1、基于扩展卡尔曼滤波的子结构损伤识别方法 张效忠 孙延华 贵州工程应用技术学院 摘 要： 为提高环境激励下隐蔽结构损伤在线监测识别的精度和效率, 本文应用子结构法对隐蔽子结构的损伤识别方法进行探索性研究, 建立了基于扩展卡尔曼滤波的子结构损伤识别方法。该方法在测得暴露结构振动信号的基础上, 利用扩展卡尔曼滤波追踪识别子结构的时变参数, 根据子结构参数的变化来判定结构发生损伤的位置和程度, 从而实现对结构的在线监测识别。首先利用扩展卡尔曼滤波稳定性和子结构法的灵活性, 建立子结构损伤进行识别基本理论和程序;接着为了能较快识别结构参数的变化, 应用预测残差法建立稳定的复合遗忘因子并应用到扩展卡尔曼滤
2、波中, 提高了扩展卡尔曼滤波进行参数识别的稳定性和快捷性;最后通过对一个桁架结构损伤在线识别的实例, 对该方法的识别效果和识别误差进行了分析。该方法为隐蔽工程结构实现在线健康监测提供理论基础。关键词： 隐蔽结构; 损伤识别; 子结构; 扩展卡尔曼滤波; 作者简介：张效忠 (1978-) , 男, 山东菏泽人, 博士, 副教授, 主要从事结构损伤识别和评估方面的研究。E-mail:。收稿日期：2016-11-04基金：国家自然科学基金 (项目编号:41402271) Substructure Damage Identification Method Based on Extended Calma
3、n FilterZhang Xiaozhong Sun Yanhua School of Civil and Architectural Engineering, Guizhou University of Engineering Science; Abstract： To improve the accuracy and efficiency of the online monitoring and identification for hidden structural damage under the ambient excitation, in this paper the appli
4、cation of substructure method for hidden sub structure damage identification method for exploratory research established based on extended Kalman filtering of structural damage identification method. The method in the measured vibration signal based on exposed, by using the extended Kalman filter to
5、 track the time-varying parameters identification of sub structures, according to changes in the structural parameters to determine structure of the location and extent of damage, so as to realize on the structure of the online monitoring and identification. Firstly extended Kalman filtering stabili
6、ty and the sub structure flexibility, a structural damage detection theory and procedures; then in order to be able to quickly identify the structure parameters of the changes and applied to the prediction of the residual method to establish stable composite forgetting factor and is applied to the e
