1、课时分层训练(七十四) 不等式的证明1设 a， b 是非负实数，求证： a2 b2 (a b)ab证明 因为 a2 b2 (a b)ab( a2 a )( b2 b )ab ab a ( ) b ( )a a b b b a( )(a b )a b a b .(a12 b12 )(a32 b32 )因为 a0， b0，所以不论 a b0，还是 0 a b，都有 a b 与 a b同号，所以( a b ) (a b )0，所以 a2 b2 (a b)ab2设不等式|2 x1|0.故 ab1 a b.3(2017石家庄模拟)已知函数 f(x)| x| x1|.(1)若 f(x)| m1|恒成立，求
2、实数 m 的最大值 M；(2)在(1)成立的条件下，正实数 a， b 满足 a2 b2 M，证明： a b2 ab.解 (1) f(x)| x| x1| x( x1)|1，当且仅当 0 x1 时取等号， f(x)| x| x1|的最小值为 1.要使 f(x)| m1|恒成立，只需| m1|1，0 m2，则 m 的最大值 M2.(2)证明：由(1)知， a2 b22，由 a2 b22 ab，知 ab1.又 a b2 ，则( a b) 2 ab.ab ab由知， 1.ab故 a b2 ab.4已知 a， b， cR，且 2a2 b c8，求( a1) 2( b2) 2( c3) 2的最小值解 由柯
3、西不等式得(441)( a1) 2( b2) 2( c3) 22( a1)2( b2) c3 2，9( a1) 2( b2) 2( c3) 2(2 a2 b c1) 2.2 a2 b c8，( a1) 2( b2) 2( c3) 2 ，499当且仅当 c3 时等号成立，a 12 b 22( a1) 2( b2) 2( c3) 2的最小值是 .4995已知函数 f(x) k| x3|， kR，且 f(x3)0 的解集为1,1(1)求 k 的值；(2)若 a， b， c 是正实数，且 1.1ka 12kb 13kc求证： a2 b3 c9.解 (1)因为 f(x) k| x3|，所以 f(x3)0
4、 等价于| x| k，由| x| k 有解，得 k0，且解集为 k， k因为 f(x3)0 的解集为1,1因此 k1.(2)证明：由(1)知 1，因为 a， b， c 为正实数1a 12b 13c所以 a2 b3 c( a2 b3 c)(1a 12b 13c)3 (a2b 2ba) (a3c 3ca) (2b3c 3c2b)32 2 2 9.a2b2ba a3c3ca 2b3c3c2b当且仅当 a2 b3 c 时等号成立因此 a2 b3 c9.6(2018福州质检)已知函数 f(x)| x1|.(1)求不等式 f(x)|2 x1|1 的解集 M；(2)设 a， b M，证明： f(ab) f(
5、a) f( b). 【导学号：79140401】解 (1)当 x1 时，原不等式可化为 x12 x2，解得 x1；当1 x 时，原不等式可化为 x12 x2，解得 x1，此时原不等式无12解；当 x 时，原不等式可化为 x12 x，解得 x1.12综上， M x|x1 或 x1(2)证明：因为 f(a) f( b)| a1| b1| a1( b1)| a b|，所以，要证 f(ab) f(a) f( b)，只需证| ab1| a b|，即证| ab1| 2| a b|2，即证 a2b22 ab1 a22 ab b2，即证 a2b2 a2 b210，即证( a21)( b21)0.因为 a， b M，所以 a21， b21，所以( a21)( b21)0 成立，所以原不等式成立
