（赣豫陕）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步学案（打包13套）北师大版必修2.zip

1§1 简单几何体学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．知识点一 旋转体与多面体旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体多面体 把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体知识点二 常见的旋转体及概念思考 1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转 180°所得的旋转体是圆锥吗？答案 不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转 180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．思考 2 能否由圆锥得到圆台？答案 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．梳理 名称 图形及表示 定义 相关概念球记作：球 O球面：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的圆心．球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段．球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段圆柱记作：圆柱 OO′以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高：在旋转轴上这条边的长度．底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面．侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面．母线：不垂直于旋转轴的2圆锥记作：圆锥 OO′以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台记作：圆台 OO′以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点三 常见的多面体及相关概念思考 观察下列多面体，试指明其类别．答案 (1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．梳理 (1)棱柱①定义要点：(ⅰ)两个面互相平行；(ⅱ)其余各面都是四边形；(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．②相关概念：底面：两个互相平行的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：相邻两个侧面的公共边．顶点：底面多边形与侧面的公共顶点．③记法：如三棱柱 ABC－ A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、…….3(ⅱ)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．(ⅲ)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．(2)棱锥①定义要点：(ⅰ)有一个面是多边形；(ⅱ)其余各面是三角形；(ⅲ)这些三角形有一个公共顶点．②相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个多边形．侧面：除底面外的其余三角形面．侧棱：相邻两个侧面的公共边．顶点：侧面的公共顶点．③记法：如三棱锥 S－ ABC.④分类及特殊棱锥：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥、……，(ⅱ)正棱锥：底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥．(3)棱台①定义要点：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分．②相关概念：上底面：原棱锥的截面．下底面：原棱锥的底面．侧棱：相邻的侧面的公共边．顶点：侧面与底面的公共顶点．③记法：如三棱台 ABC－ A1B1C1.4④分类及特殊棱台：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱台、四棱台、五棱台、……，(ⅱ)正棱台：由正棱锥截得的棱台．1．棱柱的侧面都是平行四边形．( √ )2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．( × )3．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( × )4．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( × )类型一 旋转体的概念例 1 下列说法正确的是________．(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．考点 简单几何体的结构特征题点 简单旋转体的结构特征答案 ③④解析 ①以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确．反思与感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练 1 下列说法：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；5④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点 简单几何体的结构特征题点 简单旋转体的结构特征答案 C解析 ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选 C.类型二 多面体及其简单应用例 2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．考点 简单几何体的结构特征题点 多面体的结构特征答案 3解析 ①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；根据棱锥的概念知，③正确；根据棱台的概念知，④正确；棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．正确的个数为 3.(2)如图所示，长方体 ABCD－ A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几6棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．考点 简单几何体题点 简单几何体结构判断解 ①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面 ABCD 与 A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．②用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面 BB1M 与 CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱 BB1M－ CC1N；另一部分有两个平行的平面 ABMA1与 DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱 ABMA1－ DCND1.