7、xtended card of Kalman filtering, to improve the extended Kalman filter is applied to the parameter identification of stability and fast; finally, through the example of a truss structure of online damage identification, the recognition rate and the recognition error is analyzed. The method provides
8、 a theoretical basis for the realization of the online health monitoring of the concealed engineering structure.Keyword： hidden structure; damage identification; substructure; extended Calman filter; Received： 2016-11-04对于大型结构的健康检测, 通过有限数量的传感器获得充分的监测数据不太现实, 并且对大型结构的每个节点进行完全监测也是比较困难。此外, 在整个系统中识别大量的未知
9、参数也是不方便的, 因为整个系统的数据庞大, 计算很难收敛, 导致很难达到计算精度要求。因此, 提出了对整个结构采用分而治之的策略, 子结构的识别方法就是应对这个难题而提出的, 主要用来识别子结构的局部损伤。子结构法的目的就是把很难处理的问题转化成很多可控的小的问题, 从而提高识别的精度和有效性。激励的影响可以表现在子结构间的界面反应上, 因此在应用子结构进行损伤识别时不用考虑对结构施加的激励, 只需要对子结构的界面参数进行量测。为了减小界面参数的测量, 国内外很多学者发展了很多方法来减小界面参数的数量, 从而减小计算量。比如, Koh 和 Shankar1提出了一种不用子结构间界面参数的子结
10、构损伤识别方法, 他们把模态近似截断法成功应用到子结构的损伤识别中, 该方法只需要计算子结构的最低特征值就能对子结构进行识别。Tee等2提出在没有输入信号的情况下, 利用模型缩聚方法来识别子结构的刚度和对损伤进行评估。在文献3-4中提出应用动态刚度的方法来减少计算矩阵的维数, 来提高识别效率。目前, 子结构识别方法逐渐应用到子结构局部损伤诊断, 国内外学者做了大量的工作, 并取得了一定的成果5-6。随着计算理论的发展, 可靠度理论也被应用在子结构损伤识别上, 可靠度理论可以识别任何子结构上任意位置损伤以及损伤的程度7-8。比较具有代表的学者是 Yun 等9, 他们提出一个随机输入的自回归移动平
11、均模型 (ARMAX 模型) , 该模型可以应对带有噪音污染的子结构损伤识别数据的处理。子结构的损伤识别方法已经初步应用到各种形式结构的损伤识别, 比如不同激励下集中质量抗剪结构系统10、包含结构与土相互影响的耦合结构、桥梁结构、框架结构和桁架结构等11。研究表明12, 对于大型土木结构的损伤识别, 子结构识别方法具有独特的优势。在卡尔曼滤波算法应用到结构的健康检测过程中, 为了能有效的应对结构发生时变的系统参数, 很多学者提出各种不同的追踪技术。常用的做法是在经典的广义卡尔曼滤波算法中加入固定的遗忘因子13-15。但是, 这种方法最大的缺点是很难找到一个适中的遗忘因子。因为如果遗忘因子选择较
12、大, 其受环境噪声的影响较小, 但其跟踪系统参数变化的能力较差。如果选择的遗忘因子较小, 虽然对系统的参数的变化跟踪效果较好, 但是其对环境噪声比较敏感, 对其的识别效果有较大影响。于是部分学者提出在广义的卡尔曼滤波中加入时变遗忘因子来消除其不利的影响, 这种时变的遗忘因子虽然使得广义的卡尔曼滤波方法对系统参数额跟踪效果有了较高的改善, 但是这种方法仅仅能够系统参数变化的时间, 而不能具体的识别出结构的变化参数16-18。所以在应用加入时变遗忘因子的卡尔曼滤波计算方法时, 当结构中有一个参数发生变化, 整个结构的系统参数都将发生剧烈震荡, 就导致对结构的识别不能达到需要的精度。于是就有学者提出
