1、最省砝码设置问题的数学模型【摘要】通过对砝码的最省设置问题的研究，建立了解决这一类问题的数学模型，并给出了一个有效、简便、操作程序化的求解算法。【关键词】砝码，数学模型，算法，猜想。砝码的最省设置问题：用一架天平分别称出1克n克不同物体的重量，最少需要几个天平砝码?砝码各重多少克?我们可以把部分砝码当作“物体”，与物品放在一边，天平平衡时，“砝码”一边的砝码重量之和减去“物体”一边的砝码重量之和就是物体的重量。1 数学实验我们用枚举法，使用计算机做数学实验。用一架天平“称出”1克至n克的不同物体的重量，最少砝码数k和相应个数砝码的取法m的实验结果列入下表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2、 10 11 12 13 14 15 16最少砝码数 k 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4砝码取法种数 m 1 2 3 1 18 22 26 19 19 9 4 3 1 761 890880n 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32最少砝码数 k 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4砝码取法种数 m 920 906 877 719 712 561 469 415 309 227 205 153 106 88 62 46n 33 34 35 36 37 38 39 40 41 77 1
3、20 121最少砝码数 k 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5砝码取法种数 m 36 26 17 14 9 4 3 1 30642 8796 2 1设 ,我们归纳发现：kkt 3312猜想：用一架天平分别称出1克n克不同物体的重量，如果 ，则最少需kktnt1要k+1个砝码。对所有的自然数n，砝码可取 。当 时，它是砝码的)3,1(2 唯一取法。2 数学模型为了叙述的方便，设集合P= ， ，记 ,3210n nml21。),(21lm 0|1 或或ilxmx,21l 0,1|21 liiil x且或或（1）若 或 ，我们称 为P的Pl),(21 Pl),(21 lm,21代数生成元
4、组。（2）代数生成元组的最小个数称为集合P的代数维数 。具有 个生成元的代)()(数生成元组称为极小代数生成元组。（3） 是P的极小代数生成元组，对每一个 都可以唯一地表示成：),(21m Pm，（ ） ，则称 为P的标准代)()(xx 10或ix)(21,数生成元组。由数论中知识，我们有下面与带余除法完全类似的一个正确结论：引理1：对任意的自然数 ，存在唯一的整数 和 ，使得 （aqrrqa3） 。0或或r命题1：对任意自然数 ，令 （x为不超过x的最大整数）,则n2log3nk是集合P= 的一个代数生成元组。)3,(2k ,210证明： ，对任意的自然数 ，即 ，可以类似十进制log3Pm
5、ktn0数转换成二进制数的“除2取余法” ，我们可以作一系列的“带余除法”,直到商数等于零为止： 0rqm10321r其中 =-1或0或1（ ） 。llq31irli,.2从上面式子可得： ， （ ） ，由此可推出3mq31iiqli,.2，所以 ，从而有 ，即上述的“带余除法”130iitmq01kktn0k最多做k+1步后商数为零。如果 ，我们可从上面“带余除法”等式推出：)(lql13 011rrll )(kl我们已证明：对任意的自然数 ， Pm（ 为-1或0或1）；而且容易证明其表示式kkxxxm31210 i是唯一的（证明略）。所以 是集合P= 的一个代数生成元组。)3,(2 ,2n
6、记 ， ，则0,kkk ttP3,kktN。lm),(21 klPm),(21命题3：集合 的代数维数为k+1， 是 唯一的极小,32,10kktN )3,1(2k N代数生成元组,也是唯一的标准代数生成元组。证明：由命题1可知， 有一组代数生成元 ，所以 。k ),3,(2k 1)(k设 ， 为 的任意代数生成元组， ，由于lk)(lm,21 llm3|,(|21的对称性， 的正项与负项的项数相等，从而 ， 1|),|21llm，由 ，得 , 从而有 。213kNkkN),(121 l )(kN设 为 的极小代数生成元组，则121,km k kkm),(121从而 ，所以 ，由此可以推出P)
7、( 213|),(| kkm，即互不相同，且 kkt121 ),(121kx时，有 。),(1y 122 kk myyxxm（否则 ）。从而有 为 标准代数生成|3|,(| 12kkkP 121,km P元组，且 = 。下面我们将 按 的系数不同分为三类：kP),11 ki ,(0 11111 kiiiii mxxmxmA ，11 kiii mB |Aai，则)( 11 iii xxxC |i，且 ，kA3| CBABCAPk , 若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 。BbmiamicBmi（这是因为： ，否则 ，也有 ，否则cicii)( Ai)。设cii)( ,1121 kii ，所以 是
