1、1函数与导数（四）考试时间：45 分钟姓名：_班级：_考号：_题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设函数 ()fx的定义域为 R, 0()x是 (fx的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ,)Rf B 0是 ()f的极小值点 C 0x是 (的极小值点 D x是 的极小值点2.设直线 x=t 与函数 2)fx和函数 ()lng的图像分别交于点 M,N,则当 MN达到最小时 t 的值为（ ）A.1 B. 1 C. 52 D. 23.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定
2、的不等实数 ，不等式(1)fx 12,x恒成立，则不等式 的解集为( )12121()()fffxf(1)0fA （1， ） B （- ，0） C （0， ） D （- ，1）4.已知 是函数 的一个零点,若 , ,则( )0x()1fxx10()x20()xA. B.12(),()0ff12()0,()ffC. D.12(),()fxf12(),()fxf5.下列函数 中，满足“对任意 . 2（0， ） ，当 1x 2的 （ ） ()fx= 1 ()fx= 21 ()f= xe ()ln)f.A.B.C.D6.已知 ，当 取得最大值时，在 这十个数中等于 -6 的数共有（ 60,.,i-01
3、5i=102i=1,20.x）(A) 1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D) 4 个7.函数 ()yfx的图象是以原点为圆心，1 为半径的两段圆弧，则不等式 ()fxfx的解集为 （ ）-11-1 A.25,)(0,B.251,0)(,)C. 251,)(0,)D.251,)(,18.已知定义在区间 上的函数 的图像如图所示，对于满足 的任意 . ，给出下列结论：,1()yfx12x1x2 ； ； .2121()fxfx212()()ff12()fxff y x O 1 1 其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D.9.已知函数 . 设关于 x 的不等式 的解集为 A, 若 , 则
4、实数 a 的取值范围是()1|)fxax()(fxaf1,2A(A) (B) (C) (D) 5,0213,0215,0213, 5,10.函数 f(x)ln 的图象是 ( )(x1x)y-11x0 y-101x y-1 01xx10y -1A B C D11.设函数1()ln(0),3fxx则 ()yfx（ ）A.在区间,e内均有零点 B.在区间1(,)e内均无零点C.在区间1(,)内有零点，在区间 (1,)e内无零点 D.在区间,内无零点，在区间 (1,)e内有零点12.定义区间 ， ， ， 的长度均为 ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, ab, ) abdba2的长度 . 用
5、表示不超过 的最大整数，记 ，其中 . 设(1, 2)3, 5(21)53dxxxxR， ，若用 分别表示不等式 ，方程 ，不等式fxgx12,d()fg()fg解集区间的长度，则当 时，有 （ ）()0x （A） （B）123, , 8dd123,09d（C） （D）52 6二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）13.已知 f（x）=x|x1|+1，f（2 x）= （其中 x0） ，则 x= 14.有下列说法：用二分法研究函数 的近似解时，第一次经计算 ，第二次应3()1()fab(0),(.6)0ff计算 ；函数 的零点所在大致区间 ；对于函数 ，若 ，(0.3)f
6、 2()lnfx2,33()fxmn,()fafb则函数 在 内至多有一个零点； 或 ； 有两个不同的零点，则 是 的fx,ab:pm62:qy pq充要条件，其中说法正确的是 （将所有正确说法的序号全部填在横线上）.15.已知函数 则方程 恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是_.16,()lnxf()fxaa16.设函数 32lfxem，记 g，若函数 ()gx至少存在一个零点，则实数 的取值范围是 m17.已知 ，若 的零点个数不为 ，则 的最小值为 .()1f|+|()xfa0a18.若函数 ( )满足 且 时， ,函数 ,则函yfxR2()ffx1,2()1fx7log (0)()
