七年级数学上册 第5章 相交线与平行线同步练习（打包6套）（新版）华东师大版.zip

15.1 1. 对顶角一、选择题1．学习了对顶角后，教师画了如图 K－46－1 所示的四个图形，那么∠1 和∠2 是对顶角的图形有( )图 K－46－1A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2．如图 K－46－2，直线 AB 与 CD 相交于点 O， EO⊥ AB，则∠1 与∠2( )图 K－46－2A．是对顶角 B．相等C．互余 D．互补3．如图 K－46－3，直线 AB， CD 相交于点 O，且∠ AOD＋∠ BOC＝236°，则∠ AOC 的度数为( )图 K－46－3A．62° B．72° C．124° D．144°4．如图 K－46－4，直线 AB 和 CD 相交于点 O，射线 OM 平分∠ AOC.若∠ AOM＝38°，则∠ BOD等于( )图 K－46－4A．38° B．52° C．76° D．142°5．如图 K－46－5，三条直线 l1， l2， l3相交于点 O，则∠1＋∠2＋∠3 等于( )图 K－46－5A．90° B．120° C．180° D．360°2二、填空题6．如图 K－46－6，直线 AB 和 CD 相交于点 O，则∠3 的对顶角是________，∠2 的邻补角是________．若∠2＝120°，则∠1＝________°，∠4＝________°.图 K－46－67．如图 K－46－7，点 B， O， D 在同一条直线上，若 OA 的方向是北偏东 70°，则 OD 的方向是________．图 K－46－78．如图 K－46－8，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，∠ BOE＝90°，垂足为 O.若∠ AOC＝65°，则∠ DOE 的度数是________．图 K－46－89．如图 K－46－9，直线 AB， CD 相交于点 O，∠ COF＝90°， OF 平分∠ AOE.若∠ BOD＝25°，则∠ EOF 的度数为________．图 K－46－9三、解答题10．下列两个图形中各有几对对顶角？请分别写出来.图 K－46－10311．如图 K－46－11，直线 AB， CD 相交于点 O，∠ DOB∶∠ BOC＝2∶1，求∠ AOC 的度数．图 K－46－1112．如图 K－46－12 所示，直线 AB 交 CD 于点 O， OE 平分∠ BOD， OF 平分∠ BOC，∠ AOD∶∠ DOE＝4∶1，求∠ AOF 的度数．图 K－46－1213．如图 K－46－13 所示是小兵自制的对顶角“小仪器”示意图．(1)将三角尺 ABC 的 AC 边延长且使 AC 固定；(2)将另一三角尺 CDE 的直角顶点与前一个三角尺的直角顶点重合；(3)延长 DC，∠ PCD 与∠ ACF 就是一对对顶角．已知∠1＝30°，则∠ ACF 的度数是多少？图 K－46－13414．如图 K－46－14，直线 AE， DB 相交于点 O， OC 为∠ AOB 的平分线，∠ BOC＝28.36°.(1)作 OC 的反向延长线 OF；(2)求∠ FOE，∠ AOD 的度数．图 K－46－1415．如图 K－46－15，直线 AB， CD 相交于点 O， OE 是∠ AOD 的平分线，∠ BOD＝26°，求∠ AOE和∠ COE 的度数．图 K－46－1551． A 2. C3． A 4． C 5 C6．∠1 ∠1，∠3 60 1207．南偏东 40°8．25°9．65°10．解：图①有 4 对对顶角，它们分别是∠AOC 与∠BOD，∠BOC 与∠AOD，∠OME 与∠DMF，∠CMF 与∠DME.图②有 6 对对顶角，它们分别是∠AOC 与∠BOD，∠BOC 与∠AOD，∠OME 与∠DMF，∠CMF 与∠DME，∠ANE 与∠FNB，∠ANF 与∠BNE.11．解：因为∠DOC＝180°，∠DOB∶∠BOC＝2∶1，所以∠DOB＝ ×180°＝120°.21＋ 2因为直线 AB，CD 相交于点 O，所以∠AOC＝∠DOB＝120°.12．解：设∠BOE＝α，∵OE 平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝α.∵∠AOD∶∠DOE＝4∶1，∴∠AOD＝4α.而∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°，∴4α＋α＋α＝180°，∴α＝30°，∴∠AOD＝4α＝120°，∴∠BOC＝∠AOD＝120°.∵OF 平分∠BOC，∴∠COF＝ ∠BOC＝60°.12又∵∠AOC＝∠BOD＝2α＝60°，∴∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝120°.13．