1、牛吃草问题经典例题一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有 12 个人淘水，3 小时可以淘完；如果只有 5 人淘水，要 10 小时才能淘完。求 17 人几小时可以淘完？解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为 1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3 小时内的总水量1123原有水量3 小时进水量10 小时内的总水量1510原有水量10 小时进水量所以，（103）小时内的进水量为 1510112314因此，每小时的进水量为 14（103）2（2）求淘水前原有水量原有水量11233
2、小时进水量362330（3）求 17 人几小时淘完17 人每小时淘水量为 17，因为每小时漏进水为 2，所以实际上船中每小时减少的水量为（172），所以 17 人淘完水的时间是30（172）2（小时）答：17 人 2 小时可以淘完水。1、 在一片牧场里，放养 4 头牛，吃 6 亩草，18 天可以吃完：放养 6 头牛，吃 10 亩草，30天可以吃完，请问放入多少头牛，吃 8 亩草，24 天可以吃完？（假定这片牧场每亩中的原草量相同，且每天草的生长两相等）2、有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车人。这三辆车分別用 6 小时、10 小时、12 小时追上骑车人。現在知道快
3、车每小时走 24 千米，中速車每小时走 20 千米，那么，慢速車每小時走多少千米？提示：找到题中的“牛”与“草” ，你就成功了一半。3、某游乐场在开门前已经有 100 个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个入口处每分钟可以放入 10 名游客，如果开放 2 个入口 20 分钟后就没有人排队，现在开放8 个入口处，没分钟关闭一个门，那么开门后几分钟就没人排队了？提示：解答出“原来一共的人 ”和“每分钟来的人” 后，要结合我们很擅长的等差数列问题来解决。序章：问题提出 我将“牛吃草” 归纳为两大类，用下面两个例题来说明 例 1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供
4、 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几天？ 例 2.有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 分析与解：例 1 是在同一块草地上，例 2 是三块面积不同的草地 （这就两者本质的区别） 第一章：核心思路 普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思 现在来说我的核心思路： 例 1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几天？ 将它想象成一个非常理想化的
5、数学模型：假设 27 头牛中有 X 头是“ 剪草工” ，这 X 头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27X)头牛是真正的“ 顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。 （请慢慢理解，这是关键） 例 1： 解:设每天新增加草量恰可供 X 头牛吃一天 ,21 牛可吃 Y 天（后面所有 X 均为此意） 可供 27 头牛吃 6 天，列式:（27 X）6 注：（27X）头牛 6 天把草场吃完 可供 23 头牛吃 9 天，列式:（23 X）9 注：（23X）头牛 9 天把草场吃完 可供 21 头牛吃几天？列式：（21X ）Y 注：（21X）头牛
6、 Y 天把草场吃完 因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面 1、2、3 （27X）6（23X）9（21X）Y （27X）6（23X）9 【1 】 （23X）9（21X）Y 【2】 解这个方程组，得 X15（头） Y12（天） 例 2：有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 解析：现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来 （这是面积不同时得解题关键） 求【5 ， 6，8】得最小公倍数为 120
7、 1、因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天，120524，所以 120 公顷草地可供 11*24264(头)牛吃 10天 2、因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120620，所以 120 公顷草地可供 12*20240(头)牛吃 14天 3、120815 ，问题变为：120 公顷草地可供 19*15285(头)牛吃几天？ 这样一来，例 2 就转化为例 1，同理可得： （264 X ）10（240X）14（285X ）Y （264 X ）10（240X）14 【1】 （240 X ）14（285X）Y 【2 】 解方程组：X=180（头） Y=8（天） 典型例题“牛吃草”
8、已介绍完毕。 第二章：“牛吃草”变型 以下几道题目都是“牛吃草”的变型，解法和上面我讲的一摸一样，因为我在前边写的很详细了，所以下面的例题不再给出详解，略作说明即可。请大家自行验证。 例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可供多少头牛吃 10 天？ 解析：本题的不同点在草匀速减少，不管它，和前边设 X、Y 一样来理想化，解出的 X 为负数（无所谓，因为 X 是我们理想化的产物，没有实际意义） ，解出 Y 为我们所求。 例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从
9、扶梯上楼已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上问：该扶梯共有多少级？ 解析：总楼梯数即总草量，设略 列式（20X）5（15-X）6 X= 10（级）？（例 3 已说过，X 是理想化的产物，没有实际意义） 将 X=10 代入（ 20X）5 得 150 级楼梯 例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 解析：原有旅客即原有草量，新来排队得旅客即每天新
10、长出得草量，其它不用我多说了吧。 例 6 现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用 8 台抽水机 10 天可以抽干；用 6 台抽水机 20 天能抽干。问：若要 5 天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？ 解析：原有水量即原有草量，新匀速注入得水即每天新长出得草量，继续。 。 。 。 。 。 例 7 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 解析：（10-X）*3=(5-x)*8=(n-x)*2。 例 8、牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供 16 头牛吃
