1、课时分层训练(四十七) 利用空间向量求空间角A组 基础达标一、选择题1在正方体 A1B1C1D1ABCD中， AC与 B1D夹角的大小为( )A. B.6 4C. D3 2D 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为 1，则 A(0,0,0)， C(1,1,0)，B1(1,0,1)， D(0,1,0) (1,1,0)，AC (1,1，1)，B1D 1(1)110(1)0，AC B1D ，AC B1D AC与 B1D的夹角为 .22. (2017西安调研)如图 7720，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1， CA CC12 CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为( )图
2、 7720A. B55 55C. D255 255A 不妨设 CB1，则 B(0,0,1)， A(2,0,0)， C1(0,2,0)， B1(0,2,1)， (0,2，1)， (2,2,1)BC1 AB1 cos ， .BC1 AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 0 4 153 553(2017郑州调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1夹角的正弦值为( ) 【导学号：79140255】A. B32 33C. D35 25B 设正方体的棱长为 1，以 D为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则
3、 B(1,1,0)， B1(1,1,1)， A(1,0,0)， C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以 1(0,0,1)， (1,1,0)， 1(1,0,1)BB AC AD 令平面 ACD1的法向量为 n( x， y， z)，则 n x y0， n 1 x z0，AC AD 令 x1，可得 n(1,1,1)，所以 sin |cos n， 1| .BB 131 334已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1夹角的正弦值等于( )A. B64 104C. D22 32A 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2，则 O(0,0,0)，
4、B( ，0,0)，3A(0，1,0)， B1( ，0,2)，所以 ( ，1,2)，由题知 ( ，0,0)为侧面 ACC1A13 AB1 3 BO 3的法向量即 sin .故选 A.|AB1 BO |AB1 |BO | 645在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E为 BB1的中点，则平面 A1ED与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ) A. B12 23C. D33 22B 以 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1，则 A1(0,0,1)，E ， D(0,1,0)， (0,1，1)， .(1， 0，12) A1D A1E (1， 0， 12)设平面 A1ED
5、的一个法向量为 n1(1， y， z)，有Error! 即Error!解得Error! n1(1,2,2)平面 ABCD的一个法向量为 n2(0,0,1)cos n1， n2 ，231 23即所成的锐二面角的余弦值为 .23二、填空题6在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2， BC AA11，则 D1C1与平面 A1BC1夹角的正弦值为_13以 D为原点， DA为 x轴， DC为 y轴， DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，设n( x， y， z)为平面 A1BC1的法向量，则 n 0， n 0，A1B A1C1 即Error! 令 z2，则 y1， x2，于是 n(2,1,2)， (
6、0,2,0)D1C1 设所求线面角为 ，则 sin |cos n， | .D1C1 137如图 7721所示，二面角的棱上有 A， B两点，直线 AC， BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4， AC6， BD8， CD2 ，则该二面角的大小17为_图 772160 ，CD CA AB BD | |CD (o(CA,sup7( ) o(AB,sup7( ) o(BD,sup7( )2 36 16 64 2CA BD 2 .116 2CA BD 17 | | |cos ， 24.CA BD CA BD CA BD cos ， .CA BD 12又所求二面角与 ， 互补
7、，CA BD 所求的二面角为 60.8在一直角坐标系中，已知 A(1,6)， B(3，8)，现沿 x轴将坐标平面折成 60的二面角，则折叠后 A， B两点间的距离为_. 【导学号：79140256】2 如图为折叠后的图形，其中作 AC CD， BD CD，17则 AC6， BD8， CD4，两异面直线 AC， BD夹角为 60.故由 ，AB AC CD DB 得| |2| |268，AB AC CD DB 所以| |2 .AB 17三、解答题9(2018合肥一检)如图 7722，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中， AA1底面 ABCD，四边形ABCD为菱形， BAD120， AB AA12
8、 A1B12.图 7722(1)若 M为 CD的中点，求证： AM平面 AA1B1B；(2)求直线 DD1与平面 A1BD夹角的正弦值解 (1)证明：四边形 ABCD为菱形， BAD120，连接 AC，则 ACD为等边三角形，又 M为 CD的中点， AM CD，由 CD AB得 AM AB. AA1底面 ABCD， AM 底面 ABCD， AM AA1，又 AB AA1 A， AM平面 AA1B1B.(2)四边形 ABCD为菱形， BAD120，AB AA12 A1B12，得 DM1， AM ， AMD BAM90，3又 AA1底面 ABCD，以点 A为原点，分别以 AB， AM， AA1所在