13、扩展卡尔曼滤波算法15, 该算法主要是对计算过的数据加入渐消因子的方法为卡尔曼滤波增加有限的记忆, 从而保持滤波器的稳定。综上所述, 如果结构的系统参数为常数, 利用扩展卡尔曼滤波和传统的广义卡尔曼滤波算法都可以精确地对结构的损伤进行估算。但是, 如果在估算的过程中系统的参数发生变化, 广义的卡尔曼滤波和扩展的卡尔曼滤波就不能准确的追踪系统参数的改变。因此, 当结构的损伤导致结构系统参数的改变时, 传统的卡尔曼滤波算法就无法追踪结构参数的变化, 导致不能对结构进行损伤诊断。为了能够识别具有时变参数结构损伤, 本文提出把扩展卡尔曼滤波和子结构相结合的结构损伤识别方法。该方法利用子结构界面参数识别
14、局部损伤的高效性和扩展卡尔曼滤波对系统参数追踪的稳定性, 对隐蔽子结构和非隐蔽子结构损伤进行同时识别, 并用数值模拟的方法对对该方法进行验证。1 扩展的卡尔曼滤波算法动态方程结构在外部激励下振动, 可以看作一个动态系统, 不同时刻系统的状态和量测之间是相互联系的, 在做状态估计时应充分利用这些联系或者规律。对于一般的连续时间系统, 结构状态随时间变化的规律通常可用具有随机初始状态的向量微分方程来描述, 称为动态方程。卡尔曼滤波是一种数据处理的最优递推算法, 其应用广泛且功能强大, 即使不知道模型的确切性质, 它可以估计信号的过去和当前状态, 甚至能估计将来的状态。卡尔曼滤波是一种软件滤波方法,
15、 其基本思想是:以最小均方误差为最佳估计准则, 采用信号与噪声的状态空间模型, 利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计, 求出当前时刻的估计值。该算法根据建立的系统方程和观测方程对需求处理的信号做出满足最小均方误差的估计。结构的离散的线性振动系统的矢量微分控制方程为:结构量测的离散方程为:式中:x k为时间点 tk时的状态矢量, (k, k-1) 为从 tk-1到 tk时间段内结构非奇异状态的变换矩阵, u k是可选的控制输入, B k是和输入 u 向量和状态向量x 相关的矩阵, y k为时间点 tk时的观测向量, H k是测量矩阵, w k代表系统的噪声, v k代表测
16、量的噪声。这里假设 wk和 vk为连续的相互独立的零均值白高斯噪声, 其取值应满足以下条件:式中 kl代表克罗内克符号。一般来讲, 卡尔曼滤波包含两个步骤:预估和校正。预估过程主要利用时间更新方程建立对当前状态的先验估计, 及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值, 以便为下一个时间状态构造先验估计值;校正过程负责反馈, 利用测量更新方程在预估过程的先验估计值及当前测量变量的基础上建立起对当前状态的改进的后验估计。这样的一个过程, 我们称之为预估-校正过程, 对于这种估计算法称之为预估-校正算法。卡尔曼滤波的时间更新方程和状态更新方程分别为:时间更新方程 (预估方程) :状态更新方程 (校
17、正方程) :式中: 代表给定观测向量 yk的状态估计;P k|k-1先验估计误差协方差矩阵;P k|k为后验估计误差协方差矩阵;K k称为卡尔曼增益或者混合因数, 作用是使后验估计误差协方差最小。经过每一对估计和校正后, 重复应用预测的后验估计去预测新的先验估计。实际上, 很多问题都是非线性的, 公式 (1) 和公式 (2) 将不能直接应用的非线性模型中。在应用卡尔曼滤波器前, 必须对系统进行线性化。卡尔曼滤波器对当前的均值和协方差进行线性化的方法称为扩展的卡尔曼滤波器 (extended karman filter, EKF) 。连续的非线性系统和离散的非线性观测向量可以采用如下形式进行表达
18、:公式中的 G (t) 为系统的噪音系数矩阵, 其它的符号和公式 (1) 、 (2) 中相同。扩展的卡尔曼滤波器预估方程和状态校正方程可以表示如下:预估方程:公式 (12) 为计算预报值, 公式 (13) 为计算预报值协方差矩阵。校正方程:其中, 公式 (14) 为计算滤波值, 公式 (15) 计算滤波误差方差矩阵。扩展的卡尔曼滤波增益矩阵为:式中:当状态变换矩阵 从一阶取值 来确定, 其值的表达式为:式中 t 数据采集时采样时间间隔。2 结构损伤识别方法公式 (12) (16) 就是所谓的扩展卡尔曼滤波递推方程。该方法是应用于非线性系统最常用的一种递推滤波方法。给定初始的滤波误差方差矩阵 P