引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？解 如图，几何体 B－ A1B1C1就是三棱锥．反思与感悟 (1)棱柱的识别方法①两个面互相平行．②其余各面都是四边形．③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(2)棱锥的识别方法①有一个面是多边形．②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．④对几类特殊棱锥的认识(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．(3)棱台的识别方法①上、下底面互相平行．②各侧棱延长交于一点．跟踪训练 2 下列说法正确的是( )A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台7B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面考点 简单几何体题点 简单几何体结构应用答案 B解析 A 中所有侧棱不一定交于一点，故 A 不正确；B 正确；C 中棱锥的侧面一定是三角形，故 C 不正确；D 中棱柱的侧面也可能平行，故 D 不正确．1．下列几何体中棱柱有( )A．5 个 B．4 个C．3 个 D．2 个考点 简单几何体题点 简单几何体结构判断答案 D解析 由棱柱的定义知，①③为棱柱．2．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台考点 简单几何体题点 简单几何体结构判断答案 D解析 由旋转体的结构特征知，D 正确．3．下面有关棱台说法中，正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台8B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形考点 棱台的结构特征题点 棱台的结构特征的应用答案 B解析 由棱台的结构特征知，B 正确．4．等腰三角形 ABC 绕底边上的中线 AD 所在的直线旋转一周所得的几何体是( )A．圆台 B．圆锥C．圆柱 D．球考点 简单旋转体的结构特征题点 旋转体的结构特征答案 B解析 中线 AD⊥ BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的母线长为________．3考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 2解析 如图所示，设等边三角形 ABC 为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ ABC 的边长，且 S△ABC＝ AB2，∴ ＝ AB2，∴ AB＝2.34 3 34故圆锥的母线长为 2.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：9①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．一、选择题1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )A．四棱柱 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱锥考点 简单几何体题点 简单几何体结构判断答案 D解析 四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥．2．如图所示，在三棱台 A′ B′ C′－ ABC 中，截去三棱锥 A′－ ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的概念答案 B解析 由题图知，剩余的部分是四棱锥 A′－ BCC′ B′.3．过球面上任意两点 A， B 作大圆，可能的个数是( )A．有且只有一个 B．一个或无穷多个C．无数个 D．以上均不正确考点 简单几何体的结构特征题点 简单转体的结构特征答案 B解析 当过 A， B 的直线经过球心时，经过 A， B 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A， B 作球的大圆有无数个；当直线 AB 不经过球心 O 时，经过 A， B， O 的截面就是一个大圆，10这时只能作出一个大圆．4．下列说法正确的是( )A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心考点 简单几何体的结构特征题点 简单转体的结构特征答案 D解析 圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等，故 A 错；圆柱的母线与轴平行，故 B 错；圆台的母线与轴不平行，故 C 错；球的直径必过球心，故选 D.5．若棱台上、下底面的对应边之比为 1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1考点 棱台的结构特征题点 与棱台有关的运算答案 B解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选 B.6．五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15 C．12 D．10考点 棱柱的结构特征题点 与棱柱有关的运算答案 D解析 如图，在五棱柱 ABCDE－ A1B1C1D1E1中，从顶点 A 出发的对角线有两条： AC1， AD1，同理从 B， C， D， E 点出发的对角线均有两条，共 2×5＝10(条)．7．如图所示，正四棱锥 S－ ABCD 的所有棱长都为 a，过不相邻的两条棱 SA， SC 作截面SAC，则截面的面积为( )11A. a2 B． a2 C. a2 D. a232 12 13考点 棱锥的结构特征题点 与棱锥有关的运算答案 C解析 根据正棱锥的性质知，底面 ABCD 是正方形，故 AC＝ a.在等腰三角形 SAC 中，2SA＝ SC＝ a，又∵ AC＝ a，∴∠ ASC＝90°，即 S△ SAC＝ a2.2128．如图阴影部分所示的平面图形绕轴旋转 180°所形成的几何体为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体考点 题点 答案 B解析 外面圆旋转形成球体，中间矩形旋转形成一个圆柱．故选 B.二、填空题9．下列说法正确的是________．(填序号)①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥．考点 棱锥的结构特征题点 棱锥概念的应用答案 ⑤解析 由正棱锥的定义可知，①②③均不正确；而④不能保证这些全等的等腰三角形的腰长12都作为侧棱长，故不正确；只有⑤符合正棱锥的定义，故正确．10．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．考点 棱台的结构特征题点 棱台概念的应用答案 3解析 如图，分割为 A1－ ABC， B－ A1CC1， C1－ A1B1B，3 个棱锥．11．在半径为 13 的球面上有 A， B， C 三点，其中 AC＝6， BC＝8， AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．考点 球的结构特征题点 与球有关的运算答案 12解析 由线段的长度知△ ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝ ＝5，所以 d＝ ＝12.AB2 R2－ r2三、解答题12．已知一个圆锥的底面半径为 r，高为 h，在此圆锥内有一个内接正方体，正方体的一个面在圆锥的底面上，与这个面相对的面的四个顶点在圆锥的侧面上，求此正方体的棱长．