1、专题二十一 等差数列,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47等差数列的概念与运算 1.(2017课标,理4)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24, S6=48,则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,2.(2017课标,理9)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,3.(2016课标,理3)已知等差数列an前9项的和为27,a10
2、=8, 则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,4.(2014福建,理3)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,5.(2014课标,理17)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数. (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由. 【解】 (1)由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,
3、 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 由于an+10,所以an+2-an=. (2)由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4. 故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得数列an为等差数列.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,1.等差数列的公差 通常用字母d表示,其定义的表达式为an+1-an=d(nN*)或an-a
4、n-1=d(nN*,n2). 2.等差中项 若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,其中3.等差数列的通项公式 (1)an=a1+(n-1)d. (2)将通项公式an=a1+(n-1)d变形得an=nd+(a1-d),它是关于n的一次函数(d0)或常数函数(d=0).,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,典例导引1(1)设数列an的通项公式为an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|= .,(1)【解析】 由an=2n-10(nN*)知an是以-8为首项,2为公差的等差数列,又
5、由an=2n-100,得n5, 当n5时,an0,当n5时,an0. |a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a15) =20+110=130. 【答案】 130,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,an,bn为正项数列, an+1=bnbn+1,代入式得 =bn-1bn+bnbn+1(n2). 2bn=bn-1+bn+1(n2).数列bn是等差数列. (3)【证明】 当n2时,an=an-1+2n-1+3=an-1+2n-2n-1+3, an-2n-(an-1-2n-1)=3. 又a1=4,a1-2=2. 数列an-2n是以2为首项
6、,3为公差的等差数列. an-2n=2+(n-1)3=3n-1.an=2n+3n-1.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,高招1等差数列的判定与证明方法,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,典例导引2(1)(2017吉林长春质量监测)在递减等差数列an中,已知a3=-1,a1,a4,-a6成等比数列,若Sn为数列an的前n项和,则S7的值为( ) A.-14 B.-9 C.-5 D.-1 (2)设数列an为等差数列,数列bn为等比数列.若a1a2,b1b2,且(i=1,2,3),则数列bn的公比为 .,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考
7、点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,高招2等差数列运算的求解技巧,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,1.(2017中原名校第三次质量考评)在张丘建算经有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布同数递减.初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布几何?”( ) A.30尺 B.60尺 C.90尺 D.120尺 【答案】 C 由题意可得该数列为等差数列,a1=5,a30=1,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,2.(2017河北武邑中学四调)已知公差不为0的等差数列an满足a1,a3,a4成等比数列,S
8、n为数列an的前n项和,则 的值为( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 【答案】 A 设等差数列的公差为d,首项为a1, 所以a3=a1+2d,a4=a1+3d. 因为a1,a3,a4成等比数列,所以(a1+2d)2=a1(a1+3d), 解得a1=-4d.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,3.(2017河北唐山模拟)已知数列an,bn满足bn=an+an+1,则“数列an为等差数列”是“数列bn为等差数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 【答案】 A 若数列an为等差数列,设其公差为d1,则bn
9、+1-bn= (an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以数列bn是等差数列;若数列bn为等差数列,设其公差为d2,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1) =an+2-an=d2,不能推出数列an为等差数列,所以“数列an为等差数列”是“数列bn为等差数列”的充分不必要条件.故选A.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,考点48等差数列的性质及应用 1.(2013课标,理7)设等差数列an的前n项和为S
10、n,若Sm-1=-2,Sm=0, Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 C Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2, am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. d=am+1-am=3-2=1.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,2.(2015广东,理10)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= . 【答案】 10 【解析】 根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25, 解得a5=5. 又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10. 3.(2014
11、北京,理12)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,即a80; 而a7+a10=a8+a90,故a90.所以数列an的前8项和最大.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,1.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).变式为 ,可看作过点(m,am),(n,an)的直线的斜率. (2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.若k+l=2m,则ak+al=2am. (3)若an是公差为d的等差数列,则其子数列ak,ak+m,ak+2m,也是等差数列,且公差为md;kan也是等
12、差数列,且公差为kd. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn(p,qN*)是等差数列.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,典例导引3(1)(2017山西运城联考)已知在等比数列an中,a2a10=6a6,在等差数列bn中,b4+b6=a6,则数列bn的前9项和为( ) A.9 B.27 C.54 D.72,(3)(2017安徽“皖南八校”二联)设Sn是等差数列an的前n项之和,若S2 014=2 014a,S2 015=2 015b(a,b为常数),则S2 016= .,试做真题,高手必备,萃取高招
13、,对点精练,考点47,考点48,【答案】 (1)B (2)C (3)4 032b-2 016a,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,高招3“慧眼识珠”识别等差数列性质的应用规律,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,典例导引4在等差数列an中,设Sn为其前n项和,且a10,S3=S11,则当n= 时,Sn最大.,【答案】 7,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,高招4求等差数列前n项和的最值的常用方法,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点47,考点48,4.(2016四川成都模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn, a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则使Sn取得最小值的n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】 B 根据等差数列的性质可得a4+a10=2a7,代入a4+a7+a10=9,得a7=3.S14-S3=11a9=77,解得a9=7,所以等差数列的通项公式为an=2n-11.当n6时,an0,当n5时,an0,所以使Sn取得最小值的n的值为5.,