11、20 天，或者供 80 只羊吃 12天，如果一头牛一天吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 解析：思路，把羊转化为牛 4 羊 1 牛， “也可以供 80 只羊吃 12 天”相当于“20 头牛吃 12 天” 现在是“10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草” 相当于“1060425 头牛吃草” 16-x*20=20-x*12=25-x*y x=10 y=8 例 9.某牧场上长满牧草, 每天匀速生长,这片牧草供 17 头牛吃 30 天,19 头牛吃 24 天,现有一群牛吃了 6 天,主人卖掉了 4 头牛 ,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几
12、头? 解：设原有 Y 头，x 还是“剪草的” 17-x*30=19-x*24=y-x*6+y-4-x*2 注意：剩下的 2 天已经卖掉了 4 头牛，要分开计算 （y-x-4）*（6+2） ，这样列式就错了 x=9 y=40 例 10.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市 12 万人使用 20 年，在迁入 3 万人之后，只能供全市人民使用 15 年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至 30 年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?( ) A. 2/5 B. 2/7 C. 1/3 D. 1/4 解析： 12-x*20=15-x*15=y-x*30 x=3 y=9 15-9=
13、6 即多出 6 万人，这 6 万人要用 15 万人的 6/15=2/5 例 11.有一个水池，池底有一个出水口，用 3 台抽水机 24 小时可将水抽完，用 9 台抽水机 12 小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？解析：（3-X ） *24=（9-X）*12 得 X=-3(不要理会负数，按正 3 理解好了)带入 X 到上式， （3+3）*24）/X=48 所以是 481、一片牧草，每天生长的速度相同。想在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量。那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃多少天？2、一
14、个水池，池底有水流均匀涌出，若将满池水抽干，用 10 台水泵需 2 小时，用 5 台同样的水泵需 7 小时，先要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？3、有一片草，可供 8 只羊吃 20 天，或供 14 只羊吃 10 天。假设草的每天生长速度不变，现有羊若干只，吃了 4 天后又增加了 6 只，这样又吃了 2 天便将草吃完，问有羊多少只？4、12 头牛 4 周吃完 6 公顷的牧草，20 头牛 6 周吃完 12 公顷的牧草，假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，问多少头牛 8 周吃完 16 公顷的牧草？5、甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发，出发后 6 分钟甲车超过了一名长跑运动员，
15、过了2 分钟后乙车也超过去了，又过了 2 分钟丙车也超了过去。已知甲车每分钟走 1000 米，乙车每分钟走 800 米，求丙车的速度。1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。可供 25 头牛吃多少天？2、牧场上一片牧草，可供 27 头牛吃 6 周，或者可供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速生长，可供 21 头牛吃几周？3、牧场上长满牧草，每天牧草匀速生长。可供 4 只羊吃吃 15 天，或者可供 8 只羊吃 7 天；若想这片草地吃 5 天，可放养多少只羊？4、有一片牧场上的草都匀速生长。可供 24 只羊吃 6 天，或者 2
16、1 只羊吃 8 天。放养 16 只羊，则可以吃多少天？5、24 头牛 6 天可将一片牧草吃完；21 头牛 8 天也可将牧草吃完。如果每天草匀速生长，要使这片牧草永远吃不完，最多可放养多少头牛？ 6、有一条船因触礁船体破了个洞，海水均匀地进入船内，发现漏船时，船已进了些水。如果 12 人掏水 3 小时掏完，如果 5 个人掏水则 10 小时可以掏完。如果在 5 小时内掏完，需要安排几人？7、某水库原有一定存水，河水均匀入库，5 台抽水机连续 20 天可将水库的水抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可将水抽干。若要 6 天抽干水库的水，需要多少台抽水机？8、一条船漏了，从破洞中每小时涌进船内的水量
17、相等。发现船漏时已涌进了一些水。如果3 个人排水 3.6 小时可以把水排完；如果 5 个人排水则 2 小时将水排完，现在要 1.2 小时将水排完，则需要多少人？9、某游乐场在开门前已经有 100 人排队等待，开门后每分钟来的游人是相同的，一个入口处每分钟可以放入 10 名游客，如果开放 2 个入口处，20 分钟就没有人排队。现在开放4 个入口处，那么开门后多少分钟就没有人排队了？10、有一池水，池底有泉水不断涌出。10 台抽水机需要 8 小时，8 台抽水机需要 12 小时。如果用 6 台抽水机，需要多少小时？11、因天气变冷，牧场上的草匀速减少。已知牧场上的草可供 33 头牛吃 5 天，或可供
18、 24头牛吃 6 天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天？12、有一水池，池底有个打开的出水口。如果用 5 台抽水机 20 小时可将水抽完，如果用 8台抽水机 15 小时可将水抽完。如果仅靠出水口，把水漏完需要几小时？13、由于天气逐渐变冷，牧场上的草匀速减少。经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。则 11 头牛可吃多少天？14、有一片牧草每天匀速生长，可供 16 头大牛吃 20 天，或者可供 80 头小牛吃 12 天。如果 1 头大牛的草量相当于 4 头小牛的草量。那么 10 头大牛与 60 头小牛一起吃，可以吃几天？15、甲从 A 地出发行了一段时间后，乙丙丁三人同时从 A 地出发，沿同一路线追甲。乙丙丁分别用 3 小时、5 小时、6 小时追上甲。已知乙每小时行 18 千米，丙每小时行 16 千米，那么丁每小时行多少千米？16、甲乙丙三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个行人，这三辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上这个行人。已知甲车每小时行 24 千米，乙车每小时行 20 千米，则丙车每小时行多少千米？17、有一片牧草匀速生长。它可供 17 只羊吃 30 天；或者 19 只羊吃 24 天。现有若干只羊，6 天后卖了 4 只，余下的羊 2 天将草吃完，则原来有羊多少只？