19、0|0和初始状态向量 , 并设定模型的噪声方差矩阵 Q 和量测噪声方差矩阵 R, 就可以进行递推及求解。整个计算过程, 可用图 1 所示。根据扩展卡尔曼滤波的算法, 任意给定的非线性动态运动结构, 给定初始假定数据 P0|0和 , 并不断地应用实测向量值 ytk不断的对预测状态向量进行修正, 就可以求得每一步的状态估计值 。根据公式 (15) 就能方便的求出对应状态的刚度, 从而对结构的损伤进行识别。3 实例验证为了测试应用扩展卡尔曼滤波对子结构进行识别的可行性和精度, 采用数值计算的方法来模拟一个 10 个自由度的剪力结构, 该结构部分在水下。假设剪力结构为线性结构, 其阻尼采用比例刚度阻尼
20、。外部激励采用地震波激励。建立有限元模型所需的结构特性都是已知的。应用 Newmark- 法通过有限元模型的运动方程来计算结构的动态响应, 在应用 Newmark- 法时, 其参数的取值为=0.5, =0.25227。在识别的过程中, 扩展卡尔曼滤波被用来追踪结构的损伤并进行定量识别, 同时应用小波尺度谱来定性的识别结构的损伤。在本例中, 所有自由度的质量都是已知的, 杆件的刚度和阻尼作为将要被识别的未知参数。应用 Newmark- 法计算的加速度相应被用来作为观测量测值。为了研究本文所提出的结构识别方法在追踪子结构损伤的有效性, 在计算过程中对结构的部分单元的刚度和阻尼进行了突然减小来模拟结
21、构发生突然损伤。图 1 扩展卡尔曼滤波算法流程图 Fig.1 Flowchart of extended Kalman filter algorithm 下载原图3.1 模型的基本信息该 10 自由度的剪力结构见图 2 所示, 该结构从低到高共 10 个单元, 其中 14单元处于水中, 划分为子结构 2;610 单元位于水面以上, 划分为子结构 1。在数值计算过程中, 认为质点 110 的质量和施加的地震加速度为已知参数, 模型的刚度 k1k10 为未知参数, 阻尼系数 c1c10 也是未知参数。3.2 施加荷载与计算识别应用在本计算实例中的地震加速度采用图 3 中时程曲线所示。其峰值地面加速
22、度为 3.10 g, 时程为 30 s, 数据采集时间间隔为 0.001 s。各水面上可测点自由度在地震波的激励下相应见图 4 所示。在识别的过程中, 质量和加速度相应是已知的, 各个单元的刚度和阻尼为待确定的未知参数。在数值研究过程中没有考虑输出噪音的影响, 应用扩展卡尔曼滤波计算对子结构进行识别的结果见图 5、6 和表 13。在识别的过程中, 质量和加速度相应是已知的, 各个单元的刚度和阻尼为待确定的未知参数。在数值研究过程中没有考虑输出噪音的影响, 应用扩展卡尔曼滤波计算对子结构进行识别的结果见图 5、6 和表 13。其中, 图 5、6 分别为子结构 1 的刚度和阻尼的识别结果。表 13
23、 为子结构的识别误差, 其中表 1 和表 2 为没有噪音情况下子结构 1 和子结构 2 的损伤识别误差, 表 3 为带噪音的情况下子结构 2 的识别误差。图 2 10 自由度结构模型示意图 Fig.2 Schematic of structural model with 10 degrees freedom 下载原图图 3 施加在结构上的地震加速度 Fig.3 earthquake acceleration of applied to the structure 下载原图3.3 识别结果与讨论对应用扩展卡尔曼滤波对结构的损伤进行识别的分三种情况进行分析:一是子结构 1 在没有噪声影响下的识别结
24、果;二是子结构 2 在没有噪声影响下的识别结果;三是子结构 2 在有 2%噪声影响下的识别结果。图 4 地震波作用下各测点的加速度 (m/s) Fig.4 Acceleration of seismic waves at each measuring point (m/s) 下载原图图 5 子结构 1 的刚度识别结果 (单位:N/m) Fig.5 Results of stiffness identification for substructure 1 下载原图图 6 子结构 1 的阻尼系数识别结果 (Ns/m) Fig.6 Results of damping identification
