1、第4章 正弦交流电路,4.2 正弦量的相量表示法,4.4 电阻、电感与电容元件串联交流电路,4.1 正弦电压与电流,4.3 单一参数的交流电路,4.5 阻抗的串联与并联,4.8 功率因数的提高,4.7 交流电路的频率特性,4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算,第4章 正弦交流电路,1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗；熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图； 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念； 4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征； 5.了解提高功率因数的意义和方法。,本章要求,
2、交流电路 的分类,交流电路与直流电路的最主要差别：具有相位差,交流电路的分析方法：,正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。,4.1 正弦电压与电流,正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部 分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。,用相量表示后，即可用直流电路的分析方法。,4.1 正弦电压与电流,正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；. . . . .,正半周,负半周,直流电流和电压,正弦电流和电压,4.1 正弦电压与电流,设正弦交流电流：,幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。,4.1.1 频率与周期,周期T：正弦量变化一周所需的时间
3、 ( s ),角频率：,( rad/s ),频率 f ：,(Hz),* 无线通信频率： 高达 300GHz,* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz,* 高频炉频率：200 300 kHz (中频炉500 8000 Hz),* 收音机中频段频率：5301600 kHz,* 移动通信频率：900MHz1800 MHz,4.1.2 幅值与有效值,有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。,幅值：Im、Um、Em,则有,交流,直流,幅值大写,下标加 m,同理：,4.1.3 初相位与相位差,相位：,注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值,交流设备名牌标注的电压、电流均为有
4、效值,初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。,反映正弦量变化的进程。,正弦量所取计时起点不同，其初始值(t =0)时的值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。,如：,图中,电压超前电流 ,两同频率的正弦量之间的初相位之差。,4.1.3 相位差,i,u,2,1,或称 i 滞后 u, 角,电流超前电压,电压与电流同相,电流超前电压 ,电压与电流反相,(2) 不同频率的正弦量比较无意义。,(1) 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。,注意:,4.2 正弦量的相量表示法,瞬时值表达式,前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。,波形图,1. 正弦量的表示方法,重点,相量,2. 正弦
5、量的相量表示,复数表示形式,设A为复数:,实质：用复数表示正弦量,式中:,(2) 三角式,(3) 指数式,相量: 表示正弦量的复数称相量,由上可知：复数由模和幅角两个特征来确定，而正弦量由 幅值、角频率、初相角三个特征来确定。在分析线 性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量， 频率是已知的，可以不考虑。因此，一个正弦量由 幅值(或有效值)和初相位就可确定。比照复数和正 弦量，正弦量可用复数表示。,？,(1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。,注意:,(2) 只有正弦量才能用相量表示。,设正弦量:,电压的有效值相量,相量表示:,正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不能划
6、等号！,(4) 正弦量表示符号的说明,(3) 相量的两种表示形式,相量图: 把相量表示在复平面的图形,可不画坐标轴,瞬时值小写（u ,i）,有效值大写（U , I）,最大值大写+下标（Um , Im）,只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。,(5) “j”的数学意义和物理意义,设相量,旋转 因子：,正误判断,1.已知：,？,有效值,？,3.已知：,复数,瞬时值,j45,？,最大值,？,？,负号,已知选定参考方向下正弦量的波形图如图所示, 试写出正弦量的表达式。 ,解：,例 1:,解: (1) 相量式,(2) 相量图,例3: 已知,有效值 I =16.8 A,求：,1. 电压与电流的关系,设,
