1、1立体几何（一）考试时间：45 分钟姓名：_班级：_考号：_一、解答题（本大题共 5 小题，共 100 分）1.（2015 四川高考真题）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC的中点为 M， GH的中点为 N（1）请将字母 ,F标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线 /N平面 BD（3）求二面角 AE的余弦值.2.如图，在四棱锥 中， ， ， ，PABCDA/BCDA， 分别为 的中点， .2AD,EF,PE（1）求证：平面 平面 ；（2）设 ，若平面 与平面 所成锐二面角 ，求 的取值范围.PAaEBDAC43，a3.已知四棱锥 PA
2、BCD中， 平面 ，底面 ABCD是边长为 a的菱形，120， b（）求证：平面 平面 ；PA（）设 与 交于点 O， M为 中点，若二面角 OPM的正切值为 26，求:ab的值4.如图，在三棱锥 中， 分别为棱 的中点已知PABCDEF， ， PCAB， ， 6PAC， ，28BC， 5DF（1）求证：直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC5.如图，正方形 的边长为 2， 分别为 的中点，在五棱锥AMDECB,MDA, ABCDEP中， 为棱 的中点，平面 与棱 分别交于点 .FPEABFPCD,HG,（1）求证： ；GAB/（2）若 底面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的大
3、小，并求线CDEBAF段 的长.H3一、解答题6.【答案】 （1）点 F、G、H 的位置如图所示.（2）详见解析.（3） 23【解析】 （1）点 F、G、H、的位置如图所示.MD CA BEFHG（2）连结 BD，设 O为 BD的中点.因为 M、N 分别是 BC、GH 的中点，所以 OMCD,且 OM= ,NHCD,且 NH= ,12CD12CD所以 OMNH,OM=NH, 所以 OMNH,OM=NH, 所以 MNHO是平行四边形，从而 MHOH, 又 MN 平面 BDH,OH 平面 BDH, 所以 MN平面 BDH.(3).连接 AC，过 M作 MPAC 于 P.在正方形 ABCD-EFGH
4、中，ACEG,所以 MPEG,过 P作 PKEG 于 K，连结 KM，所以 EG平面 PKM，从而 KMEG,所以PKM 是二面角 A-EG-M的平面角,设 AD=2，则 CM=1，PK=2，在 Rt CMP中,PM=CMsin = ，452在 Rt KMP,KM= = 所以 cosPKM= .2PKM323PKM即二面角 A-EG-M的余弦值为（另外，也可利用空间坐标系求解）【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角
5、与距离的计算. （1）注意 ABCD是底面，将平面展开图还原可得点 F、G、H 的位置. （2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明 MN平行于平面 BDH内的一条直线.连结 O、M，易得 是平行四边NH形，从而 ，进而证得 平面 .（3）要作出二面角 的平面角，/MNOH/MNBDAEG首先要过 M作平面 AEGC的垂线，然后再过垂足作棱 EG的垂线，再将垂足与点 M连结，即可得二面角 的平面角. AEG7.【答案】()略（2）512,a【解析】() /CDB2AB， F分别为 CD的中点，AF为矩形， F EDE,又 E,/AB面 B, 面 AB, 平面 平面 F4 () EFDCE,
6、又 P/， PDABC,/又 PAB,所以 面 A, B 建系 为 x轴， 为 y轴， 为 z轴,)0,2(),1(D),(a， )0,2(C,)1(aE平面 BC法向量 1(,)n，平面 BD法向量 )2,(2an2,145cos2a，可得52,a.【思路点拨】 EFA,/ AE,面 BF, 面 ABE, 平面 ABE平面 。 1(0,)n， )2,(2an2,145cos2a，可得512,a.8.【答案】 （）略；（） :43ab解析：（） 因为 PA平面 ABCD，所以 PABD，又 ABCD为菱形，所以 ACBD,所以 BD平面 PAC，从而平面 PBD平面 PAC（）如图,以 A为原
7、点, ,DP所在直线为 y轴, z轴建立空间直角坐标系，则 (0,)(,0)PbDa, 3(,0)8Ma, 31(,0)4Oa，从而 , ,Pb,D，因为 BD平面 PAC,所以平面 PMO的一个法向量为 3(,0)4ODa， 设平面 PMD的法向量为 (,)nxyz,由 ,PnM得30, 08PDnaybzPMaybz取 5,3x，即 5(,)，设与 的夹角为 ，则二面角O大小与 相等从而 tan26，得 cos15253114cos 5|7bDn从而 43ba，即 :【思路点拨】证明面面垂直通常利用面面垂直的判定定理进行证明，已知二面角可通过两面的法向量的夹角建立等量关系进行解答.9.（1
8、） 为 中点 DE PADE， PCA， 平面 DEF， DE 平面 DEF PA平面 DEFPA（2） 分别为 中点 ， ， 132DEPA 为 中点 EF， CB， 4FBC ， DE EF222D90 ，/PA， DEA , 平面 ABC, 平面 ABC, DE平面 ABCCEFF DE 平面 BDE， 平面 BDE平面 ABC10.解：（I）在正方形中，因为 B是 AM的中点，所以 。ABDE又因为 平面 PDE，AB所以 平面 PDE，因为 平面 ABF，且平面 平面 ，AFPFG所以 。FG（）因为 底面 ABCDE,所以 ， .PBAE如图建立空间直角坐标系 ，则 ， , , , ,xyz(0,)(10)(2)C(02)P(1)F5.BC(1,0)设平面 ABF的法向量为 ，则(,)nxyz即,0nAF,0.yz令 ，则 。所以 ，设直线 BC与平面 ABF所成角为 a,则1,z(,1)n。sinco,2BCa因此直线 BC与平面 ABF所成角的大小为 。6设点 H的坐标为 。(,).uvw因为点 H在棱 PC上，所以可设 ，(01),PHC即 。所以 。(,2)(,1).v2,2uvw因为 是平面 ABF的法向量，所以 ，即 。nnAB(,)(,2)0解得 ，所以点 H的坐标为 。34(,).3所以 224()P
