1、单元评估检测(七) 第 7 章 立体几何(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞(如图 71)，则该几何体为( )图 71答案 A2(2018衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图 72 所示，主视图与左视图是边长为 2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是( )【
2、导学号：79140426】A2 cm2 B4 cm23 3C8 cm 2 D14 cm 2答案 C图 72 图 733若三棱锥的三视图如图 73 所示，则该三棱锥的体积为( )A80 B40 C. D.803 403答案 D4(2017泉州模拟)设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，以下命题正确的是( )A若 l ， ，则 l B若 l ， ，则 l C若 l ， ，则 l D若 l ， ，则 l 答案 D5正四面体 PABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A BC平面 PDFB平面 PDF平面 ABCC DF平面
3、PAED平面 PAE平面 ABC答案 B6在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB2， AA11，则点 A 到平面 A1BC 的距离为( )A. B. C. D.34 32 334 3答案 B7如图 74，四面体 ABCD 中， AB DC1， BD ， AD BC ，二面角 ABDC 的平面2 3角的大小为 60， E， F 分别是 BC， AD 的中点，则异面直线 EF 与 AC 所成的角的余弦值是( )图 74A. B. C. D.13 33 63 223答案 B8如图 75，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是( )图 75A直线 BD1与直线 B1C 所成的角为
4、2B直线 B1C 与直线 A1C1所成的角为 3C线段 BD1在平面 AB1C 内的射影是一个点D线段 BD1恰被平面 AB1C 平分答案 D9如图 76，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD， M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP MC，则点 M 的正方形ABCD 内的轨迹的长度为( )图 76A. B2 5 2C D.23答案 A10棱长为 4 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小3球，则这些小球的最大半径为( ) 【导学号：79140427】A. B. C. D.22
5、2 24 26答案 B11(2017南阳模拟)如图 77 是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图 77A6 B823 3C4 D423 3答案 C12下列命题中错误的是( )A如果 ，那么 内一定有直线平行于平面 B如果 ，那么 内所有直线都垂直于平面 C如果平面 不垂直平面 ，那么 内一定不存在直线垂直于平面 D如果 ， ， l，那么 l 答案 B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13半径为 的球的体积与一个长、宽分别为 6,4 的长方体的体积相等，则长方体的表面336积为_答案 8814(20
6、17运城模拟)如图 78，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V1，四棱锥 ABCC1B1的体积为 V2，则 _.V1V2图 78答案 3215如图 79，矩形 ABCD 中， AB2 AD， E 为 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A1DE.若M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是_(填序号)图 79 BM 是定值；点 M 在某个球面上运动；存在某个位置，使 DE A1C；存在某个位置，使 MB平面 A1DE.答案 16已知向量 a(0，1,1)， b(4,1,0)，| a b| 且 0，则 _. 29【导学号：79140428】答案 3
7、三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)(2018南昌模拟)如图 710 所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为 2 m，高为 m，7则制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图 710解 制造这个塔顶需要 8 m2的铁板218(本小题满分 12 分)(2017长沙模拟)如图 711，在三棱锥 PABC 中， PAB PAC ACB90.图 711(1)求证：平面 PBC平面 PAC；(2)若 PA1， AB2， BC ，在直线 AC 上是否存在一点 D，使得直线 B
8、D 与平面2PBC 所成角为 30？若存在，求出 CD 的长；若不存在，说明理由解 (1)略 (2)存在， CD .619(本小题满分 12 分)如图 712，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1底面ABC， CA CB， D， E， F 分别为 AB， A1D， A1C 的中点，点 G 在 AA1上，且 A1D EG.图 712(1)求证： CD平面 EFG；(2)求证： A1D平面 EFG.解 略20(本小题满分 12 分) (2017江西五市三联)如图 713，在四棱锥 PABCD 中，AD BC， AB AD， AB AD AP2 BC2， M 是棱 PD 上的一点， (
9、0 1)PMPD图 713(1)若 ，求证： PB平面 MAC；13(2)若平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，二面角 DACM 的余弦值为 ，42121求 的值解 (1)略 (2) .2321(本小题满分 12 分)(2017新乡模拟)如图 714(1)，在三角形 PCD 中， AB 为其中位线，且 2BD PC，若沿 AB 将三角形 PAB 折起，使 PAD ，构成四棱锥PABCD，且 2，如图 714(2)PCPF CDCE图 714(1)求证：平面 BEF平面 PAB；(2)当异面直线 BF 与 PA 所成的角为 60时，求折起的角度 . 【导学号：79140429
10、】解 (1)因为 2BD PC，所以 PDC90，因为 AB CD，且 2，所以 E 为 CD 的中点， F 为 PC 的中点， CD2 AB，所以PCPF CDCEAB DE 且 AB DE，所以四边形 ABED 为平行四边形，所以 BE AD， BE AD，因为 BA PA， BA AD，且 PA AD A，所以 BA平面 PAD，因为 AB CD，所以 CD平面 PAD，又因为 PD 平面 PAD， AD 平面 PAD，所以 CD PD 且 CD AD，又因为在平面 PCD 中， EF PD(三角形的中位线)，于是CD FE.因为在平面 ABCD 中， BE AD，于是 CD BE，因为
11、 FE BE E， FE 平面 BEF， BE 平面 BEF，所以 CD平面 BEF，又因为 CD AB， AB 在平面 PAB 内，所以平面 BEF平面 PAB.(2)因为 PAD ，取 PD 的中点 G，连接 FG， AG，所以 FG CD， FG CD，又12AB CD， AB CD，12所以 FG AB， FG AB，从而四边形 ABFG 为平行四边形，所以 BF AG，所以 BF 与 PA所成的角即为 AG 与 PA 所成的角，即 PAG60，因为 PA AD， G 为 PD 中点，所以AG PD， APG30，所以 PDA30，所以 PAD1803030120.故折起的角度为 12
12、0.22(本小题满分 12 分)(2018周口模拟)如图 715，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， AD CD， AB CD， AB AD CD2，点 M 在线段 EC 上且不与 E， C 重合12图 715(1)当点 M 是 EC 中点时，求证： BM平面 ADEF；(2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 时，求三棱锥 MBDE 的体66积解 (1)取 ED 的中点 N，连接 MN， AN，又因为点 M 是 EC 的中点，所以 MN DC，MN DC，12而 AB DC， AB DC，12所以 MN AB， 所以四边形 ABMN 是平行四边形，所以
13、 BM AN，而 BM平面 ADEF， AN 平面 ADEF，所以 BM平面 ADEF.(2)取 CD 的中点 O，过点 O 作 OP DM，连接 BP， BO，因为 AB CD， AB CD2，12所以四边形 ABOD 是平行四边形，因为 AD DC，所以四边形 ABOD 是矩形，所以 BO CD，因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， ED AD，所以 ED平面 ADCB，所以平面 CDE平面 ADCB，所以 BO平面 CDE，所以 BP DM，所以 OPB 是平面 BDM 与平面 DCE(即平面 ABF)所成锐二面角，因为 cos OPB ，所以 sin OPB ，66 306所以 ，解得 BP .OBBP 306 2305所以 OP BPcos OPB ，所以 sin MDC ，255 OPOD 55而 sin ECD ，225 55所以 MDC ECD，所以 DM MC，同理 DM EM，所以 M 为 EC 的中点，所以 S DEM S CDE2，12因为 AD CD， AD DE，且 DE 与 CD 相交于点 D，所以 AD平面 CDE，因为 AB CD，所以三棱锥 BDME 的高 AD2，所以 VMBDE VBDEM S DEMAD .13 43