考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算解 作出圆锥的一个纵截面如图所示，其中 AB， AC 为母线， BC 为底面圆直径， DG， EF 是正方体的棱， DE， GF 是正方体的上、下底面的对角线，设正方体的棱长为 x，则 DG＝ EF＝ x， DE＝ GF＝ x，依题意，得2△ ABC∽△ ADE，13∴ ＝ ，∴ x＝ .hh－ x 2r2x 2rhh＋ 2r13．试从正方体 ABCD－ A1B1C1D1的八个顶点中任取若干连接后构成以下简单几何体，并用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的结构特征的应用解 (1)如图所示，三棱锥 A1－ AB1D1(答案不唯一)．(2)如图所示，三棱锥 B1－ ACD1(答案不唯一)．(3)如图所示，三棱柱 A1B1D1－ ABD(答案不唯一)．四、探究与拓展14．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．(填序号)考点 简单几何体14题点 简单几何体结构应用答案 (1)(2)解析 (1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的任意两条母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．15．如图所示，正三棱锥 S－ ABC 的侧棱长为 1，∠ ASB＝40°，点 M 和点 N 分别是棱 SB 和SC 上的点，求△ AMN 的周长的最小值．考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算解 沿侧棱 SA 将正三棱锥 S－ ABC 的侧面展开，得到三棱锥 S－ ABC 的侧面展开图，如图所示．连接 AA′，当 M， N 分别为 AA′与 SB， SC 的交点时，△ AMN 的周长最小，即 AA′的长度．∵ SA＝ SA′，∠ ASB＝∠ BSC＝∠ CSA′＝40°，∴∠ ASA′＝120°.∴∠ SAA′＝∠ SA′ A＝30°.作 SF⊥ AA′于点 F，∵ SA＝1，∴ AF＝ A′ F＝ SA＝ ，32 32∴ AA′＝ ，3即△ AMN 的周长的最小值为 .31§2 直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点 斜二测画法思考 1 边长 2 cm 的正方形 ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中， A′ B′与 C′ D′有何关系？ A′ D′与 B′ C′呢？在原图与直观图中， AB 与 A′ B′相等吗？ AD 与 A′ D′呢？答案 A′ B′∥ C′ D′， A′ D′∥ B′ C′， A′ B′＝ AB，A′ D′＝ AD.12思考 2 正方体 ABCD－ A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案 没有都画成正方形．梳理 (1)水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则：2①在已知图形中建立平面直角坐标系 xOy，画直观图时，它们分别对应 x′轴和 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠ x′ O′ y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段．③已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的 .12(2)立体图形直观图的画法1．用斜二测画法画水平放置的∠ A 时，若∠ A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠ A＝90°，则在直观图中，∠ A＝45°.( × )2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( × )3．在斜二测画法中平行于 y 轴的线段在直观图中长度保持不变．( × )类型一 水平放置的平面图形的直观图例 1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：3(1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的 x′轴和 y′轴，使∠ x′ O′ y′＝45°，如图(1)(2)所示；(2)在 x′轴上截取 O′ B′＝ OB，在 y′轴上截取 O′ D′＝ OD，过点 D′作 x′轴的平行线12l，在 l 上沿 x′轴正方向取点 C′使得 D′ C′＝ DC.连接 B′ C′，如图(2)；(3)去掉辅助线，所得四边形 O′ B′ C′ D′就是直角梯形 OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图．解 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点 O 为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的 x′轴和 y′轴，使∠ x′ O′ y′＝45°；(2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′ B′＝ AB，在 y′轴上取 O′ E′＝ OE，以 E′为中点画出12C′ D′∥ x′轴，并使 C′ D′＝ CD；(3)连接 B′ C′， D′ A′，所得的四边形 A′ B′ C′ D′就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图．反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练 1 已知正五边形 ABCDE，如图，试画出其直观图．4考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：(1)在图(1)中作 AG⊥ x 轴于点 G，作 DH⊥ x 轴于点 H.(2)在图(2)中画相应的 x′轴与 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠ x′ O′ y′＝45°.(3)在图(2)中的 x′轴上取 O′ B′＝ OB， O′ G′＝ OG， O′ C′＝ OC， O′ H′＝ OH， y′轴上取 O′ E′＝ OE，分别过 G′和 H′作 y′轴的平行线，并在相应的平行线上取12G′ A′＝ GA， H′ D′＝ HD.12 12(4)连接 A′ B′， A′ E′， E′ D′， D′ C′，并擦去辅助线 G′ A′， H′ D′， x′轴与 y′轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A′ B′ C′ D′ E′(如图(3))．类型二 直观图的还原与计算例 2 如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图．若A1D1∥ O′ y′， A1B1∥ C1D1， A1B1＝ C1D1＝2， A1D1＝ O′ D1＝1.试画出原四边形的形状，并求23出原图形的面积．考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形解 如图，建立平面直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD＝ O′ D1＝1， OC＝ O′ C1＝2.