1、课时分层训练(二十五) 解三角形实际应用举例A 组 基础达标一、选择题1如图 388，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )图 388A北偏东 10B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80D 由条件及题图可知， A B40，又 BCD60，所以 CBD30，所以 DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.2如图 389 所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则
2、灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )图 389A a km B. a km3C. a km D2 a km2B 在 ABC 中， AC BC a， ACB120， AB2 a2 a22 a2cos 1203 a2， AB a.33如图 3810，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与D，测得 BCD15， BDC30， CD30 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于( )图 3810A5 m B15 m6 3C5 m D15 m2 6D 在 BCD 中， CBD1801530135.由正弦定理得 ，BCsin 30 30sin
3、135解得 BC15 (m)2在 Rt ABC 中，AB BCtan ACB15 15 (m)2 3 64如图 3811，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) 【导学号：79140138】图 3811A8 km/h B6 km/h2C2 km/h D10 km/h34B 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得0.61 3
4、5 45 1 22 21 ，解得 v6 .(1102)2 110 45 25如图 3812，在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45，在塔底 D 的南偏东 60的 B 处测得塔顶的仰角为 30， A、 B 的距离是 84 m，则塔高 CD 为( )图 3812A24 m B12 m5C12 m D36 m7C 设塔高 CD x m，则 AD x m， DB x m.3又由题意得 ADB9060150，在 ABD 中，利用余弦定理，得842 x2( x)22 x2cos 150，3 3解得 x12 (负值舍去)，故塔高为 12 m7 7二、填空题6已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处
5、，且 A 到 C 的距离为 2 km， B 船在灯塔 C 北偏西 40，A， B 两船的距离为 3 km，则 B 到 C 的距离为_ km. 1 如图，由条件知， ACB8040120，6设 BC x km，则由余弦定理知 9 x244 xcos 120， x0， x 1.67在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30，60，则塔高是_ m.如图，设塔 AB 高为 h，4003在 Rt CDB 中， CD200 m， BCD906030， BC (m)200cos 3040033在 ABC 中， ABC BCD30， ACB603030， BAC120.在 ABC 中，
6、由正弦定理得 ，BCsin 120 ABsin 30 AB (m)BCsin 30sin 120 40038(2018福州质检)如图 3813，小明同学在山顶 A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 30，45，且 BAC135.若山高 AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度为_ m/s(精确到 0.1)参考数据： 1.414， 2.236. 2 5【导学号：79140139】图 381322.6 由题意可得 AB200， AC100 ，在 ABC 中，由余弦定理可得2BC2 AB2 AC2
7、2 ABACcos BAC10 5，则 BC100 141.42.236，又历时1014 s，所以速度为 22.6 m/s.BC14三、解答题9如图 3814，航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，求山顶的海拔高度(取 1.4， 1.7)2 3图 3814解 如图，作 CD 垂直直线 AB 于点 D， A15， DBC45， ACB30，又在 ABC 中， ，BCsin A ABsin ACBAB5042021 000， BC sin 1510
8、 500( )21 00012 6 2 CD AD， CD BCsin DBC10 500( ) 10 500( 1)7 350.6 222 3故山顶的海拔高度为 10 0007 3502 650(m)10如图 3815，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上图 3815(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值解 (1)依题意知， BAC120， AB12， AC10220， BCA .在 ABC 中，由余弦定
9、理，得BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC12 220 221220cos 120784，解得 BC28.所以渔船甲的速度为 14 海里/小时BC2(2)在 ABC 中，因为 AB12， BAC120， BC28， BCA ，由正弦定理，得 ，ABsin BCsin 120即 sin .ABsin 120BC 123228 3314B 组 能力提升11一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是
10、 ( )A50 m B100 mC120 m D150 mA 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C(图略)，则在 ABC 中， A60，AC h， AB100， BC h，根据余弦定理得，( h)2 h2100 22 h100cos 3 360，即 h250 h5 0000，即( h50)( h100)0，即 h50，故水柱的高度是50 m12在不等边三角形 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，其中 a 为最大边，如果 sin2(B C)sin 2Bsin 2C，则角 A 的取值范围为( )A. B(0， 2) ( 4， 2)C. D( 6， 3) ( 3， 2)D
11、 由题意得 sin2Asin 2Bsin 2C，再由正弦定理得 a2 b2 c2，即 b2 c2 a20.则 cos A 0，b2 c2 a22bc0 A，0 A . 2又 a 为最大边， A .因此角 A 的取值范围是 . 3 ( 3， 2)13如图 3816，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得M 点的仰角 MAN60， C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.图 3816150 根据题图， AC100 m.2在 MAC 中， CMA180756045.由正弦定理得 AM100
12、 m.ACsin 45 AMsin 60 3在 AMN 中， sin 60，MNAM MN100 150(m)33214 “德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心，如图 3817(记为B， C， D)当返回舱在距地面 1 万米的 P 点时(假定以后垂直下落，并在 A 点着陆)， C救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60， B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30， D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向. 【导学号：79140140】图 3817(1)求 B， C 两救援中心间的距离；(2)求 D 救援中心与着陆点 A 间的距离解 (1)由题意知 PA AC， PA AB，则 PAC， PAB 均为直角三角形在 Rt PAC 中， PA1， PCA60，解得 AC ，在 Rt PAB 中，33PA1， PBA 30，解得 AB ，又 CAB90， BC 万3 AC2 AB2303米(2)sin ACDsin ACB ，310cos ACD ，又 CAD30，110所以 sin ADCsin(30 ACD) ，在 ADC 中，由正弦定理， 33 1210 ACsin ADC，ADsin ACD得 AD 万米ACsin ACDsin ADC 9 313