解：因为∠PCD＋∠1＝90°，所以∠PCD＝90°－∠1＝90°－30°＝60°.又因为∠PCD＝∠ACF，所以∠ACF＝60°.14．解：(1)如图，射线 OF 为 OC 的反向延长线．(2)因为射线 OF 为 OC 的反向延长线，直线 AE，DB 相交于点 O，所以∠FOE＝∠AOC.因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC＝∠BOC＝28.36°，所以∠FOE＝28.36°，∠AOD＝180°－∠AOB＝180°－2∠BOC＝180°－56.72°＝123.28°.15．∵∠AOC＝∠BOD，而∠BOD＝26°，∴∠AOC＝26°，则∠AOD＝180°－26°＝154°.又∵OE 是∠AOD 的平分线，∴∠AOE＝∠DOE＝ ∠AOD＝ ×154°＝77°，12 12则∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝26°＋77°＝103°.615.1 2. 垂线一、选择题1．在同一平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直( )A．0 条 B．1 条C．2 条 D．无数条2．如图 K－47－1， OA⊥ OB，若∠1＝35°，则∠2 的度数是( ) 图 K－47－1A．35° B．45° C．55° D．70°3．下列说法中错误的是( )A．两直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直B．两直线相交，若有两个角相等，则这两条直线垂直C．两直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线垂直D．两直线相交，若有三个角相等，则这两条直线垂直4．如图 K－47－2，直线 l1与 l2相交于点 O， OM⊥ l1.若∠ α ＝44°，则∠ β 等于( )图 K－47－2A．56° B．46° C．45° D．44°5．如图 K－47－3，已知直线 AB， CD 互相垂直，垂足为 O ，直线 EF 过点O，∠ DOF∶∠ BOF＝2∶3，则∠ AOE 的度数为( )图 K－47－3A．36° B．54° C. 48° D．42°6．如图 K－47－4 所示， P 为直线 l 外一点， A， B， C 三点均在直线 l 上，并且 PB⊥ l，有下列说法：① PA， PB， PC 三条线段中， PB 最短；②线段 PB 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离；③线段 AB 的长度是点 A 到 PB 的距离；④线段 AC 的长度是点 A 到 PC 的距离．图 K－47－42其中正确的有( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个7． P 为直线 m 外一点， A， B， C 为直线 m 上三点， PA＝4 cm， PB＝5 cm， PC＝2 cm，则点 P 到直线 m 的距离( )A．等于 4 cm B．等于 2 cmC．小于 2 cm D．不大于 2 cm二、填空题8．如图 K－47－5 所示， OA⊥ OC，∠1＝∠2，则 OB 与 OD 的位置关系是____________．图 K－47－59．如图 K－47－6， OA 是北偏东 30°方向的一条射线，若射线 OB 与射线 OA 垂直，则 OB 的方向是__________________．图 K－47－610．如图 K－47－7， AC⊥ BC， CD⊥ AB，垂足分别是 C， D.(1)点 C 到直线 AB 的距离是线段________的长度；(2)点 B 到直线 AC 的距离是线段________的长度．图 K－47－711．如图 K－47－8，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为 DA＝4.5 米，DB＝4.15 米，则小明的跳远成绩实际应该为________．图 K－47－83三、解答题12．如图 K－47－9 所示，在这些图形中，分别过点 C 画直线 AB 的垂线，垂足为 O.图 K－47－913．如图 K－47－10，已知 AO⊥ CO，∠ COD＝40°，∠ BOC＝∠ AOD.试说明 OB⊥ OD.请完善解答过程，并在括号内填上相应的依据：图 K－47－10解：因为 AO⊥ CO，所以∠ AOC＝__________(________________________)．又因为∠ COD＝40°(已知)，所以∠ AOD＝________．又因为∠ BOC＝∠ AOD(已知)，所以∠ BOC＝________(__________)，所以∠ BOD＝________，所以________⊥________(____________)．14．