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA＝2 D1A1＝2.在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB＝ A1B1＝2.连接 BC，即得到了原图形．5由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB＝2， CD＝3，直角腰的长度 AD＝2，所以面积为 S＝ ×2＝5.2＋ 32反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与 x′轴， y′轴平行的直线或线段，且平行于 x′轴的线段还原时长度不变，平行于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)若一个平面多边形的面积为 S，其直观图的面积为 S′，则有 S′＝ S 或 S＝2 S′.利24 2用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．跟踪训练 2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′ B′ O′，若 O′ B′＝1，那么原三角形 ABO 的面积是( )A. B. C. D．212 22 2 2考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为 1，因此面积为 ，又直观图与原平面图形面积12比为 ∶4，所以原图形的面积为 ，故选 C.2 2(2)如图所示，矩形 O′ A′ B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′ A′＝6 cm， C′ D′＝2 cm，则原图形是________．(填四边形的形状)考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 菱形解析 如图所示，在原图形 OABC 中，应有 OA＝ O′ A′＝6(cm)， OD＝2 O′ D′＝2×2 ＝426(cm)， CD＝ C′ D′＝2(cm)，2∴ OC＝ ＝ ＝6(cm)，∴ OA＝ OC，又 OA∥ BC， OA＝ BC，OD2＋ CD2 422＋ 22故四边形 OABC 是菱形．类型三 简单几何体的直观图例 3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．考点 简单几何体的直观图题点 简单几何体的直观图解 画法：(1)画 轴 ． 画 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 ， 三 轴 相 交 于 点 O， 使 ∠ xOy＝ 45°(或 135°)， ∠ xOz＝ 90°， 如图 ① .(2)画底面，以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形直观图 ABCD.(3)画顶点．在 Oz 轴上截取 OP 使 OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接 PA， PB， PC， PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.反思与感悟 简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为 z 轴建系．(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．(3)确定顶点：利用与 z 轴平行或在 z 轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图．跟踪训练 3 用斜二测画法画棱长为 2 cm 的正方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′的直观图．考点 简单几何体的直观图题点 简单几何体的直观图解 画法：(1)画轴．如图①，画 x 轴， y 轴， z 轴，三轴相交于点 O，使∠ xOy＝45°，∠ xOz＝90°.(2)画底面．以点 O 为中心，在 x 轴上取线段 MN，使 MN＝2 cm；在 y 轴上取线段 PQ，使7PQ＝1 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A， B， C， D，四边形 ABCD 就是正方体的底面 ABCD.(3)画侧棱．过 A， B， C， D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上沿 Oz 轴方向分别截取 2 cm 长的线段 AA′， BB′， CC′， DD′.(4)成图．顺次连接 A′， B′， C′， D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．1．利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，图中正确的是( )考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 2∶1.2．下列关于直观图的说法不正确的是( )A．原图形中平行于 y 轴的线段，对应线段平行于直观图中 y′轴，长度不变B．原图形中平行于 x 轴的线段，对应线段平行于直观图中 x′轴，长度不变C．在画与直角坐标系 xOy 对应的 x′ O′ y′时，∠ x′ O′ y′可以画成 45°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 A解析 平行于 y 轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选 A.3．有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算8答案 5 2解析 该矩形直观图的面积为 ×5×4＝5 (cm2)．24 24．如图，水平放置的△ ABC 的斜二测直观图是图中的△ A′ B′ C′，已知A′ C′＝6， B′ C′＝4，则 AB 边的实际长度是________．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 10解析 在原图中， AC＝6， BC＝4×2＝8，∠ AOB＝90°，∴ AB＝ ＝10.62＋ 825．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为 1 cm,2 cm，高为 2 cm)考点 简单几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图解 画法：(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ ABC，其中 O 为△ ABC 的重心， BC＝2 cm，线段 AO 与 x 轴的夹角为 45°， AO＝2 OD.(2)过 O 作 z 轴，使∠ xOz＝90°，在 Oz 轴上截取 OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△ A′ B′ C′，其中 B′ C′＝1 cm，连接 AA′， BB′， CC′，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．92．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜” 、 “二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的 Ox、 Oy 轴，在直观图中画成 O′ x′、 O′ y′轴，使∠ x′ O′ y′＝45°.