1、数 学 分 析 思 考 题 集1第一章 函数思考题：1何谓函数，函数关系，函数值？2函数 y=f(x)与方程 y=f(x)在概念上有何区别？3怎样确定函数的定义域？4怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是否相等？(1)f(x)=x，g(x)=( )2；x(2)f(x)=x- 1，g(x)= ；1(3)f(x)= | x | ，g(x)= ；2x(4)f(x)= ，g(x)= ；121(5)f(x)= ，g(x)= ；2,()x(6) ， .1,xf()1,g()|1|25若函数 y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点？6下列函数是否是初等函
2、数？说明理由.(1)f(x)= | x | ； (2) ；xcosf(x)in)(3)f(x)= ， (4)f(x)= .sin,00 ,c,7设 f(u)与 u= 能复合为 f( )，(x)(x(1)若 f(u)递增(递减) ， 递减，试研究 f( )的单调性 .(2)若 f(u)为奇(偶) 函数， 为偶(奇)函数，试研究 f( )的奇偶性.(x(3)若 f(u)为任意函数， 为偶函数，试研究 f( )的奇偶性 .x2(4)若 f(u)为有界函数， 为任意函数，试问 f( )是否一定是有界函数？(x)(x(5)若 f(u)为任意函数， 为周期函数，试问 f( )是否一定是周期函数？8判断下列
3、命题是否正确，为什么？(1)若 f(x)在 ，上有界，则 f(x)在(a, b)上有界.(a,b)(2)设 f(x)在a, b上有定义，且在 上有界，则 f(x)在a, b上有界.(,)a,b9适合下列条件的函数存在吗？为什么？(1)在 R=(- , + )上严格递增的有界函数. (2)在 R=(- , + )上严格递增的偶函数.(3)在 R=(- , + )上严格递减的奇函数.(4)在( - , )内为偶函数，且在 R=(- , + ) 上又为奇函数.(5)在 R 上严格递增的周期函数. 10设 f(x)在 R 上有定义，且满足 f(x) 0，f(xy)=f(x)f(y)，试求 f(1990
4、).11用肯定语气叙述：在( - , + )上(1)f(x)不是偶函数； (2)f(x)不是周期函数；(3)f(x)不是单增函数； (4)f(x)不是单调函数.12用肯定语气叙述：(1)f(x)在a, b上无下界；(2)f(x)在 上没有零点；a,b)(3)f(x)在(a, b)上没有比中点函数值大的点.13若 f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数.14设 f(x)满足关系式 2f(x)+ (k 为常数) ，证明： f(x)为奇函数.1kf(x15设 f(x)为( - , + )上的奇函数，且在 上严格增，求证：f(x)在( - , +)0,上严格增.16设 ，函数 f(x)及
5、g(x)对任意的 分别满足0a112x,及21fx()af(x)af()1 2ggg且 g(x)为单减函数，试证：3.1212gf(ax)agf(x)agf(x)17设 f(x)在( - , + )上严格增，且恒有 ff(f(x)=f(x)，试证：必有 f(x)=x.18若 f(x)是在 (- , + )上单增的偶函数，且 f(0)=0，则 f(x) 0.19若 f(x)满足条件：对 有 f(x + )=- f(x) ( 0)，xR证明：f(x) 是以 为周期的函数 .20设常数 a0，函数 f(x) ，且 f(x + a)= ，x ，试证：f(x)是以 2a 为周01f()R期的周期函数.2
6、1若 y=f(x)(x )的图形关于两直线 x=a 与 x=b(a0)是以 为周期的周期函数.Ta24函数 y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？25选择填空：(1)奇、偶函数的定义域一定是_.(A)R (B)关于原点对称的区间(C)关于原点对称的点集 (D)A、B 、C 都不对(2)函数 f(x)= 是_.cosx|in|e,(,)(A)有界函数 (B)单调函数(C)周期函数 (D)偶函数(3)函数 D(x)= 是_.1,x0为 有 理 数为 无 理 数(A)非奇非偶函数 (B)有界函数(C)非周期函数 (D)偶函数4(E)有界周期偶函数(4)若 f(x)为奇函数，则下列_款中的函数也是奇
7、函数.(A)f(x)+ a ( ，为常数) (B)ff(x)0(C)f(- x)+ a ( ，为常数) (D)f(x)+ f(- x)(5)设 f(x) ， )x(= ，2x,|12,|10则复合函数 由_款表示.f()(A)f = (B)f =(x)2,|1x(x)6,|x12(C)f = (D)f =(),|(),|x1(6)函数 y= 的反函数是 _.x21(A) (B)2logy(x)2ylogxl(1)(C) (D)2l1l补充题1(1) 对吗？na|(2)如果在 | x | b 中去掉绝对值记号，应该怎样写？(3)试用 | a + b |，| a - b | 表示 Maxa, b，
8、Mina, b.2证明下列不等式：(1)n!2n (n3)(2)2nn2 (n )5(3)nn (n!)2 (n )3(4) 114n(5)n!1)n25(6)若 x- 1，则(1 + x) n (1 + nx)(n ) (这个不等式称为 Bernoulli 不等式)N(7)设 (i=1, 2, n)且 an=1，则 a1 + a2 + + an n.ia0, 12 (8)设 ai0(i=1, 2, , n)，则，12nn12na .n12n12na1aa (9) )12n12n|xx|(|x| (10)设 a1, a2, , an； b1, b2, , bn 为两组实数，则 2iii13解下
9、列不等式(1)| 2x + 4 | 10； (2)| x(x- 1)| 1；(7) 20, x20，求证：(0,)若 单增，则 f(x1+x2) f(x1)+f(x2).fx)10一半径为 a 的圆铁片，自中心剪去一角形，将剩余部分(中心角为 )围成一个无底圆锥，试建立圆锥容积 V 与中心角 之间的函数关系.11证明：函数 f(x)=ax (a0, a 1)，对一切实数 x1 x2 恒有.1212f()f()x12设 (a )，证明：xaebf()bf(2x)- f(- 2x)=f2(x)- f2(- x).13设 f(x)= ，试证：1xlg.yzf(y)f()114设 f(x)= ，解方程
10、 .x322f()f(x315(1)设 f(x+ )= ，求 f(x).12(2)设 ，求 f(cos ).xf(sin)cosx216设 f(x)为( - , +)上的奇函数，f(1)=a ，且对任意 x 值均有：f(x+2) - f(x)=f(2)(1)试用 a 表示 f(2)与 f(5)；(2)问 a 取什么值时，f(x)是以 2 为周期的周期函数？17研究下列函数有界性(1)f(x)= ；2x1(2)f(x)=x2 分别在(a, b)及( - , +) 上；7(3)f(x)= ；x12(4)f(x)= .18在物理及工程技术中还用到“双曲函数” ，它们的定义为：双曲正弦 xesh2双曲余弦 xc双曲正切 xshet双曲余切 xctse试证：(1) 2chxs1(2) (y)chxsy(3) ， 22shxc(4) 1tchx(5) (- x+)12sln(1)(12chxl()x1)