7、1x数 在区间 内零点的个数有_个.()hfg7 ,三、解答题（本大题共 2 小题，共 28 分）19.已知函数 ( ). ()xafxe0(1)当 时,求函数 的单调区间;1af(2)当 时 , 取得极值. 5x()x 若 ,求函数 在 上的最小值; mf,1m 求证:对任意 ,都有 .12x2|()|fxf20.已知函数 f( x) = 3，g ( x)= + 。（1）求函数 h ( )= f( )-g ( )的零点个数。并说明理由；（2）设数列 na（ nN）满足 1(0)ao， 1()(nnfag，证明：存在常熟 M,使得 对于任意的 n，都有 M.3一、选择题19.C20.D21.B
8、22.B【解析】由于函数 在 上单调递增()1gxx(1,)函数 在 上单调递增,故函数()2xh()fxhgx在 上单调递增,所以函数 在 上只有唯一的1()f,)零点 ,所以在 上 ,在 上 .00(1,)0fx0f23.A 24.C25.C26.B 27.A 28.B29.D30.B 二、填空题31.考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：由已知得 ，由此能求出 解答：f（x）=x|x1|+1，f（2 x）= （其中 x0） ， ， ，x0，（2 x） 22 x =0，解得 2x= ， 故答案为： 点评：本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用32.33 1
9、6,)e34.2(,35.1 36.12三、解答题437.解：(1) 211()(2)(2)xxxaaafxeeea当 时, (3xf解 得 或 , 解 得 ()0fx()0f3x所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为 (,0)(2)当 时, 取得极值, 所以 5x)fx1(5)2xaf ea解得 (经检验 符合题意) 2a2a1)xfxe(,5)(5,0)(0,)()fx+ 0 - 0 + 所以函数 在 , 递增,在 递减 ()fx55,当 时, 在 单调递减, 51m()f1m2in()3fxfe当 时 00在 单调递减,在 单调递增, f,1min()02fxf当 时, 在 单调递增,
10、m()fx,m 2i )(1me综上, 在 上的最小值 12min2(3),51,() 0)(,.mefx令 得 (舍) ()0fx5x因为 所以 2,()2,10ffmaxmin()0,()2ffx所以,对任意 ,都有1x12ai|()|38.解析：（I）由 3()hx知， ,，而 ()h，且 (1)0,(2)60h，则 x为()hx的一个零点，且 ()hx在 12（ ， ） 内有零点，因此 ()hx至少有两个零点解法 1： 23，记122()3x，则321()64x。当 (0,)x时， ()0x，因此 在 0,)上单调递增，则 在 (0,)内至多只有一个零点。又因为31,，则 在 3(,1
11、)内有零点，所以 ()x在 ,)内有且只有一个零点。记此零点为 1x，则当 1(0,)x时， 1()0x；当 1(,)x时， 10；所以，当 1(,)时， ()h单调递减，而 ()h，则 ()x在 10,内无零点；当 x时， x单调递增，则 在 1,内至多只有一个零点；从而 ()在 0,)内至多只有一个零点。综上所述， ()hx有且只有两个零点。解法 2：122()hxx，记122()x，则321x。当 (0,)时， 0，因此 在 0,)上单调递增，则 ()在 0,)内至多只有一个零点。因此hx在 内也至多只有一个零点，综上所述， ()有且只有两个零点。（II）记 x的正零点为 0x，即 30
12、x。（1）当 0a时，由 1a，即 1.而 3 32100ax，因此 20ax，由此猜测： 0nax。下面用数学归纳法证明：当 n时， 10x显然成立；假设当 ()k时，有 0kax成立，则当 1nk时，由3 310kkax知， 10k，因此，当 时， 10kax成立。故对任意的 *nN， n成立。（2）当 0x时，由（1）知， ()hx在 0,)上单调递增。则 0()hx，即 3a。从而3 3aa，即 2a，由此猜测： na。下面用数学归纳法证明：当 n时， 1显然成立；5假设当 (1)nk时，有 ka成立，则当 1nk时，由3 31kka知， 1k，因此，当 时， 1ka成立。故对任意的 *N， n成立。综上所述，存在常数 0max,M，使得对于任意的 *nN，都有 nM.
