1、变上限函数求导公式的应用 曹卫锋 梅霞 江苏农林职业技术学院基础部 摘 要： 变上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数, 它独特的求导公式广泛应 用于解决求导 (或多元函数求偏导) 、求极限、讨论函数性状、计算累次积分以 及作为辅助函数进行定积分的证明等一系列微积分问题。 关键词： 变上限函数; 求导公式; 积分; 应用; 作者简介：曹卫锋 (1980-) , 女, 江苏通州人, 江苏农林职业技术学院讲师、 硕士, 方向:应用数学; 作者简介：梅霞 (1968-) , 女, 江苏泰州人, 江苏农林职业技术学院基础部主 任、副教授, 方向:应用数学。 The Application of t
2、he Formula for the Derivation of the Variable Upper Limit Function CAO Wei-feng MEI Xia Jiangsu Polytechnic College of Agriculture and Forestry; Abstract： The variable upper limit function is a kind of function with special forms in calculus, whose unique derivation formula is widely applied to a se
3、ries of questions in calculus, such as finding derivatives and limit, discussing characters of a function, calculating the iterated integral, carrying out the proof of the definite integral as an assistant function, and so on. Keyword： variable upper limit function; derivation formula; calculus; app
4、lication; 一、概念及性质 定义:若函数 f (t) 在区间a, b上可积, 则 有唯一确定的值af (t) dt与之对应, 因此在区间a, b上可定义一个函数, 称为变上限函数。记 作 定理:若函数 f (x) 在区间a, b上连续, 则 (1) 式定义的变上限函数 (x) 在a, b上可导, 且 即连续函数的变上限函数对上限求导等于被积函数。 利用复合函数的求导法则, 可以得出变上限函数为复合函数的求导公式: 设f (x) 在区间a, b上连续, (x) 在a, b上可导, 则 设f (x) 在区间a, b上连续, (x) 、 (x) 在a, b上可导, 则 在教学过程中不难发现,
5、 许多微积分问题用变上限函数的求导公式 (1) 、 (2) 、 (3) 解决既方便又简单。 二、应用举例 (一) 应用之一:求导或极限问题 分析所求极限是 型未定式, 使用罗必达法则, 并结合使用变上限函数 的求导公式 (1) 、 (2) 。 (二) 应用之二:讨论函数性状问题 (单调性、最值、周期等等) 证明:由公式 (1) , 得 按假设, 在0, x (x0) 上f (t) 0, (x-t) f (t) 0 且 (x-t) f (t) 0, 根据定积分的性质可知 所以F (x) 0 (x0) , 从而F (x) 在 (0, +) 内为单调增加函数。 (三) 应用之三:求多元函数偏导问题
6、在进行多元函数求导的过程中, 也会遇到含有变上限函数的求导问题, 要解决 这一问题, 常用的方法是利用一元函数变上限的求导公式, 在求导的过程中, 其关键就在于要弄清函数关系。 分析根据求导自变量的变化, 变上限函数 既可看成x的函数, 又可看 成y的函数, 使用变上限函数求导公式即可。 (四) 应用之四:计算累次积分问题 计算累次积分时, 会遇到“先积的那个积分的被积函数的原函数不能用初等函 数表达”这种情况。往往要通过交换积分次序, 方能计算出结果。若通过引入变 上限函数, 再利用分部积分法, 可以简化一些特殊的累次积分计算。 利用分部积分法, 得 (五) 应用之五:与定积分有关的证明问题
7、 证明与定积分有关的等式或不等式问题往往需要较多的技巧。 一般先利用变上限 积分构造函数, 再利用导数确定该辅助函数的单调性的方法加以证明。 这种证明 方法思路清晰, 辅助函数的构造方法规律明显, 能较易掌握并熟练应用。 利用分部积分公式, 得: 注:本题也可以利用二重积分交换积分次序来证明。 因为f (x) 在a, b上单调增加, 所以当a0, 从 而在 (a, b) 内, F (t) 0。又F (t) 在a, b上连续, 故F (t) 在a, b 上单调增加。于是 F (b) F (a) =0, 参考文献 1同济大学数学教研室.高等数学 (上册) 第四版M.北京:高等教育出版社, 2002:293-294. 2刘玉链, 付沛仁.数学分析讲义第三版M.北京:高等教育出版社, 1990. 3范克新, 胡建平.高等数学自学考试指南M.南京:东南大学出版社, 1994.
