1、1一中 20152016学年高二期末考试数学试卷（理科）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。第卷一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1、设 2:xp， 1:xq，则 p是 q成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2、已知点 M在平面 ABC内，并且对空间任一点 O， 则 x的值为( )A B C D03、若 ab、是任意实数，且 ab，则下列不等式成立的是（ ）A 2 B 1 C lg- Dba314、命
2、题“ xR， 240x”的否定为（ ）A ， B xR， 24xC x， 2x D ， 05、在 B 中，已知 22abcab ，则C=（ ）A30 B45 C150 D1356、设等差数列 n的前 项和为 nS，若 729，则 942a（ ）A8 B16 C24 D367、已知 lg82lg,0yxyx,则 yx31的最小值是（ ）A4 B3 C2 D18、直三棱柱 ABCA 1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A 1C1的中点，2BC=CA=CC1，则 BM与 AN所成角的余弦值为( )A B C D9、数列 na满足 1，对任意的 *Nn都有 nan1，则122016
3、（ ）A 5 B 437 C 403217 D 2016710、在等比数列a n中，若 a3a6=9，a 2a4a5=27，则 a2的值为( )A2 B3 C4 D911、设 F是双曲线 )0,(1:2byaxC的右焦点，过点 F向 C的一条渐近线引垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B若 ，则双曲A2线 的离心率是（ ）A、 B、2 C、 D、22 33 14312、若直线 :xlym与曲线 21:4yx有且仅有三个交点，则m的取值范围是（ ） A 21, B ,2 C , D 2,1第卷二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13、已知数
4、列a n满足 a1=1, an+1-an=2n，则 an= 14、在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a= ，S 为ABC 的面积，则 S+ cosBcosC的最大值为 15、在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，P 为 AB 的中点，则二面角BCA 1P 的大小为_ 16、动点 (,)0xy到点 (,)F的距离与点 到 y轴的距离差为 1，则点的轨迹方程为 .3三、解答题：（本大题共 6小题，满分 70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17、 （10 分）已知不等式 234ax的解集为 1xb或 （1）求 ,ab；（2）解不等式
5、0xcb18、 （12 分）20.设 p： 实数 x 满足 ，其中 ；q:实数 x03422axa满足 062x8（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。19、 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 4bsinA=a（）求 sinB的值；（）若 a，b，c 成等差数列，且公差大于 0，求 cosAcosC 的值420、 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD，底面 为菱形， PA平面ABCD， 60， EF， 分别是 ， 的中点PB E CDFA（1）证明： P；（2）若 2,
6、，求二面角 EAFC的余弦值21、 （12 分）已知数列 na是等比数列， 312a， 9，数列 nb的前n项和 nS满足 n32)(*N（）求数列 和 b的通项公式；（）若 nac，求数列 nc的前 项和 nT22、 （12 分）已知椭圆 C的离心率为 12，直线 1yx被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为 10，抛物线 D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点（）求椭圆 与抛物线 的方程；（）已知 A， B是椭圆 C上两个不同点，且 OA B，判定原点 O到直线B的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由5【答案】1.【答案】A【解析】因为 21x，所以 0x，所以 21:xp能够推出 q
7、，而 不能推出 p，所以 p是 q成立的充分不必要条件2.【答案】A【解析】试题分析：利用四点共面的充要条件：若 则x+y+z=1，列出方程求出 x试题解析：解： 又点 M在平面 ABC内， 解得 x=3.【答案】D【解析】因为函数 13xf在 R上是减函数，又 ab，所以ba31。4.【答案】C【解析】根据全称命题和特称命题互为否定可知，命题“ xR， 240x”的否定为“ xR， 240x”5.【答案】B【解析】因为 22abcab，所以2-=bca，所以由余弦定理得，2-cos=C，则 45C6.【答案】C【解析】因为 972S，所以19972aS，即 196a，所以 58a，所以 24
8、a925852855()()()324aaa7.【答案】A【解析】因为 lglg,0yxyx，所以 l(8)lgxy，即 32xy，所以 31，所以13(3)1248.【答案】D【解析】试题分析：画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量 ， 的坐6标，从而 BM与 AN所成角的余弦值为| |= 试题解析：解：根据已知条件，分别以 C1A1，C 1B1，C 1C所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 CA=2，则：A（2，0，2） ，N（1，0，0） ，B（0，2，2） ，A 1（2，0，0） ，B 1（0，2，0） ，M（1，1，0） ； ； ；BM 与 AN所成角的余弦
