1、1,第三章 积 分,复变函数积分的概念、性质、计算不定积分定积分积分值的计算 柯西定理及其推广 柯西积分公式 解析函数的导数,2,教学要求：,正确理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。正确理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式和高阶导数公式，了解解析函数无限次可导的性质。,3,重点与难点,重点： 柯西积分定理及其推广，柯西公式，解析函数高阶导数公式,难点： 柯西公式，解析函数高阶导数公式的证明,4,设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，,3.1 积分的概念、性质、计算,3.1.1 不定积分,1 原函数,5,2. 不定积分,定义3.2 设F(z)是f (z)的一个原函
2、数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作,不定积分公式见教材 P55,这里称f (z)为被积函数，z为积分变量。,不定积分具有如下性质：,6,例1 计算下列积分：,解1),7,解2),8,设在复平面C上有一条连接Z0及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。,把曲线C用分点 分成n个更小的弧，在这里分点 是在曲线C上按从 到Z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式,3.1.2 定积分,9,分实部与虚部，有,或者,在这里 分别表示的 实部与虚部。,10,按照关
3、于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且,时，上面的四个式子分别有极限：,这时，我们说原和式有极限,11,这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为,因此，我们有,12,如果C是简单光滑曲线： ，并且 ，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成,因此，我们有,13,我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有,当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。,14,(1)若 沿 可积，且 由 和 连接而成，则(2) 常数因子 可以提到积分号外，即,复积分的基本性质,15,(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即为 的负向曲线
4、,(3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即,16,【证明】 因为 ， 其中 分别表示曲线 上弧段 对应的弦长和弧长，两边取极限就得到,(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即这里 表示弧长的微分，即,17,（6）积分估值定理 若沿曲线 ， 连续，且 在 上满足 ，则 其中 为曲线 的长度,【证明】 由于 在 上恒有 ， 所以 又 ，则成立。,18,例1、设C是连接 及 Z 两点的简单曲线，那么,如果是C闭曲线，即 ，那么积分都是零。,19,例2：,证：,在这个线段上点z的最小模，也就是z到原点的最近距离为1，从而,而C的长度为2，由性质（6）得,20,2009-3-23,21,
5、例1计算 其中 为从原点到 的直线段。,解 直线的方程可写成 又因为,容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于,3.1.3 积分 值的计算,22,例2 计算积分:,23,解: (1) 连接o及1+i的直线段的参数方程为:(2)连接o与1的直线段的参数方程为:连接点1与1+i的直线段的参数方程为：,可见，在本题中C的起点和终点虽然相同，积分的路径不同，积分值也不相同。,24,例3、设C是圆 ，其中 是一个复数， 是一个正数，那么按反时针方向所取的积分为,证明：令 于是 从而,25,曲线C的方向：（1）当C为光滑线段时，曲线的正方向总是指从起点到终点的方向。（2）
6、边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）。,26,例4计算 其中 为以 中心， 为半径的正向圆周, 为整数.,解: 的方程可写成 所以,因此,我们注意到这个积分结果与r和z0无关。,27,小结 求积分的方法,28,3.2 柯西定理及其推广,例1中的被积函数f(z)=z在整个复平面内是处处解析的它沿连接起点到终点的任何路径的积分值都相同，即
7、：积分与路径无关。,例2中的被积函数f(z)=Rez是不解析的，积分是与路径有关的。,29,定理3. 1 如果函数 在单连通区域 D 内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域 解析），那么函数 沿边界L或区域 D内任意闭曲线 的积分为零，即,早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）,或,30,格林（Green）定理: 或格林公式：在闭区域 内，若 有连续的偏导数，则 其中L是区域D的边界。,柯西定理的证明比较困难，1851年，黎曼在附加“f(x)在D上连续”的条件给出了以下的证明。,预备知识：,31,证明：由于函数 在闭区域 上解析，
8、故函数的导数即 在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的此时， 都在 内连续。,根据格林定理有,32,又由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件,代入即得,如果我们在该闭区域 内任选某一单连通闭区域 ，其边界为 在上述推导中令则同理可证明,33,不必是简单闭曲线,Cauchy定理的推广,这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西古莎定理.,注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域D内解析，在边界上连续以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立,34,例1,解,根据柯西定理, 有,解,例2 计算,当 时
9、,35,复周线情形的Cauchy定理,根据前1小节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.,36,闭路变形原理,37,38,得,39,解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,40,则称C+C1-+C2-+Cn-为复围线,D为其内部,记为I(D).,复周线情形的Cauchy定理,41,这个定理是计算周线内部有奇点的积分的有利武器!,42,解,依题意知,例,根据复合闭路定理3.2,打洞!,43,例,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,44,定理3.3 (1),由上可知，解析
10、函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,45,证 若复积分与路径无关,则对任意围线C,a,b,在其上任取两点按a(起点),b(终点),C,C2,C1,将曲线C分成两部分,因为积分与路径无关,所以:,46,如果我们令f(z)=u+iv，那么由积分公式,有,47,证,利用导数的定义来证.,48,(1) 由于积分与路线无关,49,50,由积分的估值性质,51,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,52,(1) 积分与路线无关,定理3.3（2）可以改写为:,定理（2）,(1) f(z)在D内的积分与路线无关,由于在证明过程中只用到了两个结论:,53,这里z0，z为D内两点。,证
11、 依照高等数学中牛顿莱布尼茨公式的推导方法,定理3.3（3）,54,55,例 计算下列积分：,56,本次作业,P69 3.1.1 3.1.35 3.1.710 3.1.1213 3.2.56,57,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,3.3 柯西积分公式,58,59,柯西积分公式,定理3.4,证,60,61,上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,62,解,依题意知,例,根据复合闭路定理3.10,打洞!,63
12、,Cauchy定理,重要公式,Cauchy定理,重要 公式,64,典型例题,例1,解,65,由柯西积分公式,66,例2,解,由柯西积分公式,67,例3,解,由柯西积分公式,68,例,解,根据柯西积分公式知,69,例5,解,70,例5,解,71,由闭路复合定理, 得,例5,解,72,例6,解,根据柯西积分公式知,73,比较两式得,74,问题:,(1) 解析函数是否有高阶导数?,(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1) 解析函数有各高阶导数.,(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,3.4
13、解析函数的导数,75,定理3.5,证,76,根据导数的定义,从柯西积分公式得,77,78,79,再利用以上方法求极限,80,至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,依次类推, 利用数学归纳法可证,证毕,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,81,2009-3-30,82,典型例题,例1,解,83,84,根据复合闭路定理,85,86,例2,解,87,88,例3,解,由柯西古萨基本定理得,由柯西积分公式得,89,90,例4,解,91,根据复合闭路定理和高阶导数公式,92,93,例5,(Morera定理),证,依题意可知,94,参照本章定理3.3(2), 可证明,因为解析函数的导数仍为解析函数,95,例6,证,不等式即证.,96,本次作业,P73 3.3.15 3.4.15 3.4.7,
