1、- 1 -山东师大附中 2015 级高三第三次模拟考试数学（理科）试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 22 题，满分 150 分考试用时 120 分钟。注意事项：1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描
2、黑。5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.命题“ ”的否定是（ ）00,ln1xxA. B. 00,ln1xxC. D. ,lxx2.已知集合 ， ，则 （ ）gAy23BxABA. B. C. D. )3,0()0,1(,0)(,)3,1(3.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 =（ ）X2,N40)PXA. B. C. D. 134. 设函数 ，若 ，则 （ ） 34()logl1fxabx(05)3f1()25fA. B. C. D.
3、2- 2 -5. 要得到函数 的图象，需要把函数 的图象（ ）sin(2)6yxsin2yxA. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位6C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位12126.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A. 51 B. 58 C. 61 D. 62 7. 将编号 的小球放入编号为 盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编1,2341,23号不能相同，则不同的放球方法有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6988. ( )40cos2inxdA. B. C. D. (1)212129.设不
4、等式组 所表示的区域为 ，函数 的图象与 轴所围成的0yxM2xyx区域为 ，向 内随机投一个点，则该点落在 内的概率为（ ）NMNA. B. C. D. 2481610. “ ”是“ 为等腰三角形”的（ ）cosaAbBACA. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11. 若点 是 所在平面内的任意一点，满足 ，则 与PC230PABCPB的面积之比为（ ） A. B. C. D. 12314612.设 是定义在 上的偶函数，满足 ，当 时，()fxR()2)fx01x- 3 -. 2()1fx方程 在区间 内实根的个数为（ ）()x5,A. B. C.
5、 D. 8910第卷2、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13. 若 ，则向量 在向量 方向上的投影为 . (1,)(3,)abab14.为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算回归直线方程为 ，由以上信息可得表中的 值为 .0.85.2yxc天数 34567繁殖数量 （千个） . 4.c15.已知 的展开式中第五项与第七项的系数之和为 ,其中 为虚数单位，则展2()nix 0i开式中常数项为 . 16.已知 是 上的连续可导函数，满足 . 若 ，则不等式()fxR()fxf(1)f的解集为 . 1fe三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤17.（本题满分 10 分）在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，ABC,abc1os23A3,sin6sic（I）求 的值；（） 若角 为锐角，求 的值及 的面积abABC18. （本题满分 12 分）已知函数 .2()ln()fxaxR（I）若函数在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；1x40ya（） 当 时，讨论函数的单调性.0a- 4 -19. （本题满分 12 分）学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取 60 名同学将其成绩（百分制，均为整数，成绩 分记为优秀）分成 6 组后，得到80部分频率分布直方图（如图） ，观察图形中的信息，回答下列问题：（）求分数在70，80）内的频率，并补
7、全这个频率分布直方图；（）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（）为参加市里举办的安全知识竞赛，学校举办预选赛.已知在学校安全知识竞赛中优秀的同学通过预选赛的概率为 32，现在从学校安全知识竞赛中优秀的同学中选 3 人参加预选赛，若随机变量 X表示这 3 人中通过预选赛的人数，求 X的分布列与数学期望.20. （本题满分 12 分）已知 .3()cos2in()si()fxxx（）求函数 最小正周期及其图象的对称轴方程；()fx（）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求ABC,abc()3fAa周长的最大值21.（本题满分 12 分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴
8、趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（）能否据此判断有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？97.5%（）经过多次测试发现：女生甲解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，女生乙解答一道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙两人独立解答同一道几何题，求乙比甲先解答- 5 -完的概率；（III）现从选择几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人
9、数为 ，求 的分布列及数学期望.X附表及公式 20PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00102.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822nadbcKd22.（本题满分 12 分）已知 1,0)1(xexf（）证明： 图象恒在直线 的上方；)(f 2y（）若 在 恒成立，求 的最小值.bxea1)1,0(ab- 6 -参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A B B C D C C B D A D二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 解：（I
10、） 因为 ，且 ，所以 因为 ，由正弦定理 ，得 （） 由 得 由余弦定理 ，得 解得 或 （舍负） 所以 18. 解：函数定义域 ，求导得（I）由已知得 ，得 ；（II）记（1）当 即 时， ，函数 在 上单调递增；- 7 -（2）当 即 时，令 ，解得.又 ，故 .当 时， ，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减.综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在单调递增，函数 在 单调递减.19. 解：（）设分数在70，80）内的频率为 x，根据频率分布直方图，则有（0.01+0.0152+0.025+0.005）10+x=1，可得 x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（）平均
11、分为：（） 的可能取值为 0,1,2,3 故所求分布列为 X 0 1 2 3P- 8 -20.解：（） ，令 ，解得 ，函数 图象的对称轴方程为 .（）由（）可得，即 ， ， ， ， 由余弦定理可知当且仅当 时等号成立.于是 .故 周长的最大值为 .21. 解：（）由表中数据得 的观测值 ，所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 分钟，则基本事件满足的区域为设事件 为“乙比甲先做完此道题” ，则满足的区域为- 9 - 由几何概型 即乙比甲先解答完的概率（III）由题可知 可能取值为 0，1，2， ，故 的分布列为：0 1 222. 解（）由题意只需证 即证明 在 上恒成立。令 ， 即 单调递增。又 ，所以 在唯一的解，记为 ，且 可得当所以只需最小值 易得 ， ，所以 .所以结论得证。（）令 ，则 ， - 10 -所以，当 时，要使 ，只需 要使 成立，只需 恒成立。令则 ，由当 时， 此时 有 成立。所以 满足条件。当 时， 此时 有不符合题意，舍去。当 时，令 得可得当 时， 。即 时，不符合题意舍去。综上， 又 所以 的最小值为 。
