1、小波信号去噪,简介小波变换模极大去噪 基于小波变换尺度间相关性的去噪小波阈值去噪法,本节内容介绍,简介,去噪的必要性 去噪的主要方法 去噪问题的描述,去噪必要性,小波变换去噪历史,小波去噪方法经历三阶段,第一阶段，利用小波变换去相关特点，不同层采用不同的阈值。 代表：VisuShrink方法、SUREShrink方法,第二阶段，对小波系数建模，且每个小波系数采用的阈值各不相同。 代表：AdaptBayesShrink方法、 LAWMLShrink方法,第三阶段，利用层间和层内的相关性。二元或多元的小波萎缩函数被提出。保留图像信息、使恢复图像更光滑、与其他方法结合等。 代表：BivaShrink
2、方法、小波的马尔可夫方法、复数小波去噪方法。,简介: 去噪问题的描述,设长度为,的信号,被噪声,所污染，所测得的含噪数据为：,目标: 求f的最优逼近.,假设条件: 高斯噪声,基本策略: 变换到频域(如小波域), 将信号的小波变换与噪声的小波变换分离.,已知:,传统去噪方法,小波去噪方法,含噪图像模型：,原图像,噪声分量,小波去噪方法,信号的奇异性检测与小波模极大值 Lipschitz指数 度量信号奇异性定理 若小波 是实函数且连续可微，并具有 阶消失矩（ ）， ，则函数 在 处具有Lipschitz指数 ，当且仅当存在常数 ，使得 ， 其小波变换满足：,小波变换模极大去噪,小波变换模极大去噪,
3、将根据信号与噪声的小波变换模极大在各尺度上的不同传播特性，介绍小波变换模极大在信号去噪中的原理和方法。 为了更好地将具有正Lipschitz指数的信号与具有负Lipschitz指数的噪声区别,开，本节用,替代,作为,的小波变换.设,若v为函数的局部奇异点，则存在一个常数 A,使得,或,信号与噪声在小波变换各尺度上的模极大值具有截然不同的传播特性，这为利用小波变换模极大去噪提供了重要依据。,小波变换模极大去噪,小波变换模极大去噪,算法描述,算法的基本思想是，根据信号与噪声在不同尺度上的模极大的不同传播特性，从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的小波变换模极大值，然后用剩余的小波变
4、换模极大值去重构信号。,理想的算法是,对信号进行连续小波变换,寻找模极大曲线 ,进而确定奇异点的位置并计算该奇异点的Lipschiz指数. 在离散的二进尺度下,可以用所谓ad hoc算法来搜索模极大曲线 .从而可以给出小波模极大去噪的基本算法 .,为简化计算,我们可取消Lipschitz指数的计算，而将噪声模极大值点的消除包含在ad hoc算法中，从而给出一个较实用的小波模极大去噪算法.,小波变换模极大去噪,小波变换模极大去噪,基于小波变换尺度间相关性的去噪,信号与噪声的小波变换在各尺度下的不同传播特性表明，信号的小波变换在各尺度间有较强的相关性，而且在边缘处具有很强的相关性；而噪声的小波变换
5、在各尺度间确没有明显的相关性，而且，噪声的小波变换主要集中在小尺度各层次中。,根据信号与噪声的小波变换在不同尺度间的上述不同特点，我们可以通过将相邻尺度的小波系数直接相乘来增强信号，抑制噪声。,基于小波变换尺度间相关性的去噪,基本概念和算法原理:,或,下面以尺度j=1为例说明SSNF是如何区分该尺度下的信号与噪声的。,（1）对,，通过比较,和,提取信号的边缘信息。,的绝对值，,若,则将n点处的变换,赋值给,然后将该点的小波系数,与相关系数,都置为0。,若,则该点的小波系数与相关系数保持不变.,基于小波变换尺度间相关性的去噪,（2）,对,和,按照步骤（1）处理,得到次重要的边缘信息.,以上相关系
6、数规范化、数据比较和边缘提取的过程可递归进行，直到,中尚未被抽取的点的能量近似等于该尺度下的噪声能量阈值为止。,问题: 噪声的能量如何计算?,基于小波变换尺度间相关性的去噪,基于小波变换尺度间相关性的去噪,噪声的能量的计算:,假设,服从正态的高斯分布,，其中,为噪声的标准方差，,记为,. 由于,根据离散二进小波变换的滤波器算法，如图7.2a所示，有:,噪声的能量的计算: SSNF方法中各尺度下递归过程的结束条件,在尺度j下, 当从,中已抽取,噪声能量阈值该如何取值？,个边缘点时，,含噪信号的噪声方差,的估计:,噪声主要分布在小尺度上，所以可以从最小的两个尺度层的小波变换估计,。如果,，则将该点
7、的小波系数,置为0。,对每个小波系数做这样的一轮处理后，我们用,表示对,处理的结果,则,基于小波变换尺度间相关性的去噪,改进算法:,1引入系数比较的权重,3. 从大尺度到小尺度提取边缘信息,2引入噪声能量的权重,目的: 避免在小尺度上将许多噪声作为边缘被提取出来.,考虑到信号与噪声在不同尺度下的能量大小的不同变化，需引入 一个噪声能量权重，以使噪声阈值更加合理 .,为避免从小尺度到大尺度的提取方法由于在小尺度上将过多的 噪声作为边缘提取而影响去噪的质量。,基于小波变换尺度间相关性的去噪,基于小波变换尺度间相关性的去噪,改进算法:,1引入系数比较的权重,3. 从大尺度到小尺度提取边缘信息,2引入