(1)如图 K－47－11 甲，小刚准备从 C 处牵牛到河边 AB 处饮水，请用三角尺作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)，并说明理由；(2)如图 K－47－11 乙，若小刚从 C 处牵牛到河边 AB 处饮水，并且必须先到河边 D 处观察河的水质情况，请作出小刚行走的最短路线，并说明理由.甲 乙图 K－47－11415．如图 K－47－12，直线 AB， CD 相交于点 O， OM⊥ AB， NO⊥ CD.(1)若∠1＝∠2，求∠ AOD 的度数；(2)若∠1＝ ∠ BOC，求∠2 和∠ MOD 的度数．14图 K－47－1216．如图 K－47－13，射线 OC 的端点 O 在直线 AB 上， OE 平分∠ COB， OD 平分∠ AOC， DO 是否垂直于 OE？请说明理由．图 K－47－1351． B 2. C 3. B 4. B5． B 6． C7． D 8．OB⊥OD 9．北偏西 60°10．(1)CD (2)BC11．4.15 米 12．解：如图所示．13. 90° 垂直的定义 50° 50° 等量代换 90°OB OD 垂直的定义14．解：(1)过点 C 作 AB 的垂线段．理由：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短(画图略)．(2)连结 CD，过点 D 作 AB 的垂线段．理由：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短(画图略)．15．解：∵OM⊥AB，NO⊥CD，∴∠BOM＝∠AOM＝∠NOD＝∠CON＝90°.(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AOD＝180°－∠2＝180°－45°＝135°，即∠AOD 的度数是 135°.(2)∵∠1＋∠BOM＝∠BOC，∠1＝ ∠BOC，14∴∠1＝ ∠BOM＝30°，∴∠2＝90°－∠1＝60°.13∵∠1＋∠MOD＝∠COD＝180°，∴∠MOD＝180°－∠1＝150°.16．解：DO⊥OE.理由：因为 OE 平分∠COB，所以∠COE＝ ∠COB.12因为 OD 平分∠AOC，所以∠DOC＝ ∠AOC，12所以∠DOE＝∠COE＋∠DOC＝ ∠COB＋ ∠AOC＝ (∠COB＋∠AOC)＝ ∠AOB.12 12 12 126因为∠AOB 是平角，所以∠DOE＝ ×180°＝90°，12所以 DO⊥OE.15.1 3. 同位角、内错角、同旁内角 一、选择题1．如图 K－48－1，∠1 与∠2 是( )图 K－48－1A．对顶角 B．同位角C．内错角 D．同旁内角2．2016·福州 如图 K－48－2，直线 a， b被直线 c所截，∠1 与∠2 的位置关系是( )图 K－48－2A．同位角 B．内错角C．同旁内角 D．对顶角3．如图 K－48－3，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是( )图 K－48－3A．同位角 B．内错角C．同旁内角 D．对顶角4．下列图形中，∠1 与∠2 是同位角的有( )图 K－48－4A．①②③④ B．①②③C．①③ D．①5．如图 K－48－5 所示，下列说法不正确的是( )图 K－48－5A．∠1 与∠ B是同位角 B．∠1 与∠4 是内错角C．∠3 与∠ B是同旁内角 D．∠ C与∠ A不是同旁内角6．如图 K－48－6 所示，下列说法中正确的是( )2图 K－48－6A．∠2 和∠4 是同位角B．∠2 和∠4 是内错角C．∠1 和∠ A是内错角D．∠3 和∠4 是同旁内角7．如图 K－48－7 所示，下列说法错误的是( )图 K－48－7A．∠1 与∠2 是同旁内角B．∠1 与∠3 是同位角C．∠1 与∠5 是内错角D．∠1 和∠6 是同位角8．如图 K－48－8， CM， ON被 AO所截，那么( )图 K－48－8A．∠1 和∠3 是同位角B．∠2 和∠4 是同位角C．∠ ACD和∠ AOB是内错角D．∠1 和∠4 是同旁内角9．如图 K－48－9，与∠ B是同旁内角的角有( )图 K－48－9A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个10．如图 K－48－10，图中的同位角的对数是( )图 K－48－10A．4 B．6 C．8 D．12二、填空题311. 如图 K－48－11，∠ ABC与________是同位角，∠ ABC与________或________是同旁内角；∠ ADB与________或________是内错角．图 K－48－1112．如图 K－48－12 所示，直线 a， b被直线 l所截，与∠1 是同位角的是________，与∠1 是内错角的是________，与∠1 是同旁内角的是_________________________，∠1 与________是对顶角．