1、课时分层训练(四十一) 空间图形的基本关系与公理A 组 基础达标一、选择题1下列命题中，真命题的个数为( )如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若 M ， M ， l，则 M l.A1 B2C3 D4B 根据公理 2 可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据公理3 可知是真命题综上，真命题的个数为 2.2已知 A， B， C， D 是空间四点，命题甲： A， B， C， D 四点不共面，命题乙：直线 AC 和BD
2、 不相交，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A 若 A， B， C， D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交；若直线 AC 和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD 平行时， A， B， C， D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件3若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) 【导学号：79140226】A l 与 l1， l2都不相交B l 与 l1， l2都相交C l 至多与 l1， l2中的一条相交D l 至少与
3、 l1， l2中的一条相交D 由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与 l2不平行，故 l1， l2中至少有一条与 l 相交4(2018兰州实战模拟)已知长方体 ABCDA1B1C1D1中， AA1 AB ， AD1，则异面直3线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为( )A B64 63C D26 36A 连接 AC， AB1(图略)，由长方体性质可知 AB1 DC1，所以 AB1C 就是异面直线 B1C和 C1D 所成的角由题知AC 2， AB1 ， CB1 2，所1 (r(3)2 (r(3)2 (r(3)2 6 1 (r(3)2以由余弦定理得 cos AB1C ，故选 A.AB21 C
4、B21 AC22AB1CB1 645(2016全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A. B32 22C. D33 13A 设平面 CB1D1平面 ABCD m1.平面 平面 CB1D1， m1 m.又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面 CB1D1平面 A1B1C1D1 B1D1， B1D1 m1， B1D1 m.平面 ABB1A1平面 DCC1D1，且平面 CB1D1平面 DCC1D1 CD1，同理可证 CD1 n.因此直线 m， n 所成的角与直线 B1D1
5、， CD1所成的角相等，即 CD1B1为 m， n 所成的角在正方体 ABCDA1B1C1D1中， CB1D1是正三角形，故直线 B1D1与 CD1所成角为 60，其正弦值为 .32二、填空题6(2018湖北调考)已知正六棱锥 SABCDEF 的底面边长和高均为 1，则异面直线 SC 与 DE所成角的大小为_设正六边形 ABCDEF 的中心为 O，连接 SO， CO， BO，则由正六边形的性质知 4OC DE， SO平面 ABCDEF，所以 SCO 为异面直线 SC 与 DE 所成角又易知 BOC 为等边三角形，所以 SO BC CO1，所以 SCO . 47若平面 ， 相交，在 ， 内各取两
6、点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面1 或 4 如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面8(2017郑州模拟)在图 727 中， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号). 【导学号：79140227】(1) (2) (3) (4)图 727(2)(4) 图(1)中，直线 GH MN；图(2)中， G， H， N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图(3)中，连接 MG(图略)， GM HN，因此 GH 与
7、 MN 共面；图(4)中，G， M， N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图(2)(4)中， GH 与 MN 异面三、解答题9.如图 728 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问：图 728(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由解 (1) AM， CN 不是异面直线理由：连接 MN， A1C1， AC.因为 M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点，所以 MN A1C1.又因为 A1A C1C，所以 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1 AC，所
8、以 MN AC，所以 A， M， N， C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线(2)直线 D1B 和 CC1是异面直线理由：因为 ABCDA1B1C1D1是正方体，所以 B， C， C1， D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B 平面 ， CC1 平面 ，所以 D1， B， C， C1 ，这与 B， C， C1， D1不共面矛盾，所以假设不成立，即 D1B 和 CC1是异面直线10如图 729 所示，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 3图 729(1)三棱锥
9、PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解 (1) S ABC 22 2 ，12 3 3三棱锥 PABC 的体积为V S ABCPA 2 2 .13 13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE 是异面直线 BC 与AD 所成的角(或其补角)在 ADE 中， DE2， AE ， AD2，cos ADE .222 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .34B 组 能力提升11(2018陕西质检(一)已知 P 是 ABC 所在平面外的一点， M， N 分别是 AB， PC 的中点若 MN B
10、C4， PA4 ，则异面直线 PA 与 MN 所成角的大小是( )3A30 B45C60 D90A 取 AC 中点为 O，连接 OM， ON，则易证 OM 綊 BC， ON 綊 PA，所以 ONM 就是异面12 12直线 PA 与 MN 所成的角由 MN BC4， PA4 ，得 OM BC2， ON AP2 ，则312 12 3cos ONM ，所以 ONM30，即异面直线 PA 与 MN 所成角的大ON2 MN2 OM22ONMN 32小是 30，故选 A.12.如图 7210，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且AC BC2， ACB90， F， G 分别是线
11、段 AE， BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为_. 【导学号：79140228】图 7210取 DE 的中点 H，连接 HF， GH.36由题设， HF AD， 12所以 GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角(或其补角)在 GHF 中，可求 HF ，2GF GH ，6cos GFH .(r(2)2 (r(6)2 (r(6)2226 3613如图 7211，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA底面ABCD， OA2， M 为 OA 的中点图 7211(1)求四棱锥 OABCD 的体积；(2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4，四棱锥 OABCD 的体积 V 42 .13 83(2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME， DE.又 M 为 OA 中点， ME OC，则 EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角，由已知可得DE ， EM ， MD ，( )2( )2( )2，2 3 5 2 3 5 DEM 为直角三角形，tan EMD .DEEM 23 63异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 .63