7、(2)大小关系：,(3)相位关系 ：,u、i 相位相同,根据欧姆定律:,(1) 频率相同,相位差 ：,4.3 单一参数的交流电路,4.3.1 电阻元件的交流电路,2. 功率关系,(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积,小写,结论: （耗能元件）,且随时间变化。,p,瞬时功率在一个周期内的平均值,大写,(2) 平均功率(有功功率)P,单位:瓦（W）,注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。,一只额定电压为220V, 功率为100W的电烙铁, 误 接在380V的交流电源上, 问此时它接受的功率为多少？是否安全？若接到110V的交流电源上, 功率又为多少？,例：,此时不安全, 电烙铁将被
8、烧坏。,解 : 由电烙铁的额定值可得,此时电烙铁达不到正常的使用温度。,当接到110 V的交流电源上, 此时电烙铁的功率为,当电源电压为 380V时, 电烙铁的功率为,4.3.2 电感元件的交流电路,基本关系式：,(1) 频率相同,(2) U =I L,(3) 电压超前电流90,相位差,1. 电压与电流的关系,设：,则:,感抗:, 电感L具有通直阻交的作用,定义：,XL与 f 的关系,( ),相量式：,电感电路相量形式的欧姆定律,2. 功率关系,(1) 瞬时功率,(2) 平均功率,L是非耗能元件,单位：var,(3)无功功率Q,用以衡量电感电路中能量交换的规模。,储能,放能,储能,放能, 电感
9、L是储能元件。,结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,可逆的能量 转换过程,（2）当 f = 5000Hz 时,所以电感元件具有通低频阻高频的特性,4.3.3 电容元件的交流电路,基本关系式：,1. 电流与电压的关系,(1) 频率相同,(3) 电流超前电压90,相位差,则：,设：,(2) I =UC 或,则:,定义：,所以电容C具有隔直通交的作用,容抗,( ),相量式,电容电路中相量形式的欧姆定律,XL 与 f 的关系,2. 功率关系,(1) 瞬时功率,(2) 平均功率 ,C是非耗能元件,(3) 无功功率 Q,单位：var,瞬时功率 ：,充电,放电,充电,放电,所以电容
10、C是储能元件。,结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,例 ：下图中电容 C = 23.5 F，接在电源电压 U = 220 V、频率为 50 Hz、初相为零的交流电源上， 求电路中的电流 i 、P 及 Q。该电容的额定电压最 少应为多少伏？,额定电压 311 V,解：容抗,单一参数交流电路主要结论列表,实际的电阻、电容,电阻的主要指标 1. 标称值 2. 额定功率 3. 允许误差 种类: 碳膜、金属膜、 线绕、可变电阻,电容的主要指标 1. 标称值 2. 耐压 3. 允许误差 种类: 云母、陶瓷、涤纶 电解、可变电容等,一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。,电阻的标称
11、值,误差,标 称 值, 10%（E12）, 5% （E24）,1.0、1.2、1.5、 1.8、2.2、2.7、 3.3、3.9、4.7、 5.6、6.8、8.2,电阻的标称值 = 标称值10n,1.0、1.1、1.2、1.3、1.5、1.6、1.8、2.0、2.2、2.4、2.7、3.0、 3.3、3.6、3.9、4.3、4.7、5.1、5.6、6.2、6.8、7.5、8.2、9.1等,电阻器的色环表示法,四环,五环,倍 率 10n,误 差,有效 数字,误 差,有效 数字,倍 率 10n,如电阻的4个色环颜色依次为： 绿、棕、金、金,如电阻的5个色环颜色依次为： 棕、绿、黑、金、红,交流电路
12、、 与参数R、L、C、 间的关系如何？,1. 电流、电压的关系,直流电路两电阻串联时,4.4 电阻、电感、电容串联的交流电路,设：,RLC串联交流电路中,1. 电流、电压的关系,如用相量表示电压与电流关系,可把电路模型改画为相量模型。,2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路,则,(1) 相量式,总电压与总电流 的相量关系式,令,则,Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。,Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。,阻抗,复数形式的 欧姆定律,注意,根据,电路参数与电路性质的关系：,阻抗模：,阻抗角：,2) 相量图,( 0 感性),XL XC,参考相量,由电压三
