1、1数列综合题（一）考试时间：45 分钟姓名：_班级：_考号：_题号 一 总分得分一、解答题（本大题共 5 小题，共 100 分）1.设数列 各项均为正数，且满足 na21nna（I）求证：对一切 n2，都有 （II）已知 前 n项和为 ，求证：对一切 n2，都有 nS21nnS2.设不等式组 所表示的平面区域 ，记 内整点的个数为 （横纵坐标均为整40()xynNnDna数的点称为整点） 。（1） 时，先在平面直角坐标系中做出平面区域 ，在求 的值；2 n2a（2）求数列 的通项公式；na（3）记数列 的前 n项和为 ，试证明：对任意 ，恒有nSnN1223S成立。25(1)NSn3.（201
2、5 重庆高考真题）在数列 中，na21113, 0nnaanN（I）若 求数列 的通项公式；0,2,（II）若 证明：002,1,kN0100223ka4.已知首项大于 的等差数列 的公差 ，且 0na1d231a2（1）求数列 的通项公式；na（2）若数列 b满足： 1， 2b，11()nnba，其中 2求数列 n的通项 n；是否存在实数 ，使得数列 为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理n 由5.设数列 的前 n项和为 若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 ，则称 是nanS nmSan“H数列” （1）若数列 的前 n项和 ，证明： 是“ H数列” ；na2()nSN
3、na（2）设 是等差数列，其首项 ，公差 若 是“ H数列” ，求 d的值；n 1a0dn（3）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“ H数列” 和 ，使得n nbnc成立()nnabcN3答案解析一、解答题6.（） ，解得 0 1，221aa当 n=2时， ，不等式成立，2221144假设当 n=k（k2）时，不等式成立，即12k，a则当 n=k+1时，,故当21kka214ka22114()kk 1()3(2)kkn=k+1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切 n2，都有 na（）设 f（x）=ln（x+1）- 1x，x0 则 f(x)= 1x- 2（ ） = 2x1（ ）0，f（x）
4、在（0，+）上是增函数，则 f（x）f（0）=0，即 ln（x+1） x，令 x=1n，代入上式，得12nln(n+2)-ln(n+1)，对一切 n2， + 3+ 14n+ 22112nnanSln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+ln（2n+2）-ln（2n+1）=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2对一切 n2，都有 S2n-Sn-1ln2 7.解：（1）D 2如图中阴影部分所示，在 48的矩形区域内有 59个整点，对角线上有 5个整点，a 2= =25（另解：a 2=1+3+5+7+9=25）（2）直线 y=nx与 x=4交于点 P（4，4n） ，据题意有
5、an= =10n+5（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2） （8 分） = = ， + + + += （ + ）= （ + ） （13 分）【思路点拨】 （1）在 48的矩形区域内有 59个整点，对角线上有 5个整点，可求 a2的值；（2）直线 y=nx与 x=4交于点 P（4，4n） ，即可求数列a n的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论8.解：(1)由 有0,2,2*1().nnaN若存在某个 ，使得 ，则由上述递推公式易得 .*nN0 01na重复上述过程可得 ，此与 矛盾，113所以对任意 ，
6、.*na4从而 既 是一个公比 q=2的等比数列.*12().naNna故 .13nqA（）由 ，数列 的递推关系式变为0,kna变形为 .2110,nnaa2*10nnak由上式及 归纳可得13,21naa 因为 ，2201 000 11nn nnkakaaA所以对 求和得,2k0 00111k kaaa 01001021kk A.00 00233131kk k个另一方面，由上已证的不等式知 得0121kaa0 0100102k kakk A.00 00122kk k个综上， .0100223ka9.【答案】 （1） （2）, 1,(2).nnb)-1n【解析】 （1） 数列 的首项 ，公差
7、 ，na10d， ， 2()nan1231231()()aaa， 13123a整理得 解得 或 （舍去） 因此，数列 的通项 20113ann（2） 1()nnb， 1(1()nnbb） 令 ()c） ，则有 2c， 1nc2当 2n时， ()n， (1nnb)(- 因此，数列 nb的通项, ,(2(2).1n)- 1， 2， 3， 若数列 nb为等比数列，则有 213b，即 21()，解得 1或 2 当 2时， (5)n)-（ ） ， +1n不是常数，数列 nb不是等比数列，当 1时， ， (2n，数列 b为等比数列所以，存在实数 使得数列 nb为等比数列 【思路点拨】 ，则 ，11()nn
8、， 11nnaa1()nb）求出通项，当 2时， 52)2b-（ ） ， +1nb不是常数，数列 不是等比数列，当 时， 1， ()nn，数列 为等比数列所以，存在实数 1使得数列 nb为等比数列 510.（1）当 时，2n 1112nnnnaS当 时，1 时， ，当 时，n1Sa2n 1nSa 是“ H数列”na（2） 1()()22nSdnd对 ， 使 ，即NmnmSa(1)(1)nmd取 得 ，2n1()dd ， ，又 ， ，0N1（3）设 的公差为 dna令 ，对 ，111()(2)nbna11nba，对 ，1ncadN11ncad则 ，且 为等差数列1()n nbanb，的前 n项和 ，令 ，则n 11()2nT1(2)nTma(3)2n当 时 ；1m当 时 ；2当 时，由于 n与 奇偶性不同，即 非负偶数，3n 3(3)nN因此对 ，都可找到 ，使 成立，即 为“ H数列” mNnmTbnb的前项和 ，令 ，则nc1()2nRad1()n mcadR(1)2n对 ， 是非负偶数，即对 ，都可找到 ，使得 成立，即 为“ H数列”nNmNnmRcnc因此命题得证.
