1、课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1方程 x 所表示的曲线是( )1 4y2A双曲线的一部分 B椭圆的一部分C圆的一部分 D直线的一部分B x 两边平方，可变为 x24 y21( x0)，表示的曲线为椭圆的一部分1 4y22(2017银川模拟)已知点 P 是直线 2x y30 上的一个动点，定点 M(1,2)， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且| PM| MQ|，则 Q 点的轨迹方程是( )A2 x y10 B2 x y50C2 x y10 D2 x y50D 由题意知， M 为 PQ 中点，设 Q(x， y)，则 P 为(2 x,4 y)，代入2x y30，得
2、2x y50.3已知动圆 Q 过定点 A(2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4，则动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程为( )A y22 x B y24 xC x22 y D x24 yB 设 Q(x， y)，因为动圆 Q 过定点 A(2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4，所以 | x|2| AQ|2，(MN2)2 所以| x|22 2( x2) 2 y2，整理得 y24 x，所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y24 x，故选 B.4设圆( x1) 2 y225 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任一点线段 AQ的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M
3、，则 M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A. 1 B. 14x221 4y225 4x221 4y225C. 1 D. 14x225 4y221 4x225 4y221D 因为 M 为 AQ 垂直平分线上一点，则| AM| MQ|，所以| MC| MA| MC| MQ| CQ|5，故 M 的轨迹为以点 C， A 为焦点的椭圆，所以 a ， c1，则 b2 a2 c2 ，52 214所以椭圆的方程为 1.4x225 4y2215设过点 P(x， y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，点 Q 与点P 关于 y 轴对称， O 为坐标原点若 2 ，且
4、1，则点 P 的轨迹方程是( )BP PA OQ AB A x23 y21( x0， y0)32B x23 y21( x0， y0)32C3 x2 y21( x0， y0)32D3 x2 y21( x0， y0)32A 设 A(a,0)， B(0， b)， a0， b0.由 2 ，得( x， y b)2( a x， y)，即 a x0， b3 y0.BP PA 32即 ，AB ( 32x， 3y)点 Q( x， y)，故由 1，OQ AB 得( x， y) 1，(32x， 3y)即 x23 y21.故所求的轨迹方程为 x23 y21( x0， y0)32 32二、填空题6平面上有三个点 A(2
5、， y)， B ， C(x， y)，若 ，则动点 C 的轨迹方程是(0，y2) AB BC _y28 x (2， y) ，AB (0， y2) (2， y2)( x， y) .BC (0， y2) (x， y2) ， 0，AB BC AB BC 0，即 y28 x.(2， y2) (x， y2)动点 C 的轨迹方程为 y28 x.7 ABC 的顶点 A(5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_ 1( x3) 如图，| AD| AE|8，x29 y216|BF| BE|2，|CD| CF|，所以| CA| CB|826.根据双曲线的定义，所求轨
6、迹是以 A， B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 1( x3)x29 y2168在 ABC 中， A 为动点， B， C 为定点， B ， C (a0)，且满足条件 sin (a2， 0) (a2， 0)Csin B sin A，则动点 A 的轨迹方程是_. 12【导学号：79140302】 1( x0 且 y0) 由正弦定理得 ，即16x2a2 16y23a2 |AB|2R |AC|2R 12 |BC|2R|AB| AC| |BC|，故动点 A 的轨迹是以 B， C 为焦点， 为实轴长的双曲线右支(除12 a2去顶点)即动点 A 的轨迹方程为 1( x0 且 y0)16x2a2
7、 16y23a2三、解答题9已知长为 1 的线段 AB 的两个端点 A， B 分别在 x 轴， y 轴上滑动， P 是 AB 上一点，2且 ，求点 P 的轨迹方程AP 22PB 解 设 A(x0,0)， B(0， y0)， P(x， y)，由已知知 ，AP 22PB 又 ( x x0， y)， ( x， y0 y)，AP PB 所以 x x0 x， y (y0 y)，22 22得 x0 x， y0(1 )y.(122) 2因为| AB|1 ，2即 x y (1 )2，20 20 2所以 (1 )y2(1 )2，化简得 y21.(122)x2 2 2 x22即点 P 的轨迹方程为 y21.x22
8、10如图 882，已知 P 是椭圆 y21 上一点， PM x 轴于 M.若 .x24 PN NM 图 882(1)求 N 点的轨迹方程；(2)当 N 点的轨迹为圆时，求 的值解 (1)设点 P，点 N 的坐标分别为 P(x1， y1)，N(x， y)，则 M 的坐标为( x1,0)，且 x x1， ( x x1， y y1)(0， y y1)，PN ( x1 x， y)(0， y)，NM 由 得(0， y y1) (0， y)PN NM y y1 y ，即 y1(1 )y. P(x1， y1)在椭圆 y21 上，x24则 y 1， (1 )2y21，x214 21 x24故 (1 )2y21
9、 即为所求的 N 点的轨迹方程x24(2)要使点 N 的轨迹为圆，则(1 )2 ，14解得 或 .12 32当 或 时，12 32N 点的轨迹是圆B 组 能力提升11(2017湖南东部六校联考)已知两定点 A(0，2)， B(0,2)，点 P 在椭圆 1 上，x212 y216且满足| | |2，则 为( )AP BP AP BP A12 B12C9 D9D 由| | |2，可得点 P(x， y)的轨迹是以两定点 A， B 为焦点的双曲线的上支，AP BP 且 2a2， c2， b .点 P 的轨迹方程为 y2 1( y1)3x23由Error! 解得Error! ( x， y2)( x， y
10、2) x2 y249449.AP BP 12在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A(1,0)， B(2,2)，若点 C 满足 t( OC OA OB )，其中 tR，则点 C 的轨迹方程是_. OA 【导学号：79140303】y2 x2 设 C(x， y)，则 ( x， y)， t( )(1 t,2t)，所以Error!消OC OA OB OA 去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y2 x2.13(2016全国卷选编)设圆 x2 y22 x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
11、(1)证明| EA| EB|为定值；(2)求点 E 的轨迹方程，并求它的离心率解 (1)证明：因为| AD| AC|， EB AC，所以 EBD ACD ADC，所以| EB| ED|，故| EA| EB| EA| ED| AD|.又圆 A 的标准方程为( x1) 2 y216，从而| AD|4，所以| EA| EB|4.(2)由圆 A 方程( x1) 2 y216，知 A(1,0)又 B(1,0)因此| AB|2，则| EA| EB|4| AB|.由椭圆定义，知点 E 的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(不含与 x 轴的交点)，所以 a2， c1，则 b2 a2 c23.所以点 E 的轨迹方程为 1( y0)x24 y23故曲线方程的离心率 e .ca 12