(2)二测：在直观图中平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 B解析 由直观图的性质知，B 正确．2．若把一个高为 10 cm 的圆柱的底面画在 x′ O′ y′平面上，则圆柱的高应画成( )A．平行于 z′轴且长度为 10 cmB．平行于 z′轴且长度为 5 cmC．与 z′轴成 45°且长度为 10 cmD．与 z′轴成 45°且长度为 5 cm考点 简单几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图答案 A解析 由直观图的性质知，与 z 轴平行的线段长度不变，高与原长相等．3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )10考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 C解析 在 x 轴上或与 x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在 y 轴上或平行于 y 轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的 ，并注意到∠ xOy＝90°，∠ x′ O′ y′＝45°，因此由12直观图还原成原图形为选项 C.4．下面每个选项的 2 个边长为 1 的正△ ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正方形的面积为( )A．16 B．64C．16 或 64 D．无法确定考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 等于 4 的一边在原图形中可能等于 4，也可能等于 8，所以正方形的面积为 16 或 64.6．水平放置的△ ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形 A′ B′ C′，则△ABC 是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 C11解析 如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ ABC 是钝角三角形．7.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示， AB 平行于 y′轴， BC， AD 平行于 x′轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为( )2A．4 cm 2 B．4 cm22C．8 cm 2 D．8 cm22考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 依题意可知∠ BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与 BC， AD相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.28．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm考点 简单几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图答案 D解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为 2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为 5 cm.故选 D.二、填空题9．水平放置的△ ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 B′ C′＝4， A′ C′＝3， B′ C′∥ y′轴，则△ ABC 中 AB 边上的中线的长度为________．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算12答案 732解析 由斜二测画法规则知 AC⊥ BC，即△ ABC 为直角三角形，其中 AC＝3， BC＝8，所以AB＝ ， AB 边上的中线长度为 .7373210．在如图所示的直观图中，四边形 O′ A′ B′ C′为菱形且边长为 2 cm，则在坐标系 xOy中原四边形 OABC 为______(填形状)，面积为________ cm 2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 矩形 8解析 由题意结合斜二测画法，可得四边形 OABC 为矩形，其中 OA＝2 cm， OC＝4 cm，∴四边形 OABC 的面积为 S＝2×4＝8(cm 2)．11．如图所示，四边形 OABC 是上底为 2，下底为 6，底角为 45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图 O′ A′ B′ C′，则在直观图中，梯形的高为________．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 22解析 作 CD， BE⊥ OA 于点 D， E，则 OD＝ EA＝ ＝2，OA－ BC2又∠ COD＝45°，∴ OD＝ CD＝2，∴在直观图中梯形的高为 2× ×sin 45°＝ .12 22三、解答题1312．如图所示，画出水平放置的四边形 OBCD 的直观图．考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：(1)过点 C 作 CE⊥ x 轴，垂足为 E，如图(1)所示．画出对应的 x′轴， y′轴，使∠ x′ O′ y′＝45°，如图(2)所示；(2)如图(2)所示，在 x′轴正半轴上取点 B′， E′，使得 O′ B′＝ OB， O′ E′＝ OE.在 y′正半轴上取一点 D′，使得 O′ D′＝ OD.过 E′作 E′ C′∥ y′轴，使 E′ C′＝ EC；12 12(3)连接 B′ C′， C′ D′，并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′ B′ C′ D′就是所得直观图．13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为 3 cm，高为 3 cm，圆锥的高为 3 cm，画出此机器部件的直观图．考点 简单几何体的直观图题点 简单几何体的直观图解 画法：(1)如图①.画 x 轴， y 轴， z 轴，三轴相交于点 O，使∠ xOy＝45°，∠ xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面．在 xOy 平面上画出底面圆 O，使直径为 3 cm，在 z 轴上截取 OO′，使OO′＝3 cm，过 O′作 Ox 的平行线 O′ x′， Oy 的平行线 O′ y′，利用 O′ x′与 O′ y′画出底面圆 O′，使其直径为 3 cm.(3)画圆锥的顶点．在 z 轴上取一点 P，使 PO′等于圆锥的高 3 cm.(4)成图．连接 A′ A， B′ B， PA′， PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.14四、探究与拓展14.如图所示，一个水平放置的正方形 ABCO，在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出正方形的直观图中，顶点 B′到 x′轴的距离为______．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 22解析 画出直观图，则 B′到 x′轴的距离为 · OA＝ OA＝ .22 12 24 2215．