1、课时分层训练(十三) 变化率与导数、计算导数A 组 基础达标一、选择题1函数 f(x)( x2 a)(x a)2的导数为( )A2( x2 a2) B2( x2 a2)C3( x2 a2) D3( x2 a2)C f(x)( x2 a)(x a)2 x33 a2x2 a3， f( x)3( x2 a2) 2已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x)2 xf(1)ln x，则 f(1)等于( )Ae B1 C1 DeB 由 f(x)2 xf(1)ln x，得 f( x)2 f(1) ，1x所以 f(1)2 f(1)1，则 f(1)1. 3曲线 y xex2 x1 在点(0，1)处
2、的切线方程为( )A y3 x1 B y3 x1C y3 x1 D y3 x1A 由题意得 y( x1)e x2，则曲线 y xex2 x1 在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e 023，故曲线 y xex2 x1 在点(0，1)处的切线方程为y13 x，即 y3 x1.4(2018南宁、钦州第二次适应性考试)若直线 y kx1 是函数 f(x)ln x 图像的一条切线，则 k( )【导学号：79140073】A. B.1e2 1eCe De 2A 由 f(x)ln x，得 f( x) .设切点为( x0，ln x0)，则Error!解得 x0e 2，则1xk ，故选 A.1x0 1e25
3、已知 y f(x)是可导函数，如图 2101，直线 y kx2 是曲线 y f(x)在 x3 处的切线，令 g(x) xf(x)， g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3)( )图 2101A1 B0C2 D4B 由题图可知曲线 y f(x)在 x3 处切线的斜率等于 ， f(3) .13 13 g(x) xf(x)， g( x) f(x) xf( x)， g(3) f(3)3 f(3)，又由题图可知 f(3)1， g(3)13 0.(13)二、填空题6(2016全国卷)若直线 y kx b 是曲线 yln x2 的切线，也是曲线 yln( x1)的切线，则 b_.1ln 2 分别求出两个
4、对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出 b 的值求得(ln x2) ，ln( x1) .1x 1x 1设曲线 yln x2 上的切点为( x1， y1)，曲线 yln( x1)上的切点为( x2， y2)，则 k ，所以 x21 x1.1x1 1x2 1又 y1ln x12， y2ln( x21)ln x1，所以 k 2，y1 y2x1 x2所以 x1 ， y1ln 22ln 2，1k 12 12所以 b y1 kx12ln 211ln 2.7已知函数 f(x) ax3 x1 的图像在点(1， f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_. 【
5、导学号：79140074】1 f( x)3 ax21， f(1)3 a1.又 f(1) a2，切线方程为 y( a2)(3 a1)( x1)切线过点(2,7)，7( a2)3 a1，解得 a1.8曲线 y aln x(a0)在 x1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则a_.8 y aln x， y ，ax在 x1 处的切线的斜率 k a，而 f(1) aln 10，故切点为(1,0)，切线方程为 y a(x1)令 y0，得： x1；令 x0， y a.三角形面积 S a14，12 a8.三、解答题9求下列函数的导数：(1)y xtan x；(2)y( x1)( x2)( x3)；(
6、3)y .ln(2x 1)x解 (1) y( xtan x) xtan x x(tan x)tan x x tan x x(sin xcos x) cos2x sin2xcos2xtan x .xcos2x(2)y( x1)( x2)( x3) x36 x211 x6， y3 x212 x11.(3)y ln(2x 1)x ln(2x 1) x x ln(2x 1)x2 (2x 1)2x 1 x ln(2x 1)x22x2x 1 ln(2x 1)x2 .2x (2x 1)ln(2x 1)(2x 1)x210已知函数 f(x) x34 x25 x4.(1)求曲线 f(x)在点(2， f(2)处的
7、切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程解 (1) f( x)3 x28 x5. f(2)1，又 f(2)2，曲线在点(2， f(2)处的切线方程为 y2 x2，即 x y40.(2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点 P(x0， x 4 x 5 x04)，30 20 f( x0)3 x 8 x05，20切线方程为 y(2)(3 x 8 x05)( x2)，20又切线过点 P(x0， x 4 x 5 x04)，30 20 x 4 x 5 x02(3 x 8 x05)( x02)，整理得( x02) 2(x01)0，30 20 20解得 x02 或 1，经过点 A
8、(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 x y40 或 y20.B 组 能力提升11曲线 ye 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. e2 B4e 292C2e 2 De 2D 易知曲线 ye 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k. y e ， k e e2，切线方程为 ye 2 e2(x4)，令 x0，12 12 12 12得 ye 2，令 y0，得 x2，所求面积为 S 2|e 2|e 2.1212已知 f(x)ln x， g(x) x2 mx (m0)，直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图像都相切，12 72且与 f(x)图像的切点为(1， f
9、(1)，则 m 的值为( )A1 B3C4 D2D f( x) ，1x直线 l 的斜率为 k f(1)1，又 f(1)0，切线 l 的方程为 y x1.g( x) x m，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为( x0， y0)，则有 x0 m1， y0 x01，y0 x mx0 ， m0，1220 72解得 m2.13设曲线 ye x在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标1x为_(1,1) 函数 ye x的导函数为 ye x，曲线 ye x在点(0,1)处的切线的斜率 k1e 01.设 P(x0， y0)(x00)，函数 y 的导函数为 y ，曲线
10、y (x0)在点 P1x 1x2 1x处的切线的斜率 k2 .1x20易知 k1k21，即 1 1，解得 x 1，又 x00， x01.又点 P 在曲线(1x20) 20y (x0)上， y01，故点 P 的坐标为(1,1)1x14已知函数 f(x) x32 x23 x(xR)的图像为曲线 C.13(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围. 【导学号：79140075】解 (1)由题意得 f( x) x24 x3，则 f( x)( x2) 211，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得1 k0 或 k1，故由1 x24 x30 或 x24 x31，得 x(，2 (1,3)2 ，)2 2