8、噪声能量的权重,目的: 避免在小尺度上将许多噪声作为边缘被提取出来.,考虑到信号与噪声在不同尺度下的能量大小的不同变化，需引入 一个噪声能量权重，以使噪声阈值更加合理 .,为避免从小尺度到大尺度的提取方法由于在小尺度上将过多的 噪声作为边缘提取而影响去噪的质量。,基于小波变换尺度间相关性的去噪,基本原理,主要理论依据是，,系数幅值.,经小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的,具体处理过程为：将含噪信号在各尺度上进行(正交)小波分解，保留大尺度（低分辨率）下的全部分解值；对于小尺度（高分辨率）下的分解值，可以设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为零，高于该阈值的小波系数或者完整保留，或者
9、做相应的“收缩（shrinkage）” 处理。最后将处理后获得的小波系数利用逆小波变换进行重构，恢复出有效的信号。,阈值的选取方法，,这里介绍最常用的VisuShrink，这种方法采用全局,统一阈值,基于小波变换阈值去噪,小波阈值去噪法:小波阈值收缩法,算法描述,1）计算含噪信号的正交小波变换。常采用周期延拓方法。,2）对小波系数进行非线性阈值处理,为保持信号的整体形状不变，保留所有的低频变换系数,对每个小波系数，采用软阈值和硬阈值方法进行处理,(a) 硬阈值方法 (b)软阈值方法,特点:,软阈值法获得的重构信号具有更好的光滑性,但误差相对较大. 硬阈值法获得的重构信号具有更好的逼近性,但有附
10、加振荡.,3）进行小波逆变换。,原信号,含噪信号,软域值法(Sym8),软域值法(Haar),小波阈值去噪法:平移不变量小波阈值去噪法,平移不变量小波去噪方法不仅能有效的抑制伪吉布斯现象，而且能减小原始信号和估计信号之间的均方根误差，是一种比阈值法有更好的去噪方法。,Pseudo-Gibbs现象 产生的原因及解决方法:,Pseudo-Gibbs现象和信号不连续点的位置有关，确切地说，是和信号的特征（如不连续点）和小波基元素的特征之间的精确对准有关。,为了改进去噪效果，一个自然的想法就是通过平移含噪声信号来改变不连续点的位置，对平移后的信号进行阈值法去噪处理，然后把去噪后的信号再进行相反的平移，
11、便可以得到原信号的去噪信号。,通常采用n次循环平移，并将每次平移去噪后的结果再进行平均， 即所谓“平移-去噪-平均”的平移不变量（Translation-invariant， 简称TI）小波去噪法。,平移不变量小波去噪方法可有效地去除伪吉布斯现象，表现出更好的视觉效果。,软阈值(Sym8),软阈值(Haar),TI(Sym8),TI(Haar),小波阈值去噪法:TI算法的快速实现,TI基本算法的计算效率低,即我们需要计算原信号所有可能的循环平移 信号的小波变换。,基本性质:计算原信号及其循环平移1的信号的DWT，并在每个分解级对低频信息重复这一小波变换过程，即可得到TI算法中的所有可能的小波系
12、数。,快速算法的计算过程:,设,滤波器，,表示正交小波变换的分析,，,.,小波阈值去噪法:TI算法的快速实现,小波阈值去噪法:TI算法的快速实现,最后所得到的TI变换的结果为,. 对每个,中包含,个小波系数，因此TI变换的小波系数共为,小波阈值去噪法:TI算法的快速实现,个小波系数.,用TI表存储所得到的小波系数:,TI变换数据可以存放在一个TI表中。用,表示该TI表，它由,n行L+1列构成.第1列存放n个低频系数,.,第,列顺次存放第l,次小波分解得到的小波系数,，该列可看成,个盒子，每个盒子存放,TI表具有以下三个重要性质：,小波系数的处理:,选取阈值,，除TI表的第1列中的所有低频系数保
13、持,不变外，将其余各列的小波系数按照软阈值法进行处理。,小波阈值去噪法:TI算法的快速实现,TI变换的快速重构:,从,开始，对每个,，计算,小波阈值去噪法:TI算法的快速实现,TI变换的快速重构:,当对分辨率j对应的所有k计算结束后,置 j=j+1.重复上述计算过程直到 j=J.若应用经过阈值处理后的TI表，则运算结果 正是所有n个循环平移的去噪信号的平均信号。,平移不变量阈值去噪算法的计算复杂度为,复数小波变换去噪,离散正交小波去噪的缺点： 不具备平移不变性 方向选择性差,复数小波变换去噪,离散正交小波去噪的缺点： 不具备平移不变性 方向选择性差,通常的解决办法：,UDWT（undecima
14、ted discrete wavelet transform）,缺点： 计算量急剧增加 输出信息有很大冗余,复数小波变换去噪,DT_CWT(dual-tree complex wavelet transform) 性质： 具有近似平移不变性 对图象信号有良好的方向选择性 完全重构特性 有限的冗余度 较小的计算量,复数小波变换去噪,DT_CWT结构：,复数小波变换去噪,DT_CWT平移不变性的实质：,Real DWT,DT_CWT,复数小波变换去噪,对16个移位阶跃信号的小波函数和尺度函数,复数小波变换去噪,DT_CWT的方向选择性： 二维CWT在分解的每一层提供6个方向复系数的带通子图像,复数小波变换去噪,DT_CWT的方向选择性：,复数小波变换去噪,DT_CWT去噪效果：,原图像,DWT去噪图,含噪图像,DT_CWT去噪图,复数小波变换去噪,几种小波去噪方法的比较,（1）模极大值法去噪,（2）相关性去噪,（3）小波收缩阈值法去噪,（4）平移不变量小波法去噪,