在水平放置的平面 α 内有一个边长为 1 的正方形 A′ B′ C′ D′，如图，其中的对角线A′ C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 四边形 ABCD 的真实图形如图所示，∵ A′ C′在水平位置， A′ B′ C′ D′为正方形，∴∠ D′ A′ C′＝∠ A′ C′ B′＝45°，∴在原四边形 ABCD 中，DA⊥ AC， AC⊥ BC，15∵ DA＝2 D′ A′＝2，AC＝ A′ C′＝ ，2∴ S 四边形 ABCD＝ AC·AD＝2 .21§3 三视图学习目标 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图.2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．知识点一 组合体1．定义：由基本几何体形成的几何体叫作组合体．2．基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．知识点二 简单组合体的三视图思考 对于一般的物体，三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?答案 主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映物体的高度和宽度．梳理 (1)三视图的概念三视图包括主视图(又称正视图)、俯视图，左视图(侧视图通常选择左侧视图，简称左视图)．(2)三视图的画法规则①主、俯视图反映物体的长度 ——“长对正” ．②主、左视图反映物体的高度 ——“高平齐” ．③俯、左视图反映物体的宽度 ——“宽相等” ．2(3)绘制三视图时的注意事项①在绘制三视图时，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．②同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．③三视图的摆放规则：左视图放在主视图的右面，俯视图放在主视图的正下方．1．圆柱的主视图与左视图一定相同．( × )2．球的主视图、左视图、俯视图都相同．( √ )类型一 简单组合体的三视图例 1 (1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 B解析 依题意，左视图中棱的方向是从右下角到左上角，故选 B.(2)画出如图所示的几何体的三视图．考点 简单组合体的三视图题点 组合体的三视图解 题图①是一个圆柱和一个长方体的组合体，按照圆柱、长方体的三视图画法画出它们的组合体的三视图，如图(1)；题图②为球与圆台的组合体，其三视图如图(2)．3反思与感悟 (1)观察立体图形时，要选择在某个方向上“平视” ，用目光将立体图形“压缩”成平面图形，这样就得到了三视图．注意三视图的排列规则和虚、实线的确定．一般地，几何体的轮廓线中能看到的画成实线，不能看到的画成虚线．(2)画简单组合体的三视图，要注意从三个方向观察几何体的轮廓线，还要搞清楚各简单几何体之间的组接位置，其组接的交线往往又是简单组合体的轮廓线，被挡住的要画成虚线．跟踪训练 1 如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)．试画出它的三视图．考点 简单组合体的三视图题点 组合体的三视图解 这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的，三视图如图所示．类型二 由三视图还原成实物图例 2 (1)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球的三视图答案 D解析 A，B 选项中的主视图不符合要求，C 选项中的俯视图显然不符合要求，故选 D.(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球的三视图解 此几何体上面可以为圆台，下面可以为圆柱，所以实物草图如图．反思与感悟 (1)通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体．若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体．(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．跟踪训练 2 (1)已知如图所示的三视图，则该几何体是什么？它的高与底面面积分别是多少？(尺寸的长度单位为 m)考点 多面体的三视图5题点 棱锥的三视图解 由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)， AC＝4 m， BD＝3 m，高为 2 m， S△ABC＝ AC·BD＝ ×4×3＝6(m 2)．12 12(2)如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．考点 由三视图还原实物图题点 由立(长)方体组合的三视图还原实物图答案 4解析 由三视图知，几何体由 4 块木块组成．如图．1．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则下列甲、乙、丙对应的标号正确的是( )6①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③② B．②①③C．①②③ D．③②④考点 题点 答案 A解析 甲中俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又其主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；乙中俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又其主视图和左视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，因此，乙是三棱锥；丙中俯视图是圆(含圆心)，则该几何体是旋转体，又其主视图和左视图均是三角形，故丙是圆锥．2．一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 C解析 从该几何体可以看出，主视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图是一个矩形内有一斜向下的对角线，没有斜向上的对角线，故排除 B，D 项；左视图是一个矩形内有一7斜向下的对角线，且都是实线，因为没有看不到的轮廓线，所以排除 A 项．3．某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )考点 简单组合体的三视图题点 组合体的三视图答案 D解析 由于该几何体的主视图和左视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是 D.4．如图所示，正三棱柱 ABC－ A1B1C1(底面为等边三角形)的主视图是边长为 4 的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为( )A．8 B．43 3C．2 D．163考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图答案 A解析 由主视图可知，三棱柱的高为 4，底面边长为 4，所以底面正三角形的高为 2 ，所3以左视图的面积为 4×2 ＝8 .故选 A.3 35．有一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．8考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图答案 2,4解析 由正三棱柱三视图中的数据知，三棱柱的高为 2，底面边长为 2 × ＝4.3231．