13、角形可得:,电压 三角形,( 0 容性),XL XC,由相量图可求得:,2) 相量图,由阻抗三角形：,电压 三角形,阻抗 三角形,2. 功率关系,储能元件上的瞬时功率,耗能元件上的瞬时功率,在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。,(1) 瞬时功率,设：,(2) 平均功率P (有功功率),单位: W,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,(3) 无功功率Q,单位：var,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,根据电压三角形可得：,根据电压三角形可得：,(4) 视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。,单位：VA,注： SNUN IN 称为发电机、变压
14、器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。,阻抗三角形、电压三角形、功率三角形,将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形,将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形,例1：,已知:,求: (1)电流的有效值 I与瞬时值 i ; (2) 各部分电压的有效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功率 Q 和视在功率 S 。,在RLC串联交流电路中，,解：,(1),(2),方法1：,方法1：,通过计算可看出：,而是,(3)相量图,(4),或,(4),(电容性),方法2：复数运算,解：,方法1：,(1),方法2：复数运算,方法3：相量图,（3）,大小和相位关系,比
15、 超前,从本例中可了解两个实际问题：,(1) 串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C，使 ),(2) RC串联电路也是一种移相电路, 改变C、R或 f 都可达到移相的目的。,1.假设R、L、C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？,2.RLC串联电路的 是否一定小于1？,4.在RLC串联电路中, 当LC时, u超前i ，当L C时，u滞后i ，这样分析对吗？,正误判断,？,？,？,？,在RLC串联电路中，,？,？,？,？,？,？,？,？,？,？,4.5 阻抗的串联与并联,4.5.1 阻抗的串联,分压公式：,通式:,4.5 阻抗的串联与并联,解：,同理：,例1:,或利用分压公式：
16、,注意：,相量图,下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？,思考,U=70V,4.5.2 阻抗并联,分流公式：,通式:,解:,同理：,相量图,注意：,或,下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？,I= 8A,思考,正弦交流电路的分析和计算,若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗（ )表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。,相量形式的基尔霍夫定律,相量(复数)形式的欧姆定律,有功功率 P,有功功率等于电路中各电阻有功功率之和， 或各支路有功功率之和。,无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之 和，或各支路无功功率之和。,无功功率 Q,或,或,一般正弦交流
17、电路的解题步骤,1. 根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变),2. 根据相量模型列出相量方程式或画相量图,3. 用相量法或相量图求解,4. 将结果变换成要求的形式,例1：,已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。,一般用相量式计算:,分析题目：,已知:,解：用相量式计算,(1) 相量法计算,分析方法: (1) 用相量法计算;(2) 相量图求解。,(2) 相量图,根据相量图可得：,求参数 R、L、C,方法1：,方法2：,即: XC=20,例3：,图示电路中,已知:U=220 V,=50Hz,分析下列情况:,(1) S打开时, P = 3872W、I = 22A，求：I
18、1、UR、UL ;,(2) S闭合后发现 P不变，但总电流减小，试说明 Z2 是什么性质的负载？并画出此时的相量图。,解: (1) S打开时:,(2) 当合K后P不变 I 减小,说明Z2为纯电容负载,相量图如图示:,方法2:,例4：,下图电路中已知：I1=10A、UAB =100V，,求：总电压表和总电流表 的读数。,解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算;(2) 利用相量图分析求解。,分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数,求总电流和电压,求：A、V 的读数,已知：I1= 10A、UAB =100V，,解法1: 用相量计算,所以A读数为 10安,求：A、V 的读数,已知：I1=10A
