1、课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值A 组 基础达标一、选择题1下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A y x3 B yln( x)C y xe x D y x2xD 由题可知，B，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数 y x3单调递增(无极值)，而 D 选项中的函数既为奇函数又存在极值 2(2016四川高考)已知 a 为函数 f(x) x312 x 的极小值点，则 a( )A4 B2C4 D2D 由题意得 f( x)3 x212，令 f( x)0 得 x2，当 x2 时，f( x)0；当2 x2 时， f( x)0， f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数
2、，在(2，)上为增函数 f(x)在 x2 处取得极小值， a2.3函数 f(x) x2ln x 的最小值为( )12【导学号：79140083】A. B112C0 D不存在A f( x) x 且 x0.1x x2 1x令 f( x)0，得 x1.令 f( x)0，得 0 x1. f(x)在 x1 处取得极小值也是最小值，f(1) ln 1 .12 124若商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关系式为 y x327 x123( x0)，则获得最大利润时的年产量为( )A1 百万件 B2 百万件C3 百万件 D4 百万件C y3 x2273( x3)( x3)，当 0 x3 时，
3、y0；当 x3 时， y0.故当 x3 时，该商品的年利润最大5已知函数 f(x) x3 ax2( a6) x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是( )A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)B f( x)3 x22 ax( a6)，由已知可得 f( x)0 有两个不相等的实根， 4 a243( a6)0，即 a23 a180， a6 或 a3.二、填空题6(2017肇庆模拟)已知函数 f(x) x3 ax23 x9，若 x3 是函数 f(x)的一个极值点，则实数 a_.5 f( x)3 x22 ax3.依题意知，3 是方程 f( x)0 的根，所以 3(3)
4、 22 a(3)30，解得 a5.经检验， a5 时， f(x)在 x3 处取得极值7函数 y x2cos x 在区间 上的最大值是_. 0， 2【导学号：79140084】 y12sin x，令 y0， 6 3结合 x ，解得 x ，0， 2 6易知当 x 时， y0；0， 6)当 x 时， y0，故在 上，函数 y x2cos x 在 x 时取最大值( 6， 2 0， 2 6 . 6 38设 aR，若函数 ye x ax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是_(，1) ye x ax， ye x a.函数 ye x ax 有大于零的极值点，则方程 ye x a0 有大于零的解， x0
5、 时，e x1， ae x1.三、解答题9已知函数 f(x) x3 ax2 b(a， bR)(1)要使 f(x)在(0,2)上单调递增，试求 a 的取值范围；(2)当 a0 时，若函数满足 f(x)max1， f(x)min3，试求 y f(x)的解析式解 (1) f( x)3 x22 ax.依题意 f( x)0 在(0,2)上恒成立，即 2ax3 x2. x0，2 a3 x，2 a6， a3，即 a 的取值范围是3，)(2) f( x)3 x22 ax x(3 x2 a) a0，当 x 时， f( x)0， f(x)递减( ，23a当 x 时， f( x)0， f(x)递增(23a， 0)当
6、 x0，)时， f( x)0， f(x)递减Error! Error! f(x) x33 x21.10已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，曲线 y f(x)在点 x1 处的切线为l：3 x y10，且当 x 时， y f(x)取极值23(1)求 a， b， c 的值；(2)求 y f(x)在3,1上的最大值和最小值解 (1)由 f(x) x3 ax2 bx c，得 f( x)3 x22 ax b. f(1)32 a b，由切线 l 的斜率为 3，可得 2a b0，当 x 时， y f(x)取极值，则 f 0，23 (23)可得 4a3 b40，由，解得 a2， b4.由于切点的横坐标为
7、 1，所以 f(1)4.所以 1 a b c4，得 c5.(2)由(1)可得 f(x) x32 x24 x5， f( x)3 x24 x4.令 f( x)0，解得 x12， x2 .23当 x 在3,1上变化时， f( x)， f(x)的取值及变化情况如下表所示：x 3 (3，2) 2 2， 23) 23 (23， 1 1f( x) 0 0 f(x) 8单调递增13单调递减9527 单调递增4所求最小值为 ，最大值为 13.9527B 组 能力提升11(2018西宁检测(一)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 f(x)在x2 处取得极小值，则函数 y xf( x)的
8、图像可能是( )C 由题意可得 f(2)0，且当 x2 时， f( x)0，则 y xf( x)0，故排除 B 和 D；当 x2 时， f( x)0，所以当 x(2,0)时， y xf( x)0，当x0 时， y xf( x)0，故排除 A，选 C.12(2017四川宜宾三中期末)已知 y f(x)是奇函数，当 x(0,2)时， f(x)ln x ax，当 x(2,0)时， f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于( )(a12)A. B.14 13C. D112D 由 f(x)是奇函数，且当 x(2,0)时， f(x)的最小值为 1 知，当 x(0,2)时，f(x)的最大值为1.易知 f(
9、x) a，令 f( x) a0，得 x .1x 1x 1a a ， (0,2)，当 0 x 时， f( x)0；12 1a 1a当 x 时， f( x)0.1a f(x)max f ln a11，解得 a1.(1a)13(2016北京高考改编)设函数 f(x)Error!则 f(x)的最大值为_2 当 x0 时， f(x)2 x0；当 x0 时， f( x)3 x233( x1)( x1)，当x1 时， f( x)0， f(x)是增函数，当1 x0 时， f( x)0， f(x)是减函数， f(x) f(1)2， f(x)的最大值为 2.14设函数 f(x)ln( x a) x2. 【导学号：
10、79140085】(1)若当 x1 时， f(x)取得极值，求 a 的值，并求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)存在极值，求 a 的取值范围解 (1) f( x) 2 x，依题意，有 f(1)0，故 a .1x a 32从而 f( x) ，且 f(x)的定义域为 ，当 x1 时，(2x 1)(x 1)x 32 ( 32， ) 32f( x)0；当1 x 时， f( x)0；12当 x 时， f( x)0.12 f(x)在区间 ， 上单调递增，(32， 1) ( 12， )在 上单调递减( 1， 12)(2)f(x)的定义域为( a，)， f( x) .2x2 2ax 1x a方程 2x22 ax10 的判别式 4 a28，若 0，即 a 时， f( x)0，故 f(x)无极值2 2若 0，即 a 或 a ，则 2x22 ax10 有两个不同的实根， x12 2， x2 . a a2 22 a a2 22当 a 时， x1 a， x2 a，2故 f( x)0 在定义域上恒成立，故 f(x)无极值当 a 时， a x1 x2，故 f(x)在( a， x1)上递增，( x1， x2)上递减，( x2，)2上递增故 f(x)在 x x1， x x2取得极值综上， f(x)存在极值时， a 的取值范围为( ，)2
