1、课时分层训练(三十一) 等差数列及其前 n 项和A 组 基础达标一、选择题1已知数列 an是等差数列， a1 a78， a22，则数列 an的公差 d 等于( )A1 B2C3 D4C 法一：由题意可得Error!解得 a15， d3.法二： a1 a72 a48， a44， a4 a2422 d， d3.2(2016全国卷)已知等差数列 an前 9 项的和为 27， a108，则 a100( )A100 B99C98 D97C 法一： an是等差数列，设其公差为 d， S9 (a1 a9)9 a527， a53.92又 a108，Error!Error! a100 a199 d199198.
2、故选 C.法二： an是等差数列， S9 (a1 a9)9 a527， a53.92在等差数列 an中， a5， a10， a15， a100成等差数列，且公差d a10 a5835.故 a100 a5(201)598.故选 C.3设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 a11，公差 d2， Sn2 Sn36，则 n( )A5 B6C7 D8D 由题意知 Sn2 Sn an1 an2 2 a1(2 n1) d22(2 n1)36，解得 n8.4(2017全国卷)等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则an前 6 项的和为( )A24 B3C3 D8A
3、 由已知条件可得 a11， d0，由 a a2a6可得(12 d)2(1 d)(15 d)，23解得 d2.所以 S661 24.65( 2)2故选 A.5(2018云南二检)已知等差数列 an中， a111， a51，则 an的前 n 项和 Sn的最大值是( )【导学号：79140173】A15 B20C26 D30C 设数列 an的公差为 d，则 d (a5 a1)3，所以 an113( n1)14143 n，令 an143 n0，解得 n ，所以 Sn的最大值为143S4411 (3)26，故选 C.432二、填空题6在等差数列 an中，公差 d ，前 100 项的和 S10045，则1
4、2a1 a3 a5 a99_.10 S100 (a1 a100)45， a1 a1000.91002a1 a99 a1 a100 d0.4，则 a1 a3 a5 a99 (a1 a99) 0.410.502 5027 九章算术是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是_15 斤 由题意可知金箠由粗到细各尺的重
5、量成等差数列，且 a14， a52，则 S515，故金箠重 15 斤5(a1 a5)28在等差数列 an中， a17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn取得最大值，则 d 的取值范围为_. 【导学号：79140174】由题意，当且仅当 n8 时 Sn有最大值，可得Error!即Error!解得( 1， 78)1 d .78三、解答题9在等差数列 an中， a11， a33.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值解 (1)设等差数列 an的公差为 d，则 an a1( n1) d.由 a11， a33，可得 12 d3，解得
6、 d2.从而 an1( n1)(2)32 n.(2)由(1)可知 an32 n，所以 Sn 2 n n2.n1 (3 2n)2由 Sk35，可得 2k k235，即 k22 k350，解得 k7 或 k5.又 kN ，故 k7.10已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk110.(1)求 a 及 k 的值；(2)设数列 bn的通项公式 bn ，证明：数列 bn是等差数列，并求其前 n 项和SnnTn.解 (1)设该等差数列为 an，则 a1 a， a24， a33 a，由已知有 a3 a8，得 a1 a2，公差 d422，所以 Sk ka1 d2 k 2 k2
7、k.k(k 1)2 k(k 1)2由 Sk110，得 k2 k1100，解得 k10 或 k11(舍去)，故 a2， k10.(2)证明：由(1)得 Sn n(n1)，n(2 2n)2则 bn n1，Snn故 bn1 bn( n2)( n1)1，即数列 bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 Tn .n(2 n 1)2 n(n 3)2B 组 能力提升11(2018呼和浩特一调)等差数列 an中， a28，前 6 项的和 S666，设bn ， Tn b1 b2 bn，则 Tn( )2(n 1)anA1 B11n 1 1n 2C. D 12 1n 1 12 1n 2D 由题意得Error!
8、解得Error!所以 an2 n4，因此 bn 2(n 1)(2n 4) ，所以 Tn ，故1(n 1)(n 2) 1n 1 1n 2 12 13 13 14 1n 1 1n 2 12 1n 2选 D.12设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 为常数，则称数列 an为“吉祥数列” 已知等差SnS2n数列 bn的首项为 1，公差不为 0，若数列 bn为“吉祥数列” ，则数列 bn的通项公式为( )A bn n1 B bn2 n1C bn n1 D bn2 n1B 设等差数列 bn的公差为 d(d0)， k，因为 b11，则 n n(n1) d kSnS2n 12，2n122n(2n 1)d即
9、2( n1) d4 k2 k(2n1) d，整理得(4 k1) dn(2 k1)(2 d)0.因为对任意的正整数 n 上式均成立，所以(4 k1) d0，(2 k1)(2 d)0，解得 d2， k ，14所以数列 bn的通项公式为 bn2 n1.13设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， Sm1 2， Sm0， Sm1 3，则正整数 m 的值为_5 因为等差数列 an的前 n 项和为 Sn， Sm1 2， Sm0， Sm1 3，所以 am Sm Sm1 2， am1 Sm1 Sm3，数列的公差d1， am am1 Sm1 Sm1 5，即 2a12 m15，所以 a13 m.由 Sm(3 m)
10、m 10，m(m 1)2解得正整数 m 的值为 5.14已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， an0， anan1 S n1，其中 为常数. 【导学号：79140175】(1)证明： an2 an ；(2)是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由解 (1)证明：由题设知 anan1 S n1， an1 an2 S n1 1，两式相减得 an1 (an2 an) a n1 ，由于 an1 0，所以 an2 an .(2)由题设知 a11， a1a2 S 11，可得 a2 1.由(1)知， a3 1.令 2a2 a1 a3，解得 4.故 an2 an4，由此可得 a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n1 4 n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n4 n1.所以 an2 n1， an1 an2，因此存在 4，使得数列 an为等差数列