19、、UAB =100V，,解法2: 利用相量图分析求解,画相量图如下：,设 为参考相量,由相量图可求得：,I =10 A,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、UAB =100V，,超前,UL= I XL =100V,V =141V,由相量图可求得：,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、UAB =100V，,设 为参考相量,解:,= 4.64 120 A,= 17.4 30 A,= 11.6 120 V = 11.6 60 V,同第2章计算复杂直流电路一样,支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感、和电容及组成的电路
20、用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。下面通过举例说明。,4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算,解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程,代入已知数据，可得：,应用叠加原理计算上例。,例2:,应用戴维宁计算上例。,例3:,解：(1)断开Z3支路，求开路电压,(2)求等效内阻抗,4.7 交流电路的频率特性,前面几节讨论电压与电流都是时间的函数, 在时间领域内对电路进行分析,称为时域分析。本节主要讨论电压与电流是频率的函数；在频率领域内对电路进行分析, 称为频域分析。,相频特性: 电压或电流的相位与频率的关系。,幅频特性: 电压或电流的大小与频率的关系。,当电源电压或电流（激励）的频率改变时，容抗和感抗
21、随之改变，从而使电路中产生的电压和电流（响应）的大小和相位也随之改变。,频率特性或频率响应：,研究响应与频率的关系,滤波电路主要有： 低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。,(1) 电路,4.7.1 RC滤波电路的频率特性,滤波：即利用容抗或感抗随频率而改变的特 性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让 需要的某一频带的信号通过, 抑制不需要的其它 频率的信号。,1. 低通滤波电路,(2) 传递函数(转移函数),电路输出电压与输入电压的比值。,设:,则:,频率特性,幅频特性：,相频特性：,(3) 特性曲线,频率特性曲线,当 0时,|T(j )| 明显下降,信号衰减较大。,一阶RC低通滤波
22、器具有低通滤波特性,通频带：把 0 0的频率范围称为低通滤波电路的通 频带。0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。,频率特性曲线,通频带： 0 0截止频率: 0=1/RC,2. RC高通滤波电路,(1) 电路,(2) 频率特性(转移函数),幅频特性：,相频特性：,(3) 频率特性曲线,当 0时, |T(j )| 变化不大，接近等于1。,一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性,通频带： 0 截止频率: 0=1/RC,3. RC带通滤波电路,(2) 传递函数,(1) 电路,幅频特性：,相频特性：,频率特性,设：,(3) 频率特性曲线,RC串并联电路具有带通滤波特性,由频率特性可知,在=0 频率
23、附近, |T(j )| 变化不大,接近等于1/3; 当偏离0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较大。,通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处，(|T(j )|下降到 0.707/3 时),所对应的上下限频率之差即：, = (2-1),仅当 时， 与 同相，U2=U1/3 为最大值，对其它频率不会产生这样的结果。因此该电路具有选频作用。常用于正弦波振荡器。,4.7.2 谐振电路,在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。,研究谐振的目的, 就是一方面在生产上充分利用谐振的特点 (如在无线电工程、电子测
24、量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。,谐振的概念：,或：,即,谐振条件：,谐振时的角频率,串联谐振电路,(1) 谐振条件,1. 串联谐振,(2) 谐振频率,根据谐振条件：,或,电路发生谐振的方法：,(1)电源频率 f 一定，调参数L、C 使 fo= f；,(2) 谐振频率,(2)电路参数LC 一定，调电源频率 f，使 f = fo,或：,(3) 谐振特怔,可得谐振频率为：,当电源电压一定时：,2) 电流最大,电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， 和 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。,4) 电压关系,电阻电压：UR = Io R = U,大小相等、 相位相差180,