三视图是指主视图、左视图和俯视图，画图时应遵循“长对正、高平齐、宽相等”或“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”的原则，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，重叠的线只画一条，不可见轮廓线要用虚线画出．2．简单几何体的三视图可以使我们很好地把握简单几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力.一、选择题1．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④考点 多面体与旋转体三视图的应用题点 三视图的判别答案 D解析 在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．92．如图所示，五棱柱的左视图应为( )考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图答案 B解析 从五棱柱的左面看，是 2 个矩形，上面的小一点，故选 B.3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．四棱台 D．三棱台考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图答案 B解析 由三视图可知该几何体为四棱锥，如图所示．4．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )10考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 B解析 还原正方体后，将 D1， D， A 三点分别向正方体右侧面作垂线． D1A 的射影为 C1B，且为实线， B1C 被遮挡应为虚线．5．在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为( )考点 简单组合体的三视图题点 组合体的三视图答案 D解析 根据几何体的主视图，俯视图可知，该几何体的直观图如图 1 所示，据此画出该几何体的左视图如图 2 所示．116．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出该几何体的左视图是( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 B解析 由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面 PAD，且 EC 投影在面 PAD上，故 B 正确．7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 C解析 由三视图中的主视图、左视图得到几何体如图所示，所以该几何体的俯视图为 C.8．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是( )12考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 A解析 对于 A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故 A 符合题意；对于 B，该几何体的主视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；对于 C，该几何体的主视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于 D，该几何体的左视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意．故选 A.二、填空题9．下图为由几个形状相同的小长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的小长方体木块共有______个．考点 由三视图还原实物图题点 由立(长)方体组合的三视图还原实物图答案 410．如图是一个棱柱的三视图，根据三视图的作图原则，则 x＝________， y＝________.13考点 题点 答案 7 3解析 棱柱的底面是一个直角三角形，根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则可知，两直角边分别为 x＋ y－2(或 8)和 x－ y＋5(或 3y)，则Error! 即Error!解得 x＝7， y＝3.11．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是________．考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 2 3解析 由四面体的三视图知，其直观图为如图所示的正方体中的四面体 A－ BCD，由三视图知，正方体的棱长为 2.所以 S△ ABD＝ ×2×2 ＝2 ，12 2 2S△ ADC＝ ×2 ×2 × ＝2 ，12 2 2 32 3S△ ABC＝ ×2×2 ＝2 ，12 2 2S△ BCD＝ ×2×2＝2.12所以所求的最大面积为 2 .3三、解答题12．根据如图所示的三视图画出相应空间图形的直观图(尺寸自定)．14考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图解 直观图如图．13．某座楼由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图．(1)该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？(2)最高一层的房间在什么位置？该楼最多有几个房间？考点 由三视图还原实物图题点 由立(长)方体组合的三视图还原实物图解 (1)该楼共有 3 层，可以从主视图和左视图中看出；从前往后最多要走过 3 个房间，可以从俯视图中看出．(2)最高一层的房间在左后方，可以从主视图和左视图中看出．楼的大致形状如图所示，最多有 10 个房间．四、探究与拓展14．已知某组合体的主视图与左视图相同(其中 AB＝ AC，四边形 BCDE 为矩形)，则该组合体的俯视图可以是图中的________．(把你认为所有正确图像的序号都填上)15考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图答案 ①②③④解析 由主视图和左视图可知，几何体为锥体和柱体的组合体．(1)若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为③；(2)若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为④；(3)若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为①；(4)若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为图②.15．如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其左视图，并求出该平面图形(左视图)的面积．考点 题点 解 (1)由该几何体的主视图和俯视图可知，该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的左视图如图．16其中 AB＝ AC， AD⊥ BC，且 BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即 BC＝ a， AD 是正六3棱锥的高，则 AD＝ a，所以该平面图形(左视图)的面积为 S＝ × a× a＝ a2.312 3 3 32