图 K－48－1213．如图 K－48－13，直线________和______被直线________所截，∠1 和∠5 是________角，∠1 和∠6 是________角，∠1 和∠8 是________角，∠1 与∠3 是________角，∠1 与∠2 是________角．图 K－48－1314．如图 K－48－14 所示，直线 AB， AC， CB两两相交，交点分别为 A， B， C.则：(1)∠1 和∠2 是直线________和________被直线________所截得的________角；(2)∠1 和∠3 是直线________和________被直线________所截得的________角；(3)∠1 和∠4 是直线________和________被直线________所截得的________角．图 K－48－1415．如图 K－48－15 所示，∠1 与∠3 是________角，∠3 与∠4 是________角，∠3 与∠5 是________角，∠2 与∠4 是________角．图 K－48－1516．如图 K－48－16 所示，∠3 与∠ B是直线 AB，______被直线________所截而成的________角；4∠1 与∠ A是直线 AB，________被直线________所截而成的________角；∠2 与∠ A是直线AB，________被直线________所截而成的________角．图 K－48－1617．如图 K－48－17 所示．(1)∠1 与∠4 是一对________角，具有同样位置关系的两个角还有________；(2)∠2 与∠3 是一对________角，具有同样位置关系的两个角还有____________. 图 K－48－1718．图 K－48－18 中，同位角有 a对，内错角有 b对，同旁内角有 c对，则 a＋ b＋ c的值是________．图 K－48－18三、解答题19．如图 K－48－19 所示，直线 a， b被直线 c所截，∠1＝40°，∠2＝105°，求∠1 的同位角、∠4 的内错角、∠3 的同旁内角的度数．图 K－48－1951． B 2. B 3. B4． C ．5． D ．6． D 7. D8． B 9． C10． D11．∠EAD ∠BAD ∠BCD ∠DBC ∠EAD12．∠3 ∠4 ∠2 ∠613．AB CD EF 同旁内 同位 内错 对顶邻补14．(1)AC BC AB 同旁内 (2)AC BC AB 同位 (3)AB BC AC 同位15．对顶 同旁内 同旁内 内错16．CE BD 同位 BC AC 同旁内 CE AC 内错17．(1)内错 ∠3 与∠4 (2)同位 ∠1 与∠218．14 19．解：由图可知∠1 的同位角是∠4，而∠4＋∠2＝180°，因此∠4＝180°－∠2＝180°－105°＝75°.∠4 的内错角与∠1 的对顶角是同一个角，根据对顶角相等，得∠4 的内错角等于∠1，是 40°.∠3 的同旁内角是∠4，因此∠3 的同旁内角是 75°.15.2 1. 平行线一、选择题1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是( )A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直2．下列表示方法正确的是( )A． a∥ A B． AB∥ cd C． A∥ B D． a∥ b3． P， Q 都是直线 l 外的点，下列说法正确的是( )A．连结 PQ，则 PQ 一定与直线 l 垂直B．连结 PQ，则 PQ 一定与直线 l 平行C．连结 PQ，则 PQ 一定与直线 l 相交D．过点 P 只能画一条直线与直线 l 平行4．如图 K－49－1 所示，将一张长方形纸片对折三次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是( )图 K－49－1A．平行 B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定5．已知直线 m 及一点 P，若过点 P 作一直线与 m 平行，那么这样的直线( )A．有且只有一条 B．有两条C．不存在 D．不存在或只有一条6．小明与小刚就作直线的垂线与平行线讨论时有如下对话：小明：过一点 A，有且只有一条直线与已知直线 m 平行；小刚：过一点 A 有且只有一条直线与已知直线 m 垂直．你认为他们的说法谁是正确的？( )A．小明 B．小刚 C．都正确 D．都不正确7．在同一平面内，下列判断：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有( )A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二、填空题8．