1、数学文化讲堂(二)一九章算术方程九章算术大约于东汉初年(公元一世纪)成书，共九章，汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳动的结晶书中收集了 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系九章算术中记载了下列有代表性的应用问题：1. “今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过 x 天相遇，可列方程为( )A. (97)x1 B. (97)x1 C. ( )x1 D. ( )x117 19 17 192 “今有客马日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉持衣追及与之
2、而还，至家，视日四分之三问主人马不休，日行几何？”(注：在我国古代白天的开始是卯初(即现今 5 时整)，白天的终了是酉初(即现今 17 时整)，因此从卯初至酉初 12 小时为 1 日)题中讲到的主人马速日行多少里( )A. 540 里 B. 720 里 C. 780 里 D. 960 里3. “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为_二孙子算经孙子算经是中国古代重要的数学著作成书大约在四、五世
3、纪，也就是大约一千五百年前传本的孙子算经共三卷，上卷叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，中卷举例说明筹算分数算法和筹算开平方法下卷第 31 题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算” 4该书中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为( )A. B. C. D. x y 1003x 3y 100) x y 100x 3y 100) x y 1003x 13y 100) x y 1003x y 100)5该书有一段文字
4、的大意是：甲、乙两人各有若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱 48 文甲、乙两人原来各有多23少钱？设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可列方程组是_6书中记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有 35 个头，从下面数，有 94 条腿，问笼中各有几只鸡和兔？三算法统宗算法统宗全称新编直指算法统宗 ，程大位著，是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有 595 个应用题的数字计算，用珠算演算该书确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变算法统宗中记
5、载了下列应用问题：7. “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏8. “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完；如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有 x、y 人，则可列方程组_9 “我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空 ”诗中后两句的意思是：如果
6、每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住，如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间房(1)求该店有客房多少间？房客多少人？(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加每间客房收费 20 钱，且每间客房最多入住 4 人，一次性订客房 18 间以上(含 18 间)，房费按 8 折优惠若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？四 一元二次方程的图解法古希腊数学家丢番图在公元 250 年前在算术中就提出一元二次方程的问题，不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式，只能用图解法求解，在欧几里得的几何原本中，就给出了形如 x2axb 2的方程的图解法是：如图，以 和 b 为两直角边作
7、 RtABC，再在斜边上截取 BD ，则 AD 的长就是所求方程的a2 a2解，显然，用这个方法只能求出其中的一个正根10. 请利用你所学的知识，说明该图解法的正确性11. 结合上述材料，方程 x25x60 可以用图解法求解吗？若能，写出求解过程，若不能，请说明理由答案1. D2. C 【解析】设主人的马日行 x 里，由题意得 ( )x300 ( ) ，解得12 34 13 12 34 13 13x780，故选 C.3. 5x 2y 102x 5y 8)4. 解：设共有 x 人，依题意得：8x37x4，解得 x7，8x387353，答：共有 7 个人，物品价格为 53 元5. C6. x 12
8、y 4823x y 48)7. 解：设鸡有 x 只，兔有 y 只，由题意得 ，x y 352x 4y 94)解得 ，x 23y 12)答：笼中鸡有 23 只，兔有 12 只8. B 【解析】设这个塔顶层有 a 盏灯，则 a2a4a8a16a32a64a381，解得a3.9. 【解析】根据等量关系为“大和尚的人数小和尚的人数100，大和x y 1003x 13y 100)尚分得的馒头数小和尚分得的馒头数100” ，列出方程组，设大和尚 x 人，小和尚 y 人，由题意可得 .x y 1003x 13y 100)10. 解：(1)设该店有客房 x 间，房客 y 人；根据题意得：，解得 .7x 7 y9（ x 1） y) x 8y 63)答：该店有客房 8 间，房客 63 人；(2)若每间客房住 4 人，则 63 名客人至少需客房 16 间，需付费 2016320 钱；若一次性定客房 18 间，则需付费 20180.8288 钱320 钱；答：若诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房 18 间更合算11. 解：ACB90，BC ，ACb，a2AB ，b2 a24AD b2 a24 a2 . a a2 4b22解方程 x2axb 20 得，x1 ， a a2 4b22x2 ， a a2 4b22则 AD 的长是方程的正根12. 解：不能，BD ，作图不能表示出 BD 的长52