9、值为 故选：D9.【答案】B【解析】因为 1nna，所以 1-na，从而 21-a，32-a， 43-， ， -1n，累加得：21n，所以 n， 21()na，所以1220161114032( )2()320677a 。10.【答案】B【解析】试题分析：设公比为 q，可得 =9， =27，两式相除可得答案7试题解析：解：设等比数列a n的公比为 q，由题意可得 a3a6= = =9，a 2a4a5= = =27， 可得a2=311.【答案】C【解析】双曲线 )0,(1:2byaxC的右焦点为 )0,(cF，渐近线方程为aby，设过点 F向 的一条渐近线引垂线的方程为 xbay，分别联立 )(c
10、xby和 )(cxbay，得 cabyA， 2acB，因为FBA2，所以 22ac，即 234，即 3ae12.【答案】B【解析】由题意得，曲线 C是由椭圆上半部分214xy和双曲线214xy上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为 ，与直线 l: m平行；当直线 l过右顶点时，直线 l与曲线 C有两个交点，此时，m=1；当直线 l与椭圆相切时，直线 l与曲线 C有两个交点，此时 2 ；由图像可知， 1,2m时，直线 l与曲线 C有三个交点13.【答案】 n2-n+1【解析】试题分析：由已知得， 11)()( 1)()()(nnaaaannn2 1232211 14.【答案】【解析】试题解析：解：
11、a 2=b2+c2+bc，cosA= = ，A= ，由正弦定理 c=a = =2sinC，S= = = sinBsinCS+ cosBcosC= sinBsinC+ cosBcosC= cos（BC） ，815.【答案】16.【答案】 24yx17.【答案】 （1） ab（2） c时 2,xc或 c时 2xc或 ，2c时 x试题解析：（1）由已知 1是方程 230ax的根，则 a=1，方程为 0232bx解得 ab（2）原不等式为 20xcc时解集为 2xc或 ，c时解集为 或 ， 时解集为 。18.【答案】19【答案】解：（）由 4bsinA= a，根据正弦定理得 4sinBsinA= si
12、nA，sinA0，sinB= ；（）a，b，c 成等差数列，2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即 sinA+sinC= ，设 cosAcosC=x， 2+ 2，得 22cos（A+C）= +x2，又abc，ABC，0B90，cosAcosC，cos（A+C）=cosB= ，代入式得 x2= ，则 cosAcosC= 920【答案】 （1）证明：由四边形 ABCD为菱形， 60ABC，可得 ABC 为正三角形因为 E为 BC的中点，所以 E又 AD ，因此 因为 P平面 ， 平面 ，所以 PE而 平面 ， 平面 PAD且 A，所以 平面 又 平面 ，所以 AE（2）
13、解法一：因为 平面 BC， 平面 C，所以平面 PC平面 过 作 O于 ，则 EO平面 PA，过 作 SF于 ，连接 S，则 为二面角 A的平面角，在 RtE 中， 3sin02， 3cos02E，又 F是 PC的中点，在 RtASO 中， in45A，又 239048SEO，在 RtESO 中，15cos304S，即所求二面角的余弦值为 15解法二：由（1）知 AEDP， ， 两两垂直，以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 F， 分别为 BC， 的中点，所以PB E C DFA yzx(0)(310)(3)(02)ABCD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，212PEF，
14、 ， ， ， ， ， ， ，所以 31(30)2AEF， ， ， ， ，设平面 的一法向量为 11()xyz， ，m，10则 0AEF，m因此11302xyz， 取 1z，则 ()， ， ，因为 BDAC， P， AC，所以 BD平面 AC，故为平面 F的一法向量又 (30)， ，所以 2315cosBD， m因为二面角 EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为 1521.【答案】 （1）设等比差数列 na的公比是 q由 1nqa及 32， 91，得 9132, 解得 31qa1nn（ *N）故等比数列 nb的通项公式是13nna（ *N） 当 2n时，Snn61当 时， b，符合上式，故 n
15、b6（ *）（2）由（1）知， 136nnac nn ccT1321210 6)(6236 nnnT n36)1(3600 错位相减，可以得到 012312636nnn ()nT22.【答案】 （）由 题 知 21ac， 即 c， 椭 圆 短 轴 为 直 径 的 圆 的 圆 心 到 直 线1101yx的 距 离 21d， 210b， 解 得 3b， 224a，解 得 24a， c=1， p=1， =2， 椭 圆 C的 方 程 为214xy， 抛 物 线 D方程 为 2yx；（）设 A（ 1， y） ， B（ 2x， y） ， 当 直 线 AB与 x轴 垂 直 时 ， 设 AB： xm，则23m
16、y， O ， = 12y=22134=0， 解得 = 17， 原 点 到 直 线 AB的 距 离 为 7当 直 线 AB斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 的 方 程 为 ykxm代 入 23410y整 理得 ， 22(34)8410kxm， 则 = 22(8)()k 0，即 20， 1+ 2= 283k， 1x2= 243， 1y2=12()kx=221(mx=2134mk， OA B， = 12y=2k+2314mk=0， 即2271()k， 且 满 足 0， 原 点 到 直 线 的 距 离 为 2|1mk= 7， 故 原 点 O到 直 线 AB的 距 离 为 定 值 ， 定值 为 217。