在同一平面内，与已知直线 a 平行的直线有_______________________条，而经过直线 a 外一点 P，与已知直线 a 平行的直线有且只有________条．9．同一平面内有三条直线，如果其中只有两条直线平行，那么它们有________个交点．10．如图 K－49－2，在 4×6 的网格中，点 A， B， C， D， E， F 都在格点上，连结 C， D， E， F中任意两点得到的所有线段中，与线段 AB 平行的线段是________．图 K－49－2211．同一平面内的三条直线最多可将平面划分成________个部分，最少可将平面划分成________个部分．12．如图 K－49－3 所示是一个长方体，用平行或垂直符号表示下列两棱的位置关系：AB________A1B1， AD______BC， AA1______A1B1， CC1________C1D1.图 K－49－313．如图 K－49－4，图中不相交的线都是平行的，则此图中共有________组平行线段．图 K－49－4三、解答题14．在如图 K－49－5 所示的图形中，过点 M 作 PQ∥ AB.图 K－49－515．如图 K－49－6，直线 l1∥ l2， l3与 l1， l2都相交，分别按下列要求画直线 l4，并回答相应的问题(在横线上填上答案即可)．图 K－49－6(1)在图①中画直线 l4，使 l4∥ l1，且图中增加 1 个交点，则图中的同位角有________对；(2)在图②中画直线 l4，使 l4∥ l3，且图中增加 2 个交点，则图中的内错角有________对；(3)在图③中画直线 l4，使 l4与 l1， l3都不平行，且图中增加 3 个交点，则图中的同旁内角有________对．316．按要求画图．(1)点 A， B 在直线 a 上，点 C 在直线 a 外，画直线 AC，再过点 B 画直线 BD，使 BD∥ AC；(2)画∠ AOB 的平分线 OC，在 OC 上取一点 P，过点 P 画 PE∥ OA，交 OB 于点 E，过点 P 画PF∥ OB，交 OA 于点 F；(3)画直线 l1∥ l2，直线 l3⊥ l1于点 M，交 l2于点 N.17．在“武广高铁”的修建中，铁路路基要通过一平地上的点 E，如图 K－49－7， AB， CD 是一河流的两岸，并且 AB∥ CD， E 为直线 AB 外一点，现在要使铁路路基过点 E 且与岸 CD 平行．建筑工人在修建时过点 E，修建路基 EF，使 EF∥ AB，请说明这种作法的理由. 链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K－49－741． C2． D 3． D ．4． C5． D 6． B 7． B 8．无数 一9．2 10.DF11．7 4 12．∥ ∥ ⊥ ⊥ 13． 914．解：如图所示．15．解：(1)l 4如图①.12(2)l4如图②.8(3)l4如图③.1616．略17．解：因为 EF∥AB，AB∥CD，所以 EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．15.2 2. 平行线的判定 一、选择题1．2017·山西 如图 K－50－1，直线 a， b被直线 c所截，下列条件不能判定直线 a与 b平行的是( )图 K－50－1A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠42．如图 K－50－2，下列说法正确的是( )图 K－50－2A．因为∠2＝∠4，所以 AD∥ BCB．因为∠ BAD＋∠ D＝180°，所以 AD∥ BCC．因为∠1＝∠3，所以 AD∥ BCD．因为∠ BAD＋∠ B＝180°，所以 AB∥ CD3．如图 K－50－3，能判定 EB∥ AC的条件是( )图 K－50－3A．∠ C＝∠ ABE B．∠ A＝∠ EBAC．∠ C＋∠ ABC＝180° D．∠ A＋∠ DBA＝180°4．如图 K－50－4，下列能判定 AB∥ CD的条件有( )(1)∠ B＋∠ BCD＝180°；(2)∠1＝∠2；(3)∠3＝∠4；(4)∠ B＝∠5.图 K－50－4A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个5．如图 K－50－5，∠ A＝70°， O是 AB上一点，∠ BOD＝82°，要使 OD∥ AC，直线 OD绕点 O按逆时针方向至少旋转( )图 K－50－5A．8° B．10° C．12° D．18°26．以下四种沿 AB折叠的方法中，不一定能判定两条边 a， b互相平行的是( )图 K－50－6A．如图①，展开后测得∠1＝∠2B．如图②，展开后测得∠1＝∠2 且∠3＝∠4C．如图③，测得∠1＝∠2D．如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°二、填空题7．