9、直线为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，A1(0,0,2)， B(2,0,0)， D(1， ，0)， D1 ，3 (12， 32， 2) 1 ， ( 3， ，0)，DD (12， 32， 2) BD 3(2,0，2)A1B 设平面 A1BD的法向量为 n( x， y， z)，则有Error! Error!令 x1，则 n(1， ，1)3直线 DD1与平面 A1BD夹角 的正弦值sin |cos n， 1| .DD |nDD 1n|DD 1| 1510(2017江苏高考)如图 7723，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AA1平面 ABCD，且AB AD2
10、， AA1 ， BAD120.3图 7723(1)求异面直线 A1B与 AC1夹角的余弦值；(2)求二面角 BA1DA的正弦值解 在平面 ABCD内，过点 A作 AE AD，交 BC于点 E.因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1 AE， AA1 AD.如图，以 ， ， 为正交基底，AE AD AA1 建立空间直角坐标系 Axyz.因为 AB AD2， AA1 ， BAD120，3则 A(0,0,0)， B( ，1,0)， D(0,2,0)， E( ，0,0)，3 3A1(0,0， )， C1( ，1， )3 3 3(1) ( ，1， )， ( ，1， )，A1B 3 3 AC1 3 3则
11、cos ， A1B AC1 A1B AC1 |A1B |AC1 | ，(r(3)， 1， r(3)(r(3)， 1， r(3)7 17因此异面直线 A1B与 AC1夹角的余弦值为 .17(2)平面 A1DA的一个法向量为 ( ，0,0)AE 3设 m( x， y， z)为平面 BA1D的一个法向量，又 ( ，1， )， ( ，3,0)，A1B 3 3 BD 3则Error! 即Error!不妨取 x3，则 y ， z2，3所以 m(3， ，2)为平面 BA1D的一个法向量3从而 cos ， m .AE AE m|AE |m| (r(3)， 0， 0)(3， r(3)， 2)34 34设二面角
12、BA1DA的大小为 ，则|cos | .34因为 0，所以 sin .1 cos274因此二面角 BA1DA的正弦值为 .74B组 能力提升11(2017河南百校联盟联考)已知斜四棱柱 ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2， A1AD60， BAD90，平面 A1ADD1平面 ABCD，则直线 BD1与平面 ABCD夹角的正切值为( ) 【导学号：79140257】A. B34 134C. D3913 393C 取 AD中点 O，连接 OA1，易证 A1O平面 ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，得 B(2，1,0)， D1(0,2， )， (2,3， )，平面 ABCD的一个法向量为3
13、 BD1 3n(0,0,1)，设 BD1与平面 ABCD的夹角为 ，sin ，|BD1 n|BD1 |n| 34tan .391312已知点 E， F分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1， CC1上，且 B1E2 EB， CF2 FC1，则平面 AEF与平面 ABC所成的二面角的正切值等于_延长 FE， CB相交于点 G，连接 AG，如图所示23设正方体的棱长为 3，则 GB BC3，作 BH AG于点 H，连接 EH，则 EHB为所求二面角的平面角 BH ， EB1，tan EHB .322 EBBH 2313(2017全国卷)如图 7724，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD
14、为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC AD， BAD ABC90， E是 PD的中点12图 7724(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 MABD的余弦值. 【导学号：79140258】解 (1)证明：取 PA的中点 F，连接 EF， BF.因为 E是 PD的中点，所以 EF AD， EF AD.12由 BAD ABC90得 BC AD，又 BC AD，所以 EF BC，12 四边形 BCEF是平行四边形， CE BF.又 BF 平面 PAB， CE 平面 PAB，故 CE平面 PAB./(2)由已知得
15、BA AD，以 A为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，| |为单位长度，AB AB 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,1,0)，P(0,1， )， (1,0， )， (1,0,0)3 PC 3 AB 设 M(x， y， z)(0x1)，则 ( x1， y， z)， ( x， y1， z )BM PM 3因为 BM与底面 ABCD的夹角为 45，而 n(0,0,1)是底面 ABCD的法向量，所以|cos ， n|sin 45， ，BM |z|(x 1)2 y2 z2 22即( x1) 2 y2 z20.又 M在棱 PC上，设 ，则PM PC x ， y1， z .3 3由解得Error!(舍去)，或Error!所以 M ，从而 .(122， 1， 62) AM (1 22， 1， 62)设 m( x0， y0， z0)是平面 ABM的法向量，则Error!即 Error!所以可取 m(0， ，2)6于是 cos m， n .mn|m|n| 105因此二面角 MABD的余弦值为 .105