25、 for substructure 1 下载原图在第一种情况下, 子结构 1 中的参数 k6k10和 c6c10被识别出来。刚度和阻尼系数的初始值分别为:图 5 为无噪声情况下子结构 1 刚度识别值和时间的关联曲线, 图 6 为无噪声情况下子结构 1 阻尼识别值和时间的关联曲线, 表 1 是在没有噪声的影响下子结构 1 刚度和阻尼的识别误差表。从表和图中可以看出, 在没有噪声的情况下, 子结构 1 中的各个单元的刚度能被较精确地识别出来。整个识别的结果误差都在 3%的范围内, 刚度的突变也能被较好的识别出来。各个单元的阻尼系数也能较好的识别出来, 但是其阻尼的收敛比较慢。阻尼的识别没有刚度的识
26、别在计算中稳定。在第二种情况下, 子结构 2 中的参数 k1k4和 c1c4被识别出来。刚度和阻尼系数的初始值分别为:同样, 在没有噪声的情况下, 子结构 2 中的各个单元的刚度能被较精确地识别出来。刚度识别的结果误差都在 6%的范围内, 刚度的突变也能被较好的识别出来。各个单元的阻尼系数也能较好的识别出来, 其识别误差在 16%的范围内, 但是其阻尼的收敛很慢。阻尼的识别没有刚度的识别在计算中稳定。在第三种情况下, 结构加速度的输出中加入 2%的高斯白噪声。在噪声的影响下子结构 2 中的参数 k1k4和 c1c4被识别出来。刚度和阻尼系数的初始值与第二种情况相同。在 2%噪声的情况下, 子结
27、构 2 中的各个单元的刚度能被较精确地识别出来。刚度识别的结果误差都在 13%的范围内, 刚度的突变也能被较好的识别出来。各个单元的阻尼系数也能较好的识别出来, 其识别误差在 36%的范围内, 但是其阻尼的收敛非常慢。比较情况 2 和情况 3 下对子结构 2 的识别结果可知, 在识别的加速度信号中加入噪声的情况下, 该识别方法减小的识别的精度。但是, 如果噪声不大的情况下 (小于 5%) , 应用扩展卡尔曼滤波对子结构进行识别的识别结果仍然是合理的, 并且在很短的时间内就能收敛。表 1 没有噪声影响下子结构 1 的识别结果误差 Table 1 Errors of damage identifi
28、cation results for substructure1 without any noise 下载原表 表 2 没有噪声影响下子结构 2 的识别结果误差 Table 2 Errors of damage identification results for substructure 2without any noise 下载原表 表 3 2%噪声影响下子结构 2 的识别结果误差 Table 3 Errors of damage identification results for substructure 2with 2%noise 下载原表 4 结论结构参数的识别对结构的健康监测具有
29、很大的应用价值, 本文在对扩展卡尔曼滤波的算法理论进行了详细的推导的基础上提出应用预测残差确定扩展遗忘因子的算法。并利用扩展卡尔曼滤波算法对在外部激励下的变化子结构参数进行了识别, 建立了基于扩展卡尔曼滤波的子结构损伤识别方法。最后, 应用一个剪力结构的数值计算验证了本文提出的计算方法的有效性。具体结论如下:(1) 在数值仿真计算中, 子结构的初始状态参数应给一个合理范围内计算才能很快收敛, 子结构的刚度能够比较精确地被识别, 子结构的刚度突变也能够较好的被追踪识别。子结构的阻尼也能被识别出来, 但是其收敛速度较慢, 并且有较明显的识别误差。(2) 通过比较子结构 2 在有无噪声影响下的识别结
30、果, 可以确定本文提出的损伤识别方法在较低噪声的影响下, 能够有效的识别出子结构的刚度和阻尼。但是增加噪声明显降低识别的精度和增加收敛时间。(3) 本文提出的基于扩展卡尔曼滤波的子结构损伤识别方法经数值模拟具有较高的识别精度, 有待应用实际结构的观测值来检验识别效果。对于要应用到大型的复杂结构, 本文提出的识别方法的计算精度和鲁棒性都要进行改进和提高, 并且收敛的时间需要减少。(4) 本方法为隐蔽工程结构的在线监测提供了理论基础, 为结构的在线预警提供了新的思路, 并具有较大的实际应用价值。参考文献1C G Koh, K Shankar.Substructural identification
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