把含 30°角的三角尺按图 K－50－7 所示放置，要使 AC∥ BD，则∠ DBC＝______°.图 K－50－78．如图 K－50－8，如果∠1＝65°，∠ C＝65°，∠ D＝120°，那么平行的直线是______________(用平行符号表示)．图 K－50－89．如图 K－50－9，小明利用两块相同的三角尺分别沿三角尺的边缘画两平行直线 AB和 CD，这是根据____________，两直线平行．图 K－50－910．如图 K－50－10 所示，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线是否平行．______(填“是”或“否”).图 K－50－1011．如图 K－50－11，要判定 DE∥ BC，图 K－50－11(1)有三条截线可以考虑，它们分别是 AB，________和________；(2)当考虑截线 AB时，只需同位角∠ ADE与________相等，或同旁内角________与∠ B互补，就能判定 DE∥ BC.3三、解答题12．如图 K－50－12，已知∠1＝∠ A，∠2＝∠ B，试说明 MN∥ EF.请完善解答过程，并在括号内填上相应依据．图 K－50－12解：∵∠1＝∠ A(已知)，∴______∥______()．∵∠2＝∠ B(已知)，∴______∥______()，∴ MN∥ EF()．13．如图 K－50－13 是一个“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．图 K－50－1314．如图 K－50－14，直线 AB过点 C，∠2＝80°，∠ D＝50°，∠1＝∠3， AB∥ DE吗？为什么？图 K－50－14415．如图 K－50－15 所示，已知 EF⊥ PQ， GM⊥ PQ，垂足分别为 E， G，∠1＝35°，∠2＝35°，EF与 GM平行吗？ AB与 CD平行吗？为什么？图 K－50－1551． D 2． C3． B 4． C 5． C 6． C7．60 .8．AB∥CD 9.内错角相等10．是11． (1)AC DC(2)∠B ∠BDE12．MN AB 内错角相等，两直线平行EF AB 同位角相等，两直线平行平行于同一条直线的两直线平行13．解：OA∥BC，OB∥AC.理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴OB∥AC.∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2＋∠3＝180°，∴OA∥BC.14．解：AB∥DE.理由如下：∵∠2＝80°，∠1＝∠3(已知)，∠1＋∠2＋∠3＝180°(平角的定义)，∴∠1＝∠3＝50°.又∵∠D＝50°(已知)，∴∠1＝∠D(等量代换)，∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)．15．解：EF∥GM，AB∥CD.理由：∵EF⊥PQ，GM⊥PQ，∴∠FEP＝∠MGE＝90°，∴EF∥GM.又∵∠1＝∠2，∴∠FEP－∠1＝∠MGE－∠2，即∠AEP＝∠CGE，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)． 15.2 3. 平行线的性质一、选择题1．2017·海南 如图 K－51－1，直线 a∥ b， c⊥ a，则 c与 b相交所形成的∠1 的度数为( )图 K－51－1A．45° B．60° C．90° D．120°2．如图 K－51－2，已知∠1＝60°， CD∥ BE，那么∠ B的度数为( )图 K－51－2A．70° B．100° C．110° D．120°3．如图 K－51－3，把一块含有 30°角的三角尺的两个顶点放在一把直尺的对边上．如果∠1＝25°，那么∠2 的度数为( )图 K－51－3A．25° B．35° C．45° D．55°4．如图 K－51－4，已知直线 AB∥ CD， BE平分∠ ABC，交 CD于点 D.若∠ CDE＝150°，则∠ C的度数为( )图 K－51－4A．150° B．130° C．120° D．100°5．如图 K－51－5， AB∥ CD， BC平分∠ ABD，已知∠ C＝50°，则∠ D的度数为( )图 K－51－5A．85° B．80° C．65° D．60°26．如图 K－51－6，把长方形纸片 ABCD沿 EF对折后使两部分重合．若∠1＝50°，则∠ AEF的度数为( )图 K－51－6A．110° B．115° C．120° D．130°7．如图 K－51－7， AB∥ EF， CD⊥ EF于点 D.若∠ ABC＝40°，则∠ BCD等于( )图 K－51－7A．140° B．130° C．120° D．110° 二、填空题8．如图 K－51－8，直线 CD∥ EF，直线 AB与 CD， EF分别相交于点 M， N.