1、单元评估检测(四) 第 4 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知复数 z (i 为虚数单位)，则 z 的虚部为( )1 2i2 iA1 B0 C1 Di答案 C2若 z43i，则 ( )z|z|A1 B1 C. I D i45 35 45 35答案 D3若复数 z 满足(1i) z2，则 z 的虚部为( )A1 Bi CI D1答案 A4复数 z 的共扼复数是( ) 3 i2 i【导学号：79140414】A2I B2i C1I D1i答案 D5已
2、知向量 a(2,4)， b(1,1)，则 2a b( )A(5,7) B(5,9) C(3,7) D(3,9)答案 D6复数 z13i， z21i，则 z z1z2在复平面内的对应点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D7设向量 a， b 满足| a b| ，| a b| ，则 ab( )10 6A1 B2 C3 D5答案 A8设复数 z12sin icos 在复平面上对应向量 ，将 按顺时针方( 4 2) OZ1 OZ1 向旋转 后得到向量 ， 对应的复数为 z2 x yi(x， yR)，则 ( )34 OZ2 OZ2 yxA. B2tan 12tan 1 2tan
3、12tan 1C. D12tan 1 12tan 1答案 A9与向量 a(3,4)同方向的单位向量为 b，又向量 c(5,5)，则 bc( )A(3,4) B(3，4) C1 D1答案 C10如图 41，在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 AC 与 BD 的交点， N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，则下列说法错误的是( )图 41A. AC AB AD B. BD AD AB C. AO 12AB 12AD D. AE 53AB AD 答案 D11复数 z1， z2在复平面内对应的点关于直线 y x 对称，且 z132i，则 z2( )A32i B23iC3
4、2i D23i答案 D12已知向量 a(1， m)， b(3，2)，且( a b) b，则 m( )A8 B6 C6 D8答案 D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 _.AE BD 答案 214平面向量 a(1,2)， b(4,2)， c ma b(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m_.答案 215已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60， c ta(1 t)b，若 bc0，则t_.答案 216对于复数 z1， z2，若( z1i) z21，则称
5、 z1是 z2的“错位共轭”复数，则复数 i32 12的“错位共轭”复数为_. 【导学号：79140415】答案 i32 32三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知 A(1,0)， B(0,2)， C(3,1)， 5，| | .AB AD AD 10(1)求 D 点坐标；(2)若 D 点在第二象限，用 ， 表示 ；AB AD AC (3) ( m,2)，若 3 与 垂直，求 的坐标AE AB AC AE AE 解 (1) D(2,1)或 D(2,3)(2) .AC AB AD (3) (14,2)AE 18(
6、本小题满分 12 分)如图 42，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上两个三等分点， 4， 1，求 的值. BA CA BF CF BE CE 【导学号：79140416】图 42解 .7819(本小题满分 12 分)已知复数 z1i， .z2 3z 6z 1(1)求复数 ；(2)设复数 在复平面内对应的向量为 ，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转 到OA 向量 的位置，求 的最小值OA 解 (1)1i. (2) .5420(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知向量 m ， n ， mn1.(2cosA2， s
7、inA2) (cosA2， 2sinA2)(1)求 cos A 的值；(2)若 a2 ， b2，求 c 的值3解 (1) . (2)2.1221(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知向量m(cos A，cos B)， n( a,2c b)，且 m n. 【导学号：79140417】(1)求角 A 的大小；(2)若 a4，求 ABC 面积的最大值解 (1)因为 m n，所以 acos B(2 c b)cos A0，由正弦定理得sin Acos B(2sin Csin B)cos A0，所以 sin Acos Bsin Bcos A2sin
8、Ccos A，所以 sin(A B)2sin Ccos A，因为 A B C，所以 sin C2sin Ccos A，因为 0 C，所以 sin C0，所以 cos A ，12因为 0 A，所以 A . 3(2)由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A，所以 16 b2 c2 bc2 bc bc bc，因此 bc16，当且仅当 b c4 时，等号成立；因此 ABC 的面积 S bcsin A4 ，12 3因此 ABC 面积的最大值为 4 .322(本小题满分 12 分)已知平面上的两个向量 ， 满足| | a，| | b，且OA OB OA OB ， a2 b24.向量 x y (x，
9、 yR)，且 a2 2 b2 21.OA OB OP OA OB (x 12) (y 12)(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： ；MP (x 12)OA (y 12)OB (2)求| |的最大值，并求出此时四边形 OAPB 面积的最大值OP 解 (1)因为点 M 为线段 AB 的中点，所以 ( )OM 12OA OB 所以 ( x y ) ( ) .MP OP OM OA OB 12OA OB (x 12)OA (y 12)OB (2)设点 M 为线段 AB 的中点，则由 ，知| | | |OA OB MA MB MO | |1.12AB 又由(1)及 a2 b2 1，(x12)2 (y 12)2 得| |2| |2MP OP OM 2 2(x12)2 OA (y 12)2 OB a2 b2 1.(x12)2 (y 12)2 所以| | | | | | |1，所以 P， O， A， B 四点都在以 M 为圆心，1MP MA MB MO 12AB 为半径的圆上所以当且仅当 OP 是直径时，| |max2，这时四边形 OAPB 为矩形，则 S 四OP 边形 OAPB| | | ab 2，当且仅当 a b 时，四边形 OAPB 的面积最大，OA OB a2 b22 2最大值为 2.
