1、数学分析-2 样题(一)参考答案一 1. arctnxd22222t()11arcn(3)t 411arcnarctn(t)(5)xxdxxxC分 分 分2. 当 时， ，(12 分)0x1xxxede当 时， . (4 分)2C由 连续知 在 存在原函数，再根据原函数的连续性得xex,1200lim()li(),xxxee从而 21C，于是 ,52.xCd分3. 令 ，则xet2ln(1),txtd当 时， ，当 时， (2 分)0.t原式210td12010()arctn.(5)分4. 记 ，令 ，则20si1coxIdxt2()in()stt2200sinsin(3)1co1co().(
2、4)ttddtIt分分于是 20s1coIt002arn().5)4分二证 用反证法不然，存在 使 （1 分）由 在 的连续0,xab0().fxf0x性，存在 对任意 （记作 ） ， 有0,（6 分）0().2ffx于是， 0()()2.bafdfx与已知条件矛盾. 于是， ()0(,).(10)fxab分三. 证 2 200sinsisinxddx00ii(5)1sn8()txd分分显然 在 连续，且 ,sin()x0,i0()()x故 ，从而0i()dx20sin.1dx分四. 证 记 ，则 ，10()nkkS()nnSx0 1()lim() (5),).nxSx分(1) 在 上若原级数
3、一致收敛，注意到通项 连续，我们有 在, 1 (1)kx()Sx连续，显然 在 处不是左连续的，故原级数在 不一致收0()Sx10, 1敛. (10 分)(2) 在 上， 故原级数在 一致收,0, sup()0 ().nnx, 敛.五. 解 0011()(), (2)adxd分coscosnxnnx00021( )cos(1)4, ,00. (5)ndxdx为 奇 数为 偶 数 分01()sinsin. (8)nbxdxd分于是 214cos()(), , .2nfxx六. 证 (1)由 知: . 同理 . (2 分), 0f(0, )xf(0, )yf(2)2 232 2 1sincos,
4、0, (, y) (4)()0, .x yxyxf 分故 11(, )sincos (0)22xf xx从而 不存在，于是 在 不连续，同理可证 在0lim(, )xf(, y)xf(0, )(, y)fx不连续. (6 分)(,)(3) 对 (, 0xy222()(,)1sin. (8)ffyxxyxy分注意到 ，我们有22y1sinx2(,)0,( )(0, )lim.xyfyfx于是 2(, )(, )0(),fxyfyoxy故 在 可微. (10 分)f(0,)七. 解 设长、宽、高分别为 ，则 ，从而 ，表面积, xyz xzVzxy1(2)2(), (4VS分的定义域为SD=(, )0, .xy由 得 内稳定点2,0yxV3(2, ). (8V分由实际意义，函数 在 内有最小值，因此 就是最小点. 当SD3(2, )V时， 于是，当长、宽、高分别为 ，332, xVy32.Vzxy 32V， 时，最省钢板. (10 分) 33八. 证 对函数 在 上应用中值定理得: 存在 ，使()fx, 1n(, 1)n(4 分)11(1)().nn于是(7 分)1()().(1) (1)nnnn 由此得 121()()1 .()nnkk令 ，则有n(15 分)111().()22n