若∠1＝30°，则∠2＝________°.图 K－51－89．如图 K－51－9， AC∥ BD， AE平分∠ BAC交 BD于点 E.若∠1＝64°，则∠2＝________°.图 K－51－910. 如图 K－51－10 所示，直线 a∥ b，直线 c与直线 a， b分别相交于点 A， B， AM⊥ b，垂足为 M.若∠1＝58°，则∠2＝ ________°.图 K－51－1011．把一张宽度相等的纸条按如图 K－51－11 所示的方式折叠，则∠1＝________°.图 K－51－11312．如图 K－51－12，在△ ABC中，∠ C＝90°.若 BD∥ AE，∠ DBC＝22°，则∠ CAE的度数是________．图 K－51－12三、解答题13．如图 K－51－13，已知∠1＝∠2，∠ A＝∠ F，试说明：∠ C＝∠ D.请补充说明过程，并在括号内填上相应理由．图 K－51－13解：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(____________)，∴∠2＝∠3(__________)，∴ BD∥________(____________________________)，∴∠ FEM＝∠ D(________________________)．∵∠ A＝∠ F(已知)，∴ AC∥________(______________________)，∴∠ C＝∠ FEM(___________________________________)．又∵∠ FEM＝∠ D(已证)，∴∠ C＝∠ D(等量代换)．14．如图 K－51－14，直线 AB， CD分别与直线 AC相交于点 A， C，与直线 BD相交于点 B， D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4 的度数．图 K－51－1415．如图 K－51－15，已知 AB∥ CE，∠ A＝∠ E.试说明：∠ CGD＝∠ FHB.图 K－51－15416．如图 K－51－16 所示，在△ ABC中，∠1∶∠2∶∠3＝2∶3∶4， DE∥ AB.若∠ C＝40°，求∠ A和∠ B的度数．图 K－51－1617．在三角形中，每两边所组成的角叫三角形的内角，如图 K－51－17，在三角形 ABC中，∠ A，∠ B和∠ C是它的三个内角．在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法说明“三角形的内角和等于 180°”．已知三角形 ABC，试说明∠ A＋∠ B＋∠ C＝180°.图 K－51－1751． C 2． D3． B .4． C .5． B .6． B7． B .8．30 9．122 .10．3211．65 12．68°13．对顶角相等 等量代换 CE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 DF 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等14．解：因为∠1＝∠2，所以 AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，所以∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)，所以∠4＝75°.15．解：∵AB∥CE，∴∠E＝∠BFH.∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠BFH，∴AD∥EF，∴∠CGD＝∠EHC.又∵∠FHB＝∠EHC，∴∠CGD＝∠FHB.16．解：因为∠1∶∠2∶∠3＝2∶3∶4，且∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝180°× ＝40°，∠2＝180°× ＝60°，∠3＝180°× ＝80°.29 39 49又因为∠C＝40°，所以∠1＝∠C，所以 EF∥BC(同位角相等，两直线平行)，所以∠2＝∠EDC(两直线平行，内错角相等)，所以∠EDC＝60°.因为 DE∥AB，所以∠A＝∠3＝80°，∠B＝∠EDC＝60°(两直线平行，同位角相等)．17．作 BC的延长线 CD，过点 C作 CE∥AB，如图所示．因为 CE∥AB(已作)，所以∠A＝∠ACE(两直线平行，内错角相等)，∠B＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)．又因为∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°(平角的定义)，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 6