1、九年级数学下 新课标北师,第三章 圆,4 圆周角与圆心角的关系（第1课时）,学 习 新 知,如图所示，有一只小蚂蚁从C点出发，沿着圆周的方向逆时针爬行，在爬行的过程中，蚂蚁所在的点B与点A，C所组成的ABC的度数会发生变化吗?若AOC=60，那么ABC的度数可能是多少? 猜测:ABC的度数应该不会发生变化，ABC的度数可能是30.,【问题】 ABC是什么角?圆心角AOC和ABC之间有什么样的关系?,圆周角的概念,如图所示，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(ABC)有关.当球员分别站在B，D，E的位置上射门时，哪个位置进球的可能性大?,【问题】 图中的三个角ABC，ADC，
2、AEC，以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?,三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.,圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.,判断下列图中的角是否是圆周角，并说明理由.,不是,是,不是,是,不是,不是,是,不是,圆周角与圆心角的关系,问题1 请你画出几个 所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.,操作并思考下面的问题: 1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的? 2.你能画出多少个圆周角?,展示：1.使用量角器进行测量可得 所对的圆周角的度数都相等. 2.可
3、以画出无数个相等的圆周角.,问题2 这些圆周角与圆心角AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.,利用量角器得出 所对的圆周角都等于40,都等于 所对的圆心角80的一半.,【议一议】 如果改变图中的AOB的度数,上面的结论还成立吗?,圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.,如图所示，AOB= 80.,圆周角定理的证明,圆周角与圆心的位置关系只有三种: (1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示）； (2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示); (3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).,证明一：圆心在圆周角的一边上,思考下面的问题: 1.AOC是什么三角形?
4、 2.AOB与AOC有什么关系?,如图(1)所示,ACB是 所对的圆周角,AOB是 所对的圆心角.求证C= AOB.,证明:圆心O在C的一条边上,如图(1)所示. AOB是AOC的外角,AOB=A+C.,OA=OC, A=C. AOB=2C,即C= AOB.,证明二:圆心O在圆周角的内部(如图所示).,在O中作直径CD,由前面的结论可知ACD= AOD，BCD= BOD,ACD+BCD= AOD+ BOD. 即ACB= AOB.,证明二:圆心O在圆周角的外部(如图所示).,在O中作直径CD,由前面的结论可知ACD= AOD,BCD= BOD,ACD-BCD= AOD- BOD. 即ACB= A
5、OB.,【想一想】 在射门游戏中,当球员在B，D，E处射门时,所形成的三个张角ABC，ADC，AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?,如图所示，因为ABC，ADC，AEC都是同一条 所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于 所对的圆心角AOC度数的一半，所以这三个角都相等.,【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?,圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.,知识拓展 在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.,【强调】 (1)“同弧”指“同一个圆”. (2)“等弧”指“在同圆或等圆中”. (3)“同弧或等弧”不能改为“
6、同弦或等弦”.,检测反馈,1.(2014温州中考)如图所示,已知A,B,C在O上, 为优弧,下列选项中与AOB相等的是 ( ) A.2C B.4B C.4A D.B+C,解析:由圆周角定理可得AOB=2C.故选A.,A,2.如图所示,在O中，ACOB，BAO=25，则BOC的度数为 ( ) A.25 B.50 C.60 D.80,解析:OA=OB，B=BAO=25，ACOB,BAC=B=25，BOC=2BAC=50.故选B.,B,3.如图所示,O的直径CDAB,AOC=50，则CDB的大小为 .,解析:由垂径定理,得 ，CDB= AOC=25.故填25.,25,4.如图所示,O是ABC的外接圆,点D为 上一点,ABC=BDC=60,AC=3 cm,求ABC的周长.,解: BDC=BAC. ABC=BDC=60, ABC=BAC=60,ACB=60. ABC为等边三角形. AC=3 cm,ABC的周长为33=9(cm).,