8、最大的 个元素，又因为 是 的最大kitmim, kPi m元素，从而它们不是 的元素；它们也不是 中元素（否则它们每个元素加上 后ACi是 的元素，而这些元素已不在 中）；所以它iiii mm,2,1 AkP们是 中的元素； 应是 中元素；Bii ,21应是 中元素，iii, C又是 中元素，由 可以得出，iii mm231 B|CBA依大小次序排列可分为 段，每段 个元素，且交替为 、 和,0kktPl3imA的元素组，从而有 ，从而 是3的幂，即 (i=1,2,k, k+1)。C|1kPili ti3又 ，所以 (i=1,2,k, k+1)。从而证明了1121 tm 1ii是 的唯一的极
9、小元代数生成元组，也是唯一的标准代)3,(k ,32,0kkN数生成元组。推论1：当对任意的自然数 ,集合P= 的算术维数 。n,3210n )(P12log3n证明：令 ,则 ，因为 ， 2log3kkktt1 kkN1。)()(1NPNkk综上所述，我们实际上已证明了猜想。在解题的过程中，我们建立了解决这一类问题的数学模型：设集合P= ，则 （其中 ）是P的极,3210n )3,1(2k 2log3n小代数生成元组，也是标准代数生成元组。即P中的每一个元素均能唯一地表示成的代数和（即系数可以为-1或0或1），并可采有特殊的 “除3取余法”来求)3,1(2k表达式。当 时， 是P唯一的极小代
10、数生成元组 ,也是唯一的标准代数生ktn)3,(2k成元组。3 解释与应用问题1 用一架天平分别称出1克40克不同物体的重量，最少需要几个天平砝码?砝码各重多少克?如何进行操作？解：取 ，3)402(log3k，故砝码只能取1克、3克、9克、27克243t（唯一的选取方法）。如果物体重量是22克，我们可以作“带余除法”，用左边的“除法”算式表示，我们得到：3 22 “余数”3 7 13 2 13 1 -10 1139)1(2732 即把27克、3克和1克的砝码放在天平的一边，物品与9克砝码放在天平的另一边，若天平平衡，物体的重量为22克。问题2：在集合P= 选取极少的几个数，使得这几个数能以加
11、减运算组成31,20另一些数。解： ，可以选取 1、3、9、27（还可能有其它选法），用)(log3k1、3、9、27以加减运算组成031各数，可用上述特殊的“除3取余法”。4 问题的拓展对于砝码的最省设置问题，如果按人们习惯，天平称物品是砝码和物品各一边，天平平衡时，砝码的重量之和就是物体的重量的，那么答案就不一样了：要用一架天平分别称出1克n克不同物体的重量，令 （x为不超过x的log2nk最大整数），则至少需要k+1个砝码,砝码可取 。当 =),2,1(3时，它是砝码的唯一取法。k221相应的数学模型：设集合P= ，则 （其中 ）,30n ),(2k log2n是P的极小算术生成元组，也
12、是标准算术生成元组。即P中的每一个元素均能唯一地表示成的算术和（系数只能是0或者1），并可采用化十进制为二进制数的 “除2),2,1(k取余法”来求表达式。当 时， 是P唯一的极小算术生成元组,也是唯ksn)2,1(k一的标准算术生成元组。将有限集合P延伸为自然数集合N，则标准代数生成元组也无限延伸 ，)3,1(2 k从而数学模型的内容也随之得到扩展。 是自然数集合N的极小代数生成元)3,1(2 k组，也是标准代数生成元组。即每一个自然数均能唯一地表示成 的代数),3,(2 k和，并可采有特殊的“除3取余法”来求表达式。应该指出：天平砝码问题已不再只是一个简单的物理问题或数学游戏问题，它与很多
13、数学问题有密切的联系，在生活、生产实际中也有较广泛的应用。参考文献：1杨世明，王雪芹.数学发现的艺术M .青岛：青岛海洋大学出版社 ,19982 吕宪军.由一个重要数列谈数学模型的建立J.小学数学教师,2002,4.3 李卫国.高等数学实验课M.北京：高等教育出版社,2000.A Mathematical Model about finding the Minimum WeightAbstract:Through researching the problem about finding the minimum weight, a mathematical model which can solve this problem is established ,and a easy and procedural algorithm is provided.Key words: weight,mathematical model,algorithm,guess.
