1、课时分层训练(四十四) 简单几何体的表面积与体积A 组 基础达标一、选择题1(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图 759 所示，则该三棱锥的体积为( )图 759A60 B30C20 D10D 由三视图画出如图所示的三棱锥 PACD，过点 P 作 PB平面 ACD 于点 B，连接BA， BD， BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形， AD5， CD3， PB4，所以 V 三棱锥PACD 35410.13 12故选 D.2(2016全国卷)如图 7510 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图 7510A20 B24C28 D32C 由三视图可知圆柱的底面
2、直径为 4，母线长(高)为 4，所以圆柱的侧面积为22416，底面积为 2 24；圆锥的底面直径为 4，高为 2 ，所以圆锥3的母线长为 4，所以圆锥的侧面积为 248.所以该几何体的(2r(3)2 22表面积为 S164828.3(2016全国卷)如图 7511，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图 7511A1836 B54185 5C90 D81B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 )25418 .故选 B.5 54某几何体的三视图如图 7512 所示
3、，且该几何体的体积是 3，则主视图中的 x 的值是( )图 7512A2 B92C. D332D 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S 底 (12)23，12所以 V x33，13解得 x3.5(2018石家庄质检)某几何体的三视图如图 7513 所示，则该几何体的体积是( ) 【导学号：79140241】图 7513A16 B20C52 D60B 由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中四边形 ABCD 为邻边长分别为 2,4 的长方形，四边形 CDEF 为上底为 2、下底为 6、高为 3的等腰梯形，所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为 3,4的直角三角形，高为
4、2 的三棱锥和一个底面为直角边长分别为 3,4 的直角三角形，高为 2 的三棱柱组成，则该几何体的体积为2 342 34220，故选 B.13 12 12二、填空题6一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥3的侧面积为_12 设正六棱锥的高为 h，棱锥的斜高为 h.由题意，得 6 2 h2 ， h1，13 12 3 3斜高 h 2，12 (r(3)2 S 侧 6 2212.127(2017江苏高考)如图 7514，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是_V1
5、V2图 7514设球 O 的半径为 R，32球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2的高为 2R，底面半径为 R. .V1V2 R22R43 R3 328(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_ 设正方体的棱长为 a，则 6a218， a .92 3设球的半径为 R，则由题意知 2R 3，a2 a2 a2 R .32故球的体积 V R3 3 .43 43 (32) 92三、解答题9.如图 7515，在三棱锥 DABC 中，已知 BC AD， BC2， AD6， AB BD AC CD10，求三棱锥 DABC
6、 的体积的最大值. 【导学号：79140242】图 7515解 由题意知，线段 AB BD 与线段 AC CD 的长度是定值，棱 AD 与棱 BC 相互垂直，设 d 为 AD 到 BC 的距离，则 VDABC ADBCd 2 d，12 13当 d 最大时， VDABC体积最大 AB BD AC CD10，当 AB BD AC CD5 时，d 有最大值 .42 1 15此时 V2 .1510.如图 7516，长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB16， BC10， AA18，点 E， F 分别在A1B1， D1C1上， A1E D1F4.过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一
7、个正方形图 7516(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示(2)如图，作 EM AB，垂足为 M，则 AM A1E4， EB112， EM AA18.因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH EF BC10.于是 MH 6， AH10， HB6.EH2 EM2故 S (410)856，四 边 形 A1EHA 12S (126)872.四 边 形 EB1BH 12因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 .97(79也 正 确 )B 组 能力提升11(2018东北三
8、省四市模拟(一)点 A， B， C， D 在同一个球的球面上，AB BC1， ABC120.若四面体 ABCD 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为( )34A. B450081C. D259 1009D 因为 AB BC1， ABC120，所以由正弦定理知 ABC 外接圆的半径 r 1， S ABC ABBCsin 120 .设外接圆的圆心为 Q，则12 ABsin 30 12 34当 DQ 与平面 ABC 垂直时，四面体 ABCD 的体积最大，所以 S ABCDQ ，所以 DQ3.设13 34球心为 O，半径为 R，则在 Rt AQO 中， OA2 AQ2 OQ2，即 R21 2(3 R)
9、2，解得 R，所以球的表面积 S4 R2 ，故选 D.53 100912已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH HB12， AB平面 ， H 为垂足， 截球 O所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_. 【导学号：79140243】 如图，设球 O 的半径为 R，则由 AH HB12 得92HA 2R R，13 23 OH .R3截面面积为 ( HM)2， HM1.在 Rt HMO 中， OM2 OH2 HM2， R2 R2 HM2 R21，19 19 R ，324 S 球 4 R24 .(324)2 9213四面体 ABCD 及其三视图如图 7517 所示，平行于棱 AD， BC
10、 的平面分别交四面体的棱AB， BD， DC， CA 于点 E， F， G， H.图 7517(1)求四面体 ABCD 的体积；(2)证明：四边形 EFGH 是矩形解 (1)由该四面体的三视图可知，BD DC， BD AD， AD DC， BD DC2， AD1， AD平面 BDC，四面体 ABCD 的体积 V 221 .13 12 23(2)证明： BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDC FG，平面 EFGH平面ABC EH， BC FG， BC EH， FG EH.同理 EF AD， HG AD， EF HG，四边形 EFGH 是平行四边形又 AD平面 BDC， AD BC， EF FG.四边形 EFGH 是矩形
