(2)知 EFGH，FOHO.S FOH FO2 ( EF)2 ，12 12 13 1718SEOG EO2 ( EF)2 .12 12 23 6818阴影部分面积为 .1718 6818 8518