25、电容、电感电压：,UC 、UL将大于 电源电压U,当 时：,有：,令：,所以串联谐振又称为电压谐振。,相量图：,如 Q = 100, U = 220V, 则在谐振时,所以电力系统应避免发生串联谐振。,(4) 谐振曲线,容性,感性,2) 谐振曲线,电流随频率变化的关系曲线。,Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。,Q大,分析：,谐振电流,电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力 称为选择性。,Q小,通频带：,谐振频率,上限截止频率,下限截止频率,Q大,通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力 越强。,(5) 串联谐振应用举例,接收机的输入电路,为来自3个不同电台(不同频率) 的电动势信号
26、；,等效电路,例1：,已知：,解：,若要收听 节目，C 应配多大？,则：,结论：当 C 调到 204 pF 时，可收听到 的节目。,(1),例1：,已知：,所需信号被 放大了78倍,信号在电路中产生的电流有多 大？在 C 上 产生的电压是多少？,(2),这时,2. 并联谐振,(1) 谐振条件,实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有,则：,(1) 谐振条件,(2) 谐振频率,或,可得出：,由：,(3) 并联谐振的特征,1) 阻抗最大，呈电阻性,(当满足 0L R时),2) 恒压源供电时，总电流最小。,恒流源供电时，电路的端电压最大。,3) 支路电流与总电流 的关系,当 0L R时，,支路电流是总电
27、流的 Q倍 电流谐振,相量图,例2：,已知：,解：,试求：,例3：,解：(1) 利用相量图求解,相量图如图:,由相量图可知电路谐振，则：,又：,(2) 用相量法求解,例3：,例4：,图示电路中U=220V,故:,并联电路产生谐振,即:,并联电路的等效阻抗为:,串联谐振时, 阻抗Z虚部为零, 可得,总阻抗,4.8 功率因数的提高,1. 功率因数 : 对电源利用程度的衡量。,的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角,(1) 电源设备的容量不能充分利用,若用户： 则电源可发出的有功功率为：,若用户： 则电源可发出的有功功率为：,而需提供的无功功率为:,所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用,无需提
28、供的无功功率。,(2) 增加线路和发电机绕组的功率损耗,(费电),所以要求提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。,设输电线和发电机绕组的电阻为 :,所以提高 可减小线路和发电机绕组的损耗。,2. 功率因数cos 低的原因,日常生活中多为感性负载-如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。,感性等效电路,40W220V白炽灯,40W220V日光灯,供电局一般要求用户的 否则受处罚。,常用电路的功率因数,(2) 提高功率因数的措施,3.功率因数的提高,必须保证原负载的工作状态不变。即：加至原负载上的电压和负载的有功功率不变。,在感性负载两端并电容,(1) 提高功率因数的原则,结论,并
29、联电容 C 后,(2) 原感性支路的工作状态不变:,(3) 电路总的有功功率不变,因为电路中电阻没有变， 所以消耗的功率也不变。,4. 并联电容值的计算,相量图:,由相量图可得,即:,思考题:,解：,(1),求并C前后的线路电流,并C前:,可见 : cos 1时再继续提高，则所需电容值很大(不经济)，所以一般不必提高到1。,并C后:,电源的额定电流为,例2:,该电源供出的电流超过其额定电流。,（2）如将 提高到0.9后，电源提供的电流为,该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载； 所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。,4.9 非正弦周期电压和电流,前面讨论的是正弦交流电路，其中电压和电
30、流都是正弦量。但在实际的应用中我们还常常会遇到非正弦周期的电压或电流。如下面所列举的波形,矩形波,矩齿波,三角波,全波整流波形,1.非正弦周期量的分解,二次谐波 （2倍频）,直流分量,高次谐波,设周期函数为f( t )，且满足狄里赫利条件，则 可以分解为下列傅里叶级数：,基波（或 一次谐波）,2.几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式,矩形波电压,矩齿波电压,三角波电压,全波整流电压,从上面几个式子可以看出列傅里叶级数具有收敛性。,3. 非正弦周期电流 i 的有效值,计算可得,式中,结论：周期函数 的有效值为直流 分量及各次谐波 分量有效值平方 和的方根。,同理，非正弦周期电压 u 的有效值为,例1:一可控半波整流电压, 在 之间是正弦电压， 求其平均值和有效值。,解: 平均值,有效值,4. 非正弦周期电流电路中的平均功率,利用三角函数的正交性，整理得,设非正弦周期电压和电流如下